1.3 Conclusion
2.1.3 Gradient topologique
Nous allons d´efinir dans cette partie, comment en partant de l’analyse de sensibilit´e de la fonction de coˆut ´ecrite `a partir d’un simple probl`eme direct, le probl`eme inverse peut ˆ
etre r´esolu en utilisant la fonction gradient topologique. Le d´eveloppement math´ematique de cette fonction montre qu’il est possible de la calculer en r´esolvant `a la fois un probl`eme direct de propagation et un probl`eme adjoint.
2.1.3.1 Probl`eme direct
Une modification dΩ du domaine Ω correspond `a l’insertion d’un trou en un point x, soit pour une application acoustique `a une inhomog´en´eit´e d’imp´edance acoustique. Le domaine test obtenu Ω + dΩ implique une modification de la fonction de coˆut. Cette modification permet d’´etudier la sensibilit´e `a une variation dΩ du domaine, ce qui conduit au premier ordre du d´eveloppement asymptotique [27, 48] de la fonction de coˆut :
j(Ω + dΩ) = j(Ω) + f (dΩ)g(~x) + o(f (dΩ)). (2.2) Dans cette ´equation, quel que soit dΩ, la fonction f (dΩ) est strictement positive, proportionnelle au rayon du trou ins´er´e, d´ependante des conditions aux limites appliqu´ees au bord de ce trou (Dirichlet ou Neumann) et
lim
Ce d´eveloppement asymptotique (2.2) fait apparaˆıtre une d´eriv´ee premi`ere d’espace g(~x) qui est le gradient topologique. L’analyse de sensibilit´e pour tout trou ins´er´e en un point x peut directement se faire `a partir du calcul de g(~x). Bien entendu, le d´eveloppement asymptotique peut ˆetre poursuivi `a des ordres sup´erieurs qui ont ´et´e trait´es par de Rocha de Faria et al [50] ainsi que par Marc Bonnet [51]. Nous nous limitons ici `a l’´etude du premier ordre.
L’objectif ´etant de diminuer l’´ecart entre Ω + dΩ et Ωm, nous cherchons donc `a mi-
nimiser la nouvelle fonction de coˆut (2.2) par rapport `a la pr´ec´edente (2.1). Pour cela, nous v´erifions que cette nouvelle fonction de coˆut (2.2) d´ecroˆıt si le trou dΩ est `a une repr´esentation proche du milieu inspect´e en utilisant la condition suivante :
j(Ω + dΩ) − j(Ω) = f (dΩ)g(~x) + o(f (dΩ)) < 0, (2.4) avec ∀dΩ, f (dΩ) > 0.
Par cons´equent, si l’insertion d’un trou dΩ dans Ω correspond `a la forme r´eelle de Ωm
alors j(Ω + dΩ) diminue et g(~x) v´erifie la condition suivante :
g(~x) < 0. (2.5)
En effet, les lieux o`u la fonction g est la plus n´egative sont les lieux qui font diminuer la fonction de coˆut : ce sont donc des « directions de descente » pour la fonction de coˆut. L’analyse de sensibilit´e donne une solution qui minimise la fontion de coˆut en r´ev`elant un ensemble de points x pour lesquels le milieu de r´ef´erence doit ˆetre modifi´e par l’insertion d’un trou. Une m´ethode it´erative peut ˆetre mise en place sur l’analyse de sensibilit´e `a travers le gradient topologique telle que pr´esent´ee sur la figure 2.3. Apr`es des it´erations successives, le milieu de r´ef´erence peut ˆetre consid´er´e comme ´etant proche du milieu inspect´e et la cartographie r´esultante identifie la position et la forme des inhomog´en´eit´es pr´esentes dans le milieu inspect´e. Avec ce processus, nous r´esolvons un probl`eme inverse en utilisant uniquement les solutions u et um du probl`eme direct obtenu sur le domaine
de la barrette Γm.
A partir du d´eveloppement asymptotique au premier ordre, les expressions du gra- dient topologique ont ´et´e donn´ees par Garreau et al [27] pour l’´elasticit´e lin´eaire puis par Dominguez et al [6] et Amstutz et al [29] pour l’´elastodynamique transitoire. De ces ex- pressions, Nicolas Dominguez [6, 7] a montr´e que le gradient topologique est proportionnel `
a la solution d’un probl`eme direct u mais ´egalement `a la solution v d’un probl`eme adjoint dans le milieu virtuel Ω. La solution du probl`eme direct est le champ u propag´e dans le milieu Ω pour un temps ´evoluant de 0 `a T avec T la dur´ee d’acquisition du signal sur Γm. Le probl`eme adjoint est, quant `a lui, un second probl`eme num´erique de propagation
Figure 2.3 – Sch´ema du principe du gradient topologique en optimisation topologique : comparaison des fonctions de coˆut obtenues entre le milieu de r´ef´erence et une variation dans le milieu de r´ef´erence
2.1.3.2 Probl`eme adjoint
Nicolas Dominguez a ´ecrit que la solution temporelle du probl`eme adjoint est le champ v se propageant dans le milieu Ω pour un temps ´evoluant de T `a 0. Pour une question de lisibilit´e des ´evolutions temporelles, nous introduisons une nouvelle notation t0 correspon- dant `a des temps ´evoluant de 0 `a T . La source temporelle du champ adjoint v est d´efinie comme ´etant ´egale :
v(~x, T ) = 0 , ∀~x ∈ Ω ∆v(~x, T − t0) − 1 c2(~x) ∂2v ∂t02(~x, T − t 0 ) = 0 , ∀~x ∈ Ω\Γm , ∀t0 ∈ [0, T ] ∆v(~x, T − t0) − 1 c2(~x) ∂2v ∂t02(~x, T − t 0 ) = − (u − um) (~x, T − t0) , ∀~x ∈ Γm , ∀t0 ∈ [0, T ] (2.6) o`u u et um sont les solutions d’un probl`eme direct restreintes `a la mesure sur la barrette
´
echographique Γmrespectivement des milieux Ω et Ωm. La barrette ultrasonore produit un
champ de vitesse et est sensible au champ de pression. Dans les hypoth`eses d’ondes planes ou d’ondes sph´eriques en champ lointain, pression et vitesse sont en phase et r´eli´ees par la coefficient de proportionnalit´e ρc. Nous nous pla¸cons dans cette hypoth`ese restrictive mais r´ealiste pour de nombreuses applications.
En analysant cette ´equation (2.6), on constate tout d’abord que le temps T correspond `
a la condition initiale temporelle pour laquelle le champ adjoint v est nul dans tout le milieu. De plus, la source du champ acoustique adjoint est obtenue par la comparaison des mesures u(~x ∈ Γm, t0 ∈ [0, T ]) et um(~x ∈ Γm, t0 ∈ [0, T ]). Ce signal (um− u)(~x, T − t0)
contient uniquement la r´eponse des inhomog´en´eit´es, c’est `a dire la distance entre les milieux connu et inconnu. Cette diff´erence est retourn´ee temporellement et propag´ee nu- m´eriquement `a travers le milieu de r´ef´erence durant t = T − t0 avec t ∈ [T, 0].
Le champ adjoint r´esultant v(~x, t) est obtenu pour un temps ´evoluant de T `a 0. Ainsi, nous montrons qu’il refocalise `a l’endroit des inhomog´en´eit´es et au temps de refocalisation. C’est `a travers cette ´ecriture qui utilise le changement de notation t0 que nous faisons ainsi le lien entre l’optimisation topologique et le retournement temporel, en illustrant le sens physique `a la solution math´ematique. Nous trouverons r´eguli`erement dans la suite de ce chapitre, ce changement de notation t0 qui permet de se rendre compte simplement de la pr´esence des temps croissants et d´ecroissants dans les ´equations de propagation.
Connaissant les solutions u et v sur tout le domaine Ω, nous d´efinissons le gradient topologique ´egal `a :
g(~x) = Z T
0
u(~x, t)v(~x, t)dt. (2.7)
Cette ´ecriture simplifi´ee du gradient topologique fait intervenir uniquement les champs u et v [7]. En reprenant le changement de notation t0, on constate que le champ direct ´
evolue avec un temps croissant t0 ∈ [0, T ] et le champ adjoint avec un temps d´ecroissant T − t0 ∈ [T, 0]. A travers cette ´equation (2.7), ces deux champs se propagent dans Ω dans des directions contraires. Grˆace aux propri´et´es de refocalisation par retournement temporel, c’est comme s’ils se « croisaient » `a chaque interface marquant le changement d’imp´edance acoustique de Ωm, comme l’illustre la figure 2.4. Cela revient `a effectuer
une convolution entre le champ acoustique direct, de r´ef´erence, et le champ acoustique adjoint :
g(~x) = Z T
0
u(~x, t0)v(~x, T − t0)dt0. (2.8) Lorsque les champs direct et adjoint se croisent, `a chaque variation d’imp´edance dans Ωm, le gradient topologique ou d´eriv´ee topologique [38] apparaˆıt sous forme d’oscillations
p´eriodiquement positives et n´egatives sur le lieu du d´efaut. Ces oscillations nous indiquent la position des inhomog´en´eit´es dans Ωm. Le processus it´eratif peut ˆetre ´etabli `a partir du
gradient topologique en ajoutant dans le milieu de r´ef´erence des trous l`a o`u le gradient topologique v´erifie la condition (2.5).
Il s’appliquera d´esormais `a ce probl`eme adjoint, les limitations th´eoriques li´ees `a l’in- variance par retournement temporel telles qu’une absorption n´egligeable du milieu et une dur´ee finie du signal.
Figure 2.4 – Sch´ema du principe du croisement des champs direct (`a droite) et adjoint (`a gauche)