Rappelons brièvement la notion de cycles de bosons ou polymères bosoniques apparaissant dans la réécriture de la fonction de partition. Considérons un gaz parfait de bosons de masse m, dans une boîte Λ = L1 × L2 × L3 de volume V , décrit dans l'ensemble grand-canonique (Λ, β, µ), où β = 1/kBT avec kB la constante de Bolzmann, T la température et µ le potentiel chimique. L'hamiltonnien quantique pour un boson est HN =1
Λ = −~2∆/2mavec les conditions de Dirichlet. Les fonctions d'ondes par particule associée aux modes k = (πn1/L1, πn2/L2, πn3/L3), nν ∈ N∗
sont données par :
ψk(x) = 3 Y ν=1 r 2 Lν sin(kνxν),
associées aux valeurs propres de H1
Λ k = ~2k2/2m.
D'après le principe d'indiscernabilité bosonique, les états pour N particules iden-tiques associées à un ensemble de modes k = (k(1), .., k(N )) sont donnés par la symétrisation du produit des fonctions d'onde associées à chaque modes de k : Ψk(x(1), .., x(N )) = C e k P π∈SN QN
i=1ψk(i)(x(π(i))) où π est un élément du groupe des permutations SN et Cek = 1/pN! QkNk est la facteur de normalisation.
écriture, voir le chapitre 1, [14], [12], [13], [42], [43] : ZΛN(β) = X {nj}N 1,P jjnj=N N Y j=1 1 nj!( 1 j X k e−jβk)nj.
Du coup on a réécrit la fonction de partition canonique en faisant apparaitre de nouveaux objets grace aux cycles de permutation : des "polymères bosoniques" [43] ou cycles de Feynman [12], de taille j (nombre de bosons) et d'énergie jk = ~2 (jk)2
2jm, et donc ce polymère bosonique a une impulsion jk et une masse jm.
On écrit maintenant la fonction de partition grand-canonique, voir chapitre 1, [14], [12], [13], [42], [43] : ΞΛ(β, µ) = ∞ Y j=1 exp (1 je jβµX k e−jβk) ,
ce qui nous donne une notion de densité de particules dans un polymère de taille j [14], [12], [13], [42], [43] : ρΛ,j(β, µ) = 1 V e jβµX k e−jβk, (4.1) avec la densité totale de particule égale à la somme sur toutes les longueurs de cycles : ρΛ(β, µ) = ∞ X j=1 ρΛ,j(β, µ).
Ce qui intriguait R.Feynman [8] en 1953 c'est justement cette réécriture de la fonc-tion de partifonc-tion mais pour le gaz d'hélium qui est un gaz en forte interacfonc-tion. Il comptait donc discuter le lien entre la condensation de Bose-Einstein et la transition lambda de l'hélium avec quelques approximations justi ées intuitivement par cette nouvelle vision en terme de cycles de bosons et donc de gaz de cycles de bosons. L'idée de Feynman c'est que la condensation de Bose-Einstein pourrait être équi-valente à la formation de cycles in nis de bosons en limite thermodynamique. Le critère de condensation appelé ODLRO, de Penrose et Onsager de 1956 [9], s'est avéré en fait plus juste et valable pour les cas en interactions. D.Ueltschi d'ailleur revient sur cette remarque en 2006 [12] en proposant un phénomène de transition cycles nis/in nis sans existence de corrélations à longue portée. A.S¶tö en 1993 puis en 2002 [13] revint au cas du gaz parfait pour discuter la validité du critère d'existence de cycles in nis dans ce cas et montra sa validité pour le cas isotrope (Λ = L3), d'après (1.20) : ρshort(β, µ) = lim M ↑∞lim L↑∞ M X j=1 1 V e jβµX k e−jβk (4.2) = g3/2(e βµ) λ3 β < ζ(3/2) λ3 β ≡ ρc(β). (4.3)
En 2009, [14] j'ai établi l'équivalence entre la notion de condensation de Bose-Einstein généralisée introduite par M.van den Berg, J.Lewis, J.Pulé en 1986 et l'exis-tence de cycles in nis et d'ODLRO pour le gaz parfait dans des boîtes anisotropes. Ainsi l'équation (4.2) reste vraie pour Λ = L1×L2×L3 avec Li = Li(L), où L ∈ R+,∗
est un paramètre d'échelle. Ce travail, qui généralise celui de S¶tö pour le cas cu-bique, est important car les recherches expérimentales et théoriques sur le gaz de Bose en milieu anisotrope sont très actives. Mais ce n'est pas tout, dans [14], un lien entre les diérents types de condensats de Bose-Einstein (occupation macroscopique ou non des états quantiques condensés) a été établi avec la taille des cycles longs de polymères de bosons formant le condensat et avec la longueur de cohérence des condensats. Ceci a permis d'établir un lien entre diérentes terminologies utilisées dans les communautés de physiciens théoriciens, expérimentateurs et mathémati-ciens. En eet un condensat sur l'état fondamental (généralisé type I) ou fragmenté (généralisé type II) possède une longueur de cohérence occupant toute la boîte et formé par un ensemble de cycles macroscopiques alors qu'un quasi-condensat (gé-néralisé type III) possède une longueur de cohérence plus petite que la taille de la boîte et il est formé par un ensemble de cycles mésoscopiques.
Ensuite dans un récent article, avec V.Zagrebnov nous avons repris le problème du gaz de Bose parfait dans un modèle de boîte anisotrope introduit par van den Berg en 1983 [27]. Soit une boîte Λ = L1× L2× L3, avec L1 = L2 = LeαL, L3 = L. Il est présenté dans le chapitre 2 (et 3 pour un piège harmonique quasi-1D) une nou-velle transition dans le gaz de Bose qui sépare deux régimes : quasi-1/2D et 3D à une densité critique ρm(β) supérieure à la densité critique de condensation ρc(β). Dans le premier régime ρc(β) < ρ < ρm(β), on a un quasi-condensat (generalized BEC type III) dont la longueur de cohérence déprend de la densité et de la température Lc = Leλ(β)2(ρ−ρc(β))L/2 L1. Dans le second régime ρ > ρm(β), on a apparition d'un condensat usuel (macroscopique) sur l'état fondamental qui coexiste avec le quasicondensat saturé de longueur de cohérence constant Lc = L1 et de densité diminuant avec une diminution de température ∼ T . Il reste bien sûr à discuter cette transition en présence d'interactions. Mais dans un premier temps, il est in-téressant de savoir quelle est son image en terme de cycles. Dans [14] il est donnée un premier élément de réponse basé sur l'analogie avec la relation d'échelle entre la longueur de corrélation et la taille des polymères classiques linéaires étudiés par P.-G de Gennes [38]. En eet, il y a une relation de scaling entre la longueur de cohérence quantique r avec la taille n des cycles longs donnée par r = λ(β)n1/2 (λ(β) est la longueur thermique de de Broglie) tout comme la loi de scaling pour les chaines idéales reliant la taille des chaines R au nombre de monomère N : R = aN1/2 (a est la longueur eective du monomère). Heuristiquement on peut donc penser que dans le régime quasi-2D on a des "polymères" (cycles) de bosons mésoscopiques (dont la taille peut-être calculer avec la formule du dessus) et dans le régime 3D on a une coexistence entre des polymères de bosons macroscopiques et mésoscopiques.