GA appliqué à l’absorption acoustique

tan  ( ^k K + 1⁾ π 2 q , (3.5)

avec K le nombre total de générations et q un paramètre à choisir permettant de régler la force d’amplification.

3.1.3 GA appliqué à l’absorption acoustique

Le GA est utilisé pour maximiser l’absorption acoustique d’une cellule unitaire d’un méta-poreux. Pour cela la fonction fitness d’un individu i est définie comme étant fi = 1 − αi telle que : αi= ¹ nf req nXf req j=1 A(j)p, (3.6)

avec nf req le nombre de points en fréquence du coefficient d’absorption donné par le code élé-ments finis, A(j) la valeur du coefficient d’absorption à la fréquence j et p une pondération permettant de privilégier une gamme de fréquence particulière. Dans un premier temps p est constant et égal à 1.

Ici, un individu correspond à une géométrie de cellule unitaire particulière et les gènes cor-respondent aux paramètres géométriques des éléments qui la composent. Pour plus de simplicité, la taille de la cellule unitaire est fixée, les gènes sont donc liés exclusivement aux inclusions et aux cavités arrières. La liste des paramètres variables est donc :

- Position des inclusions - Orientation des inclusions - Rayon des inclusions - Épaisseur des inclusions - Position des cavités arrières - Largeur des cavités arrières - Longueur des cavités arrières.

L’épaisseur du matériau est fixée à 4 cm afin de pouvoir tester des configurations d’inclusions réparties sur deux lignes. Les résultats obtenus par le GA seront comparés avec le coefficient d’absorption du matériau seul d’épaisseur 4 cm et avec la géométrie de la supercellule étudiée section 2.4.2 dont toutes les dimensions ont été multipliées par deux pour obtenir également une épaisseur de matériau de 4 cm (tableau 3.2). Le nombre d’inclusions est fixé à 4 ou 6 et le nombre de cavités arrières fixé à 2.

CGA ^{ri(cm) re(cm) d(cm) e(cm) h(cm) L(cm)}

1.4 1.5 4 0.3 4 2

TABLE3.2 – Dimensions de la configuration C1. Ces variables géométriques sont définies Fig. 2.1

Bornes ^{xi(mm) yi(mm) φi(rad) ri(mm) ei(%) xc(mm) hc(mm) lc(mm)}

[4; 16] [4; 16] [0; 2π] [2; 10] [10; 90] [0; 30] [4; 20] [4; 20]

TABLE3.3 – Valeurs limites des variables géométriques

3.1.3.1 Contraintes

Il est nécessaire d’appliquer un certain nombre de contraintes sur le GA pour s’affranchir des solutions non-physiques (interpénétration d’inclusions, sortie de la matrice poreuse...) et aboutir à la meilleure solution admissible. Pour cela la méthode adoptée ici est de pénaliser fortement le fitness des solutions non-physiques en listant chaque cas et en ajoutant des conditions lors de l’évaluation de chaque individu.

FIGURE3.7 – Bornes des valeurs géométriques

La figure 3.7 indique la zone de variation de chacun des paramètres ; xi et yi délimitent la zone dans laquelle le centre d’une inclusion peut se déplacer, zila zone jusqu’où le rayon externe d’une inclusion peut aller, (seule la zone z1 est représentée sur la figure, mais toutes les autres inclusions disposent de la même liberté de mouvement) et li et hi montrent les déplacements possibles des cavités arrières. eireprésente l’épaisseur et rile rayon des inclusions, les inclusions

3.1 Optimisation par algorithme génétique 75

Coefficients σshare α q p

Valeurs 0.95 0.9 0.5 1

TABLE3.4 – Coefficients des mécanismes de convergence rapide utilisés pour les simulations

dessinées à droite de la figure montrant les deux cas extrêmes, la plus grande épaisseur avec le rayon le plus large, ou la plus petite épaisseur avec le rayon le plus petit possible. Comme le montre la figure 3.7, chaque inclusion dispose d’une zone commune aux trois inclusions voisines, il existe donc une probabilité qu’une inclusion rencontre une de ces trois voisines ou qu’elle sorte du matériau poreux. Pour chaque inclusion, trois conditions de non-pénétration sont ajoutées et une ou deux conditions de non-sortie suivant les cas.

Soit Oile centre de l’inclusion i de coordonnées (xi, yi) dans le repère global dont l’origine se trouve dans le coin inférieur gauche de la cellule unitaire et rei son rayon extérieur. Les condi-tions de non-pénétration sont :

si || ~OiOj|| − (rei− rej) < 0 alors, fi= 1, sinon fi= 1 − αi. et les conditions de non sortie sont :

si xi− ri< 0 où si yi− ri< 0 alors, fi= 1, sinon fi= 1 − αi.

3.1.3.2 Convergence

Pour s’assurer que le GA converge bien vers la meilleure solution possible, il est nécessaire de faire évoluer la population sur un large nombre de générations. Le nombre de générations et le nombre d’individus par génération vont alors influencer directement le temps de calcul né-cessaire à l’achèvement de l’optimisation. Il faut alors trouver le meilleur compromis permettant d’obtenir une solution satisfaisante en un temps le plus court possible. Les valeurs des coefficients utilisés pour le scaling et le nichage sont résumées dans le tableau 3.4.

FIGURE3.8 – Comparaison des convergences

Trois simulations sont réalisées avec la supercellule à 4 inclusions, faisant varier le nombre de générations et le nombre d’individus par génération (tableau 3.5). Le nombre d’individus total reste cependant le même (10000).

Simulation 1 2 3

Population init. 10 50 100

Nb. Générations 1000 200 100

TABLE3.5 – Conditions de départ

Simulation 1 2 3

Temps de calcul (h) 13,5 20 26

fi(%) 11,77 11,32 12,22

TABLE3.6 – Résultats obtenus à l’achèvement du processus d’optimisation

Les résultats (tableau 3.6) montrent que pour un même nombre d’individus, il existe une très grande différence de temps de calcul (environ 13 h entre les simulations 1 et 3). Il est également possible de voir sur la figure 3.8 que le point d’inflexion marquant le début d’une variation lente est atteint assez rapidement (moins de 50 générations dans chacune des simulations). Pour optimiser le temps de calcul, il peut être judicieux de s’arrêter après ce point, ceci permet alors d’obtenir un très bon compromis entre le temps de calcul et un résultat optimisé correct, mais dans le cas présent, nous cherchons à obtenir un raffinement plus important. Il est alors nécessaire de continuer l’optimisation sur un nombre plus important de générations.

D’après le tableau 3.6, les simulations menant aux meilleurs résultats sont les simulations 1 et 2, c’est-à-dire celles ayant le plus grand nombre de générations et étant les plus rapides.

La simulation 3 permet d’avoir une population initiale parcourant une large zone de solu-tions ; ce qui permet d’initier le processus avec un fitness assez bas (0.15), mais il n’est alors pas possible d’aboutir à la meilleure solution en seulement 100 générations. Cette configuration est donc inadéquate.

Malgré un bon résultat et le temps de simulation le plus court (13h30), la solution 1 est sus-ceptible de présenter un biais important en ce qui concerne l’espérance mathématique nécessaire au bon fonctionnement du mécanisme de sélection au vu du trop petit nombre d’individus qui la compose (voir section 3.1.1.1).