Il existe plusieurs g´en´eralisations du processus ponctuel de Poisson discut´e ici:
1. Le processus de Poisson inhomog`ene : Dans ce cas le nombre de points N]t,t+s] suit une loi de Poisson de param`etre
Z t+s t
λ(u) du , (5.3.1)
o`u λ(u) est une fonction positive, donnant le taux au temps u. Ce processus permet de d´ecrire des situations o`u les points apparaissent avec une intensit´e variable, par exemple si l’on veut tenir compte des variations journali`eres du trafic influen¸cant les horaires de passage de bus. On retrouve le processus de Poisson homog`ene siλ(u) est constant.
2. Leprocessus de Poisson de dimensionn>2 : Ce processus peut ˆetre d´efini par sa fonc-tion de comptage, en rempla¸cant les intervallesI par des sous-ensembles (mesurables) de Rn. Les nombres de points dans deux ensembles disjoints sont `a nouveau ind´ epen-dants, et le nombre de points dans un ensemble est proportionnel `a son volume. Ce processus peut par exemple mod´eliser la distribution des ´etoiles dans une r´egion de l’espace ou du ciel.
3. Le processus de naissance et de mort : Le processus ponctuel de Poisson peut ˆetre consid´er´e comme un processus de naissance pur : SiNt est interpr´et´e comme le nom-bre d’individus dans une population au temps t, ce nombre augmente avec un taux constant λ. Plus g´en´eralement, dans un processus de naissance et de mort, de nou-veaux individus naissent avec un taux λ et meurent avec un taux µ; ´eventuellement, λ=λ(Nt) et µ=µ(Nt) peuvent d´ependre de la taille actuelle de la population.
4. Le processus de Poisson compos´e : Soit Nt la fonction de comptage d’un processus de Poisson simple, et soientY1, Y2, . . ., des variables al´eatoires ind´ependantes et iden-tiquement distribu´ees (i.i.d.) et ind´ependantes de Nt. Alors le processus
St=
Nt
X
i=1
Yi (5.3.2)
est appel´e un processus de Poisson compos´e. A chaque instant Xn o`u le processus de Poisson sous-jacent augmente d’une unit´e, le processus compos´e St augmente d’une quantit´e al´eatoire Yn. Si Nt d´ecrit les instants d’arriv´ee de clients dans une station service, etYnd´ecrit la quantit´e d’essence achet´ee par le clientn, alorsStest la quantit´e d’essence totale vendue au tempst. Si tous lesYivalent 1 presque sˆurement, on retrouve le processus de Poisson de d´epart.
5. Le processus de renouvellement : Un tel processus est d´efini comme le processus de Poisson `a partir de ses temps d’attenteZn, sauf que les Zn ne suivent pas forc´ement
5.4. EXERCICES 81 une loi exponentielle. Il mod´elise par exemple les instants de remplacement de ma-chines de dur´ee de vie al´eatoire (d’o`u le terme de “renouvellement” : chaque nouvelle machine ´etant suppos´ee ind´ependante des pr´ec´edentes, le processus oublie son pass´e
`
a chaque instant de renouvellement). Ce processus n’a en g´en´eral plus les propri´et´es d’ind´ependance de la fonction de comptage, mais sous certaines hypoth`eses sur la loi des Zn (existence des deux premiers moments), il existe des versions asymptotiques de ces propri´et´es.
5.4 Exercices
Exercice 5.1. Des clients arrivent dans une banque suivant un processus de Poisson d’intensit´e λ. Sachant que deux clients sont arriv´es dans la premi`ere heure, quelle est la probabilit´e que
1. les deux soient arriv´es dans les 20 premi`eres minutes?
2. l’un au moins soit arriv´e dans les 20 premi`eres minutes?
Exercice 5.2. Dans un serveur informatique, les requˆetes arrivent selon un processus ponctuel de Poisson, avec un taux de 60 requˆetes par heure. D´eterminer les probabilit´es suivantes :
1. L’intervalle entre les deux premi`eres requˆetes est compris entre 2 et 4 minutes.
2. Aucune requˆete n’arrive entre 14h et 14h05.
3. Sachant que deux requˆetes sont arriv´ees entre 14h et 14h10, les deux sont arriv´ees dans les 5 premi`eres minutes.
4. Sachant que deux requˆetes sont arriv´ees entre 14h et 14h10, au moins une est arriv´ee dans les 5 premi`eres minutes.
Exercice 5.3. Un serveur informatique envoie des messages selon un processus ponctuel de Poisson. En moyenne, il envoie un message toutes les 30 secondes.
1. Quelle est la probabilit´e que le serveur n’envoie aucun message au cours des 2 premi`eres minutes de sa mise en service?
2. A quel moment esp´erez-vous le second message (quel est le temps moyen de l’envoi du second message)?
3. Quelle est la probabilit´e que le serveur n’ait pas envoy´e de message durant la premi`ere minute, sachant qu’il a envoy´e 3 messages au cours des 3 premi`eres minutes?
4. Quelle est la probabilit´e qu’il y ait moins de 3 messages au cours des 2 premi`eres minutes, sachant qu’il y en a eu au moins 1 au cours de la premi`ere minute?
Exercice 5.4. Dans un centre d’appel t´el´ephonique, les appels arrivent selon un processus de Poisson de taux 10 appels par heure.
1. Si une t´el´ephoniste fait une pause de 10 heures `a 10h30, combien d’appels va-t-elle rater en moyenne durant sa pause?
2. Quelle est la probabilit´e qu’elle a rat´e au plus 2 appels?
3. Sachant que 4 appels arrivent entre 10 heures et 11 heures, quelle est la probabilit´e qu’elle n’a rat´e aucun appel durant sa pause? Qu’elle n’a rat´e qu’un appel?
4. Sachant qu’il y aura 2 appels entre 10h30 et 11 heures, quelle est la probabilit´e qu’ils arrivent tous entre 10h30 et 10h45?
82 CHAPITRE 5. LE PROCESSUS PONCTUEL DE POISSON Exercice 5.5. L’´ecoulement des voitures le long d’une route est mod´elis´e par un processus de Poisson d’intensit´eλ= 2 voitures par minute. A cause d’un chantier, le trafic est arrˆet´e alternativement dans chaque direction. On admet qu’`a l’arrˆet, chaque v´ehicule occupe une longueur de 8 m`etres en moyenne.
1. Quelle est la loi du temps d’arriv´eeXn de lani`eme voiture?
2. A l’aide du th´eor`eme central limite, donner une approximation gaussienne de la loi de Xn.
3. Pendant combien de temps peut-on arrˆeter le trafic si l’on d´esire que la queue ainsi form´ee ne d´epasse la longueur de 250m qu’avec une probabilit´e de 0.2? (La valeur de x pour laquelleP{N(0,1)< x}= 0.2 estx' −0.85).
Exercice 5.6 (Le paradoxe de l’autobus). Les temps d’arriv´ee d’autobus `a un arrˆet sont d´ecrits par un processus de Poisson (Xn)nd’intensit´eλ. Un client arrive `a l’instanttapr`es le d´ebut du service.
1. Calculer la probabilit´e que le client rate leni`eme bus mais attrape le (n+ 1)i`eme bus.
2. Calculer la probabilit´e qu’il rate le ni`eme bus et doive attendre le (n+ 1)i`eme bus pendant un temps sau moins.
3. Calculer la probabilit´e qu’il doive attendre le bus suivant pendant un temps s au moins.
4. En d´eduire le temps d’attente moyen, et comparer ce temps avec le temps de passage moyen entre bus. Qu’en pensez-vous?
Exercice 5.7. Soient (Xn)net (Yn)ndeux processus de Poisson ind´ependants, d’intensit´es respectivesλetµ. Soit (Zn)nle processus obtenu en superposant (Xn)net (Yn)n. Montrer qu’il s’agit encore d’un processus de Poisson et donner son intensit´e.
Exercice 5.8. SoitXn un processus ponctuel de Poisson d’intensit´e λ.
Soit Yn le processus obtenu en effa¸cant chaqueXn (n>1) avec probabilit´e 1/2, ind´ epen-damment de tous les autres, puis en renum´erotant les points restants par les entiers positifs.
On noteNt, respectivementMt, le nombre deXn, respectivementYn, dans l’intervalle ]0, t].
1. Donner la loi de Nt.
2. Montrer que pour toutk,l7→P{Mt=l|Nt=k}suit une loi binomiale, et d´eterminer ses param`etres.
3. En d´eduire la loi de Mt.
4. Montrer queYn est un processus ponctuel de Poisson, et d´eterminer son intensit´e.
5. Que se passe-t-il si on efface chaqueXn avec probabilit´e 1−q, 0< q <1?
Chapitre 6
Processus markoviens de sauts
Les processus markoviens de sauts sont un analogue en temps continu des chaˆınes de Markov. Rappelons que la propri´et´e essentielle permettant de d´efinir ces chaˆınes est la propri´et´e de Markov :
P
Xn=j
Xn−1=i, Xn−2=in−2, . . . , X0=i0 =P
Xn=j
Xn−1 =i
=pij (6.0.1)
pour tout temps n. Un processus markovien de sauts est d´efini par la condition P
Xs+t=j
Xs=i, Xsn−2 =in−2, . . . , Xs0 =i0 =P
Xs+t=j
Xs=i
=Pt(i, j) (6.0.2)
pour tout choix de temps 06s0< s1 <· · ·< sn−2 < s < s+t∈R+. Pour chaque t>0, l’ensemble desPt(i, j) doit former une matrice stochastique, appel´eenoyau de transition.
Ses ´el´ements sont appel´esprobabilit´es de transition.
Exemple 6.0.1 (Chaˆıne de Markov en temps continu). Soit Yn une chaˆıne de Markov de matrice de transition P, et soit Nt la fonction de comptage d’un processus ponctuel de Poisson de taux λ. Alors
Xt=YNt (6.0.3)
est un processus markovien de sauts, qu’on appelle unechaˆıne de Markov en temps continu.
Ce processus effectue des transitions `a des temps al´eatoires, donn´es par le processus de Poisson, au lieu de temps r´eguli`erement espac´es comme dans le cas de la chaˆıne de Markov de d´epart. La propri´et´e (6.0.2) est une cons´equence de deux propri´et´es de Markov : celle de la chaˆıne Yn, et celle de la loi exponentielle, c.f. (4.2.9).
Comme le nombre de sautsNtjusqu’au tempstsuit une loi de Poisson, les probabilit´es de transition sont donn´ees par
Pt(i, j) =
∞
X
n=0
P
Nt=n Pi
Xn=j =
∞
X
n=0
e−λt(λt)n
n! p(n)ij , (6.0.4) o`u les p(n)ij sont les ´el´ements de la matricePn, d´ecrivant les probabilit´es de transition en n pas de la chaˆıne de MarkovYn.
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84 CHAPITRE 6. PROCESSUS MARKOVIENS DE SAUTS