Et graphiques

Contrairement aux précédentes, les métriques suivantes sont calculées à partir du layout d'un graphe. Il s'agit donc de métriques portant sur la représentation graphique d'un graphe. Les quatre premières sont directement issues de mesures de la qualité d'un dessin de graphe établies par la communauté. Les suivantes correspondent plus à des indicateurs graphiques, qui ne sont généralement ni maximisé ni minimisé pour un bon dessin. Cependant, elles permettent d'obtenir des informations sur un dessin.

Nombre de croisements d'arêtes

La première mesure de qualité présentée est le nombre de croisements d'arêtes. Il a été montré que les croisements d'arêtes nuisent à la lisibilité d'un graphe[76, 77]. De nombreux algorithmes de dessins tentent donc de réduire au minimum ce nombre de croisements. Selon un processus déterministe lorsque cela est possible (dans le cas d'un graphe planaire par exemple) ou en util-isant ce critère pour évaluer l'état d'un système.

Le décompte des croisements d'arête se fait de manière relativement simple en énumérant les paires d'arêtes et en comptant pour chacune d'elle le nombre de croisements qu'elles admettent avec d'autres arêtes. An d'obtenir une valeur pour chaque sommet, c'est la somme des nombres de croisements de chaque arête incidente à ce sommet qui est utilisée. La complexité de cette métrique est enO(|E|²)avecEl'ensemble des arêtes. Dans le cas d'un graphe complet (où toutes les arêtes possibles sont présente), on aE=V² donc|E|=n² avecnle nombre de sommets. La complexité de la métrique devient alorsO(n⁴). Il est cependant possible de réaliser une recherche locale des croisements an de réduire fortement le nombre de paire d'arêtes tester.

Conservation de la distance

Cette métrique s'inspire de la fonction d'optimisation de l'algorithme par modèle de force proposée par Kamada et Kawai [52]. L'objectif de cet algorithme est d'avoir un rapport constant entre la distance euclidienne entre 2 sommets dans le dessin et leur distance topologique dans le graphe (les sommets non connectés n'étant pas pris en compte). Dans le paragraphe suivant, ce rapport entre les deux distances sera nommé ratio.

Pour réaliser cela, l'écart-type de ce ratio est calculé pour l'ensemble du graphe. An d'avoir une valeur pour chaque sommet, un écart-type local est utilisé. Cela revient à calculer pour un sommet s l'écart-type du ratio entre chaque paire formé s et un autre sommet du graphe par rapport à la moyenne du ratio sur l'ensemble du graphe. Cette valeur est ensuite divisée par la valeur moyenne du ratio sur l'ensemble du graphe an de normaliser cet écart-type. Ce type d'écart-type local sera utilisé couramment par la suite pour obtenir une valeur locale à un som-met d'un écart-type normalement calculé sur l'ensemble du graphe.

(a) Le degré (b) Le coecient de clustering

(c) La centralité (d) Le degré de proximité

(e) L'échelle utilisée pour l'ensemble des images

Figure 2.7 Les 4 métriques topologiques appliqués à un graphe.

De manière plus formelle, en nommant r le ratio, soit r(u,v) = ^d_d^e(u,v)

t(u,v) avec d_e la distance euclidienne dans le dessin etdtla distance topologique dans le graphe,r la valeur moyenne de r sur l'ensemble du graphe, l'écart-type local est obtenu selon la formule :

dist_cons(s) =

D'un point de vue algorithmique, un premier passage sur les paires de sommet permet de calculer la valeur moyenne der. Ensuite, pour chaque sommet, la liste des sommets du graphe est égrenée an de calculer l'écart-type local du ratio entre ce sommet et les autres. Cette métrique a donc une complexité en O(n²).

Longueur des arêtes

Deux métriques permettent d'obtenir des informations sur la longueur des arêtes. La pre-mière, la plus simple, consiste à simplement calculer la longueur moyenne des arêtes incidentes à un sommet. Cette métrique fournit plus une information sur le graphe plutôt qu'une mesure de sa qualité. En eet, la moyenne ne fournit nalement pas énormément d'information sur le rendu visuel.

La deuxième métrique basée sur la longueur des arêtes correspond à l'écart-type de cette longueur dans le graphe. En eet, il est généralement plus simple de lire un graphe lorsque l'ensemble des arêtes ont la même longueur. Comme pour la conservation de la distance, c'est un écart-type local qui est calculé. Ce calcul se déroule de la même manière en utilisant la longueur des arêtes à la place du ratio. De plus, cet écart-type est maintenant calculé uniquement sur les arêtes incidentes au sommet.

Résolution angulaire

La dernière mesure de qualité connue utilisée est la résolution angulaire. Le but de cette métrique est d'estimer la répartition des arêtes autour d'un sommet. En eet, un graphe est généralement plus lisible s'il est facile de distinguer les diérentes arêtes qui partent d'un som-met. De ce fait, il faut éviter qu'elles soient regroupées d'un même côté. Plus généralement, il est intéressant d'éviter que deux arêtes fassent un angle trop aigu lorsque cela est possible.

Cette métrique se calcule sommet par sommet. Pour un sommet s, l'ensemble des arêtes incidentes sont triées selon l'angle qu'elles forment avec une arête de base choisie arbitrairement.

Cela permet d'obtenir les angles entre 2 arêtes consécutives. La métrique correspond à l'écart-type de cette série d'angles (il s'agit ici d'un écart-l'écart-type classique). La moyenne étant forcément égale à ^2∗Π_d(s) avecd(s) le degré des, puisque la sommes des angles consécutifs forme toujours un disque complet.

Si cet écart-type est grand, cela signie que les angles varient beaucoup autour de l'angle moyen, et donc que la répartition des arêtes autour du sommet est mauvaise. Au contraire s'il est nul, la répartition est parfaite.

Densité graphique

Cette métrique, comme les suivantes, n'est pas issue d'une mesure de qualité connue. Elle a été créée dans le cadre de cette thèse sans que cela ne puisse être considéré comme une contribu-tion. En eet, elle est très simple et présente de nombreuses lacunes, mais elle permet toutefois d'apporter des informations intéressantes sur le dessin.

L'objectif de cette métrique est d'estimer la densité des sommets autour d'un sommet con-sidéré. Elle calcule simplement pour chaque sommet la somme suivante :

d(s) =

Avec s un sommet du graphe, etd(s,v) la distance euclidienne entre les positions des sommetss etv. Cela permet de diérencier les zones chargées des zones plus vides du graphes. Au niveau de la mesure de la qualité du dessin obtenu, il est intéressant que les sommets soient homogènement répartis, il est donc intéressant que l'écart-type de cette valeur sur l'ensemble du graphe soit faible.

Excentricité graphique

Toute comme la précédente, cette métrique a été construite dans le cadre de cette thèse. Il s'agit simplement de calculer la distance entre le centre du dessin (l'isobarycentre de tous les sommets) et chaque sommet. Cette valeur est divisée par la distance moyenne an d'éviter tout problème d'échelle.