Proposition 6 Un SL2-germe B−(j,r) de type B− est régulier si et seulement si H est cyclique d’ordre k, j est non générique (sauf si k = 1 ou 2 où j est quelconque) et r = 1+nk1 avec n ∈ N∗.
Chapitre 5
Preuves des conditions de régularité
Cette partie est la plus technique car même si les calculs sont simples il y a de nombreux cas à discuter.Il y a deux types de preuve pour les conditions de régularité selon que le SL2 -germe est de type I (AB ou B+) ou de type II (AN ou B−).
Pour les orbites de type I le corollaire ??, de nature locale, suffit à prouver les conditions de régularité.
Pour les orbites de type II la méthode que nous avons retenue consiste à montrer que si O est régulier alors O est le localisé d’une B-carte ˚X telle que ˚X/U est torique (lemme 5.6.1). On utilisera pour cela une présentation des B-cartes par Timashev (§
5.4) qui permet de voir plus simplement les cas où ˚X/U est torique (lemme 5.5.1).
La preuve de la condition de régularité des SL2-germes de type II devient alors une gestion cas par cas et assez technique des conséquences du lemme 5.6.1.
En plus de la question de la régularité des orbites, de nature locale, on montre dans ce chapitre un résultat plus précis sur la géométrie d’un plongement de SL2/H :
— Tout SL2-germe de type I, régulier ou non, est toujours le localisé d’une
B-carte ˚X telle que ˚X/U soit une variété affine torique (corollaire 5.7.2). — Tout point d’une orbite de type I régulière ou non, d’un plongement X,
appartient à un ouvert isomorphe à C × S ou C× (S \ l) où S est une surface affine torique et l est isomorphe à C∗ (corollaire 5.7.2).
— Tout point d’une orbite régulière de type II appartient à un ouvert isomorphe à C3 (corollaire 5.6.2).
Le premier point donne par ailleurs une autre démonstration possible des conditions de régularité des SL2-germes de type I (§ 5.8).
5.1 Réduction aux U -invariants
Le résultat suivant est une conséquence directe du lemme 2 (2) de [ Tim2], qui est lui-même une conséquence d’un résultat de Knop [ Kn, Prop. 1.2( 3)]. Le premier
résultat de ce type est celui de D.Luna dans [ BLV] qui décrit la structure locale de l’action d’un groupe réductif au voisinage d’une orbite complète.
Lemme 5.1.1
Soit ˚X une B-carte quelconque d’un plongement homogène X de SL2/H dont
l’an-neau des fonctions régulières est défini par un couple (W, R) ⊂ V × DB tel que
R 6= DB. alors il existe une surface affine S de ˚X stable par T telle que l’action de
B sur ˚X induise un isomorphisme
˚
X ∼= U × S
Remarques: C[ ˚X]U est de type fini et S = spec(C[ ˚X]U), c’est-à-dire S = ˚X//U.Le
lemme implique donc que le quotient algébrique ˚X//U est un quotient géométrique :
˚
X//U = ˚X/U.
Preuve : D’après le lemme 2 (2) de [ Tim2] il suffit de vérifier que le sous-groupe
parabolique P = NSL2(˚X ) = {g ∈ SL2/ g.˚X =˚X } est égal à B. Si ce n’était pas le cas on aurait P = SL2. Soit alors D un élément de DB\ R, c’est-à-dire un diviseur B-stable non SL2-stable n’intersectant pas ˚X, et g un élément de SL2. On a alors
(g.D) ∩ ˚X = g.(D ∩ ˚X) = ∅ et donc g.D est un diviseur de X\˚X en particulier
un diviseur B-stable non SL2-stable c’est-à-dire un élément de DB \ R. Ainsi SL2
permute les é léments de l’ensemble fini DB\ R. Comme SL2 est connexe, SL2 fixe alors chaque élément de DB\ R, ce qui est contraire à la définition de DB.
Corollaire 5.1.2 Soit un SL2-germe O = OX,Y correspondant à une orbite de
dimension 1 et ˚X une B-carte de X qui intersecte Y . Alors Y intersecte S en un
unique point p et O est régulier si et seulement si p est lisse dans S.
En particulier si ˚X est une B-carte telle que O est le localisé de C[ ˚X] en l’idéal M, alors O est régulier si et seulement si l’anneau C[ ˚X]U
MU est régulier.
preuve: Une B-carte ˚Xintersectant une orbite Y de dimension 1 vérifie l’hypothèse
R 6= DB du lemme. Soit maintenant ϕ : ˚X → U ×S l’isomorphisme du lemme (dont
l’inverse est donné par (u, s) 7→ u.s) et π la projection de U ×S sur S. Puisque Y est stable par U on a (π ◦ ϕ) Y ∩ ˚X = Y ∩S. Par ailleurs π◦ϕ n’est rien d’autre que la projection canonique ˚X → ˚X/U ∼= S. En particulier (π ◦ ϕ)Y ∩ ˚X est un fermé iréductible de dimension dim (Y ) − dim (U) = 0, par conséquent Y ∩ S est réduit à un unique point p et Y ∩ ˚X = U.p. Les points de Y ∩˚X sont donc lisses dans ˚X en
même temps que le point p dans ˚X. Mais p est lisse dans ˚X quand ϕ (p) = (Id, p)
est lisse dans U × S c’est-à-dire quand p est lisse dans S.
Pour obtenir la deuxième partie du corollaire il suffit de choisir a posteriori
5.2. RÉGULARITÉ DES SL2-GERMES DE TYPE AB (PREUVES) 39 Le lemme 2.1.2 p. 27 de L.Moser dans [ M1] repris dans l’article [ M2] et qui n’utilise que le résultat de D.Luna [ BLV] permet aussi de conclure au même résul-tat : O est régulier si et seulement si C[ ˚X]U
MU (= OU par le résultat de l’annexe B) est régulier.
5.2 Régularité des SL
2-germes de type AB (preuves)
5.2.1 H cyclique d’ordre k
Soit H le sous-groupe cyclique d’ordre k de SL2 engendré par α = ε 0
0 ε−1
où
ε est une racine primitive kème de 1. On considère un SL2-germe O de la forme
AB(j, r1, r2) avec j ∈ P1/H.
O est le localisé d’une B-carte ˚X définie par R = (P1/H) \ {j, j∗} avec j∗ 6= j et W = {v(j, r1), v(j, r2)}. Posons j = {bj1, . . . bjnj} et j∗ = {bj1∗, . . . bjn∗
j∗} avec
b
ji, bji∗ ∈ P1 et considérons la B-carte Xb d’un plongement de SL2 si k est impair ou de SL2/{±Id} si k est pair, définie par
— R = Pb 1 \ {bj1, . . . bjnj, bj1∗, . . . bjn∗ j∗}
— W = {v(bc j1, r01), . . . , v(bjnj, r10), v(bj1, r20), . . . , v(bjnj, r02)}, les v(bji, r01)étant les nj
valuations SL2-invariantes de C(SL2) qui prolongent la valuation v(j, r1)de C(SL2/H) (ri = 1+r0i
nj − 1).
Posons H = He si k impair et H = H/{±Id}e si k est pair. Alors C[X]b est stable
pour l’action de He (par translation à droite) et l’on vérifie que C[X]b He = C[ ˚X]. Soit Φ la projection X → bb X/ eH =˚X. Il est clair que Φ est un morphisme fini de degré card( eH) = k. Posons O = O˚X ,Yavec Y ⊂˚X. Deux cas se présentent selon que Y est ou non dans le lieu de ramification de Φ.
Supposons d’abord que j soit une H-orbite générique de P1. Dans ce cas Y
est dans l’ouvert non ramifié de ˚X pour Φ : Φ−1(Y ) = ∪k
i=1Yi où Yi est un fermé irréductible de dimension 1 de Xb. Il existe alors un ouvert V de ˚X pour la topologie forte (la C-topologie) intersectant Y et analytiquement isomorphe à un ouvert Vi de
b
X (pour la topologie forte) qui intersecte Yi. L’orbite Y est donc régulière en même temps que Yi.Les anneaux locaux des Yi étant précisément de la forme AB(bji, ri0, r02)
on en conclut que O est régulier si et seulement si le SL2-germe d’un plongement
de SL2 (ou de SL2/{±Id}) défini par Ob1 = AB(bj1, r0i, r20) est régulier. Mais il est facile de voir que ce SL2-germe est le localisé d’une B-carteXb1 d’un plongement de SL2 (ou de SL2/Z2) telle que Xb1/U soit torique (c’est la méthode de L.Moser pour