Géométrie de l’espace symétrique de Drinfeld

Nous allons maintenant décrire l’espace symétrique de Drinfeld H^d_K. Il s’agit de l’espace analytique sur K dont les C-points sont

H^d_K(C) =P^d(C)\ ^[

H∈H

H.

On dispose d’une application G-équivariante

τ :H^d_K(C)→ {normes sur K^d+1}/{homothéties}

donnée par

τ(z) :v 7→ |

Xd i=0

zivi|

si z = [z0,· · · , zd]∈ H^d_K(C). L’image τ(z) ne dépend pas du représentant de z car les normes sont vues à homothétie près. Le fait de prendre le complémentaire des hyperplans K-rationnels assure que τ(z) est séparée et donc une norme sur K^d+1. D’après un résultat classique de Iwahori-Goldmann [GI63], l’espace des normes sur K^d+1 à homothétie près s’identifie bijecti-vement (et de manière G-équivariante) à l’espace topologique |BT |, ce qui permet de voir τ comme une application

τ :H^d_K(C)→ |BT |.

Nous renvoyons à [BC91, §I.4] quand d= 1 ou [Wan14a, §2.1] pour la justification des faits suivants. Soit σ∈ BTk un simplexe de type (e0, e1,· · · , ek) et posons

H^d_K,σ :=τ⁻¹(σ), H^d_K,˚σ :=τ⁻¹(˚σ).

L’ouvert H^d_K,σ est un affinoïde, admettant un modèle entier H^d_OK,σ = Spf( ˆAσ) où ˆAσ est le complété p-adique de O_K[X0,· · · , Xd,_P¹_σ]/(^Qk

i=0Xdi −̟), pour un certain polynôme Pσ ∈ O_K[X0, ..., X_d] qui est décrit dans [Wan14a, §2.1] ou dans [Junb, §1.5]. Nous ne servirons ici que du cas où σ=s est un sommet. L’algèbre ˆAs est alors le complété p-adique de

O_K[X0,· · · , Xd−1, 1

Q

a=(ai)i∈F^d+1\{0}(˜a0X0+· · ·˜ad−1Xd−1+ ˜ad)] (1) avec ˜a= (˜ai)i un relevé de a dans OK. Pour H^d_K,˚σ, il s’agit de l’ouvert

{z ∈P^d_K :∀0≤i≤k,∀a, b∈Mi\Mi−1,∀c∈Mi−1,| hc, zi | <| ha, zi |=| hb, zi | avec M−1 =̟Mk. Considérons les ouverts

Cr ={x= (x1,· · · , xr)∈B^r_K| ∀a∈ O^r+1_K \̟O^r+1_K , 1 =| h(1, x), ai |}, Ak ={y = (y0,· · ·, yk−1)∈B^k_K|1>|y_k−1|>· · ·>|y₀|>|̟|}

et les morphismes

H^d_K,˚σ →Ce_i−1, [z0,· · · , zd]7→(zdi+1

zdi

,zdi+2

zdi

,· · · ,zdi+1−1

zdi

) et H^d_K,˚σ →Ak, [z0,· · · , zd]7→(zd0

z_d,zd1

z_d,· · · ,zdk−1

z_d ).

Il est montré dans [DS01, 6.4] que les morphismes ci-dessus induisent un isomorphisme H^d_K,˚σ ∼=Ak×

Yk i=0

Cei−1 ∼=Ak×Cσ.

Remarque 3.1. Nous avons introduit précédemment une décomposition en somme adapté au simplexe :

Mk =N0⊕ · · · ⊕Nk

avec Ni = ^Dfdi−1+1,· · · , fdi

E. En particulier, un vecteur unimodulaire a est dans Mi si et seulement si la projection sur Ni+1⊕ · · · ⊕Nk est divisible par ̟. Ainsi tout vecteur a de Mi

peut s’écrire sous la forme a =a1 +a2 avec a1 ∈ Ni, a2 ∈ Mi−1 et on a d’après la description des morphismes ci-dessus :

l_a1 zdi

∈O^∗(Cei−1).

3.4 Géométrie de la fibre spéciale de H

^d_OK

Si s est un sommet de BT on note Ost(s) = ^[

σ∋s

˚σ, Fst(s) = ^[

σ∋s

σ

l’étoile ouverte, respectivement fermée de s. Pour un simplexe σ on note Ost(σ) = ^\

s∈σ

Ost(s), Fst(σ) = ^\

s∈σ

Fst(s).

Les composantes irréductibles de la fibre spéciale de H^d_OK sont indexées par l’ensemble des sommets deBT₀ : pour chaque sommetsla composante correspondante estH^d_F,Ost(s). On obtient ainsi un recouvrement admissible (H^d_K,Ost(s))s∈BT0 deH^d_K dont les intersections d’ouverts sont de la formeH^d_K,Ost(σ) pourσ ⊂ BT un simplexe. En fibre spéciale, le lieu lisse de cette intersection est l’ouvert

H^d_F,Ost(σ)\^[

s /∈σ

H^d_F,Ost(s)=H^d_F,˚σ car ˚σ =σ\ ^S

σ^′(σ

σ^′. En particulier, le lieu lisse d’une composante irréductible est

H^d_F,s ∼=P^d_F\^[

H

H

où H parcourt l’ensemble des hyperplans F-rationnels (cf (1)). De plus, H^d_F,Ost(s) est une com-pactification qui s’obtient comme suit ([Gen96, sous-section III.1.] ou [Wan14b, 4.1.2]). Posons Y0 =P^d_F et construisons par éclatements successifs une suite d’espaces

Yd→Yd−1 → · · · →Y0.

Supposons que l’on ait préalablement construit Y0,· · · , Yi. On a des morphismes pi :Yi →Yi−1

et ˜p_i = p_i ◦ · · · ◦p₁ : Y_i → Y₀. On pose Z_i le transformé strict par ˜p_i de l’union des espaces de codimension i+ 1 dans Y0. On définit Yi+1 comme l’éclaté de Yi suivant Zi. Alors, on a Yd∼=H^d_F,Ost(s).

3.5 Interprétation modulaire de l’espace de Drinfeld

Pour construire le premier revêtement de l’espace de Drinfeld, nous avons besoin d’une interprétation modulaire de cet espace, ce qui demande quelques notions et notations.

Rappelons queD est uneK-algèbre centrale à division, de dimension (d+ 1)² et d’invariant

1

d+1 et considérons O_(d+1) l’anneau des entiers d’une extension non-ramifiée de K, de degré d+ 1 contenue dans D. Si A est uneO_K-algèbre, un O_D-module formel sur Spec(A) (ou, plus

simplement, sur A) est un groupe formel X sur A muni d’une action de O_D, notée ι : O_D → End(X), qui est compatible avec l’action naturelle deOK sur l’espace tangent Lie(F),i.e.pour adansOK,dι(a) est la multiplication paradans Lie(F). LeOD-module formelXest ditspécial si Lie(X) est un O_(d+1) ⊗_OK A-module localement libre de rang 1. On a le résultat classique suivant :

Proposition 3.2. Sur un corps algébriquement clos de caractéristique p, il existe, à isogénie près, un unique O_D-module formel spécial de dimension d+ 1 et de (OK-)hauteur (d+ 1)².

On notera Φ_F l’unique (à isogénie près) OD-module formel spécial Φ_F sur F de dimension d+ 1 et hauteur (d+ 1)² (l’entier d étant fixé par la suite, nous ne le faisons pas apparaître dans la notation Φ_F).

Soit Nilp_O˘

K la catégorie des OK˘-algèbres sur lesquelles ̟ est nilpotent. Considérons le foncteur G^Dr : Nilp_O˘

K →Ens envoyant A ∈Nilp_O˘

K sur l’ensemble des classes d’isomorphisme de triplets (ψ, X, ρ) avec :

• ψ :F→A/̟A est unF-morphisme,

• X est un OD-module formel spécial de dimension d+ 1 et de hauteur (d+ 1)² sur A,

• ρ: Φ_F⊗_F,ψA/̟A→XA/̟A est une quasi-isogénie de hauteur zéro.

Le théorème fondamental suivant, à la base de toute la théorie, est dû à Drinfeld : Théorème 3.3 ([Dri76]). Le foncteur G^Dr est représentable par H^d_O˘

K.

Remarque 3.4. On définit le foncteur ˜G^Dr de la même manière que G^Dr mais en ne fixant plus la hauteur de la quasi-isogénie ρ. Alors ˜G^Dr est, lui aussi, représentable par un schéma formel Mc⁰_Dr sur Spf(OK), qui se décompose

G˜^Dr = ^a

h∈Z

G^Dr,(h),

oùG^Dr,(h) est défini comme précédemment en imposant que la quasi-isogénie ρ soit de hauteur (d+ 1)h. Chacun des G^Dr,(h) est alors isomorphe (non canoniquement) au foncteur G^Dr, ce qui induit un isomorphisme non-canonique

Mc⁰_Dr ∼=H^d_O˘

K ×Z.

3.6 La tour de Drinfeld

On noteXleOD-module formel spécial universel surH^d_O˘

K (cf. th. 3.3) et ˜Xle module formel spécial universel déduit de la représentabilité de ˜G^Dr. Pour tout entier n ≥ 1, l’action de Πⁿ_D induit une isogénie de X et de ˜X. Le schéma en groupes X[Πⁿ_D] = ker(X ^Π

n

−−→D X) (resp. ˜X[Πⁿ_D]) est fini plat, de rang q^n(d+1) sur H^d_O˘

K (resp. M^c0_Dr).

On note Σ⁰ =H^d_K˘ et M⁰_Dr = (M^c0_Dr)^rig ∼=H^d_K˘ ×Z. Pourn ≥1 on définit Σⁿ:= (X[Πⁿ_D]\X[Πⁿ⁻¹_D ])^rig, Mⁿ_Dr := (˜X[Πⁿ_D]\X[Π˜ ⁿ⁻¹_D ])^rig.

Les morphismes d’oubli Σⁿ → Σ⁰ et Mⁿ_Dr → M⁰_Dr définissent des revêtements finis étales de groupe de Galois² O^∗_D/(1 + Πⁿ_DO_D). On a encore des isomorphismes non-canoniques Mⁿ_Dr ∼= Σⁿ×Z et les revêtements respectent ces décompositions.

2. De même, les morphismes intermédiaires Σⁿ→Σⁿ⁻¹et Mⁿ_Dr→ Mⁿ_Dr⁻¹ sont des revêtements finis étales de groupes de Galois (1+Πⁿ_D⁻¹OD)/(1+Πⁿ_DOD). Les tours obtenues définissent aussi des revêtements pro-étales de groupe de GaloisO^∗_D

Le groupe G s’identifie au groupe des quasi-isogénies de X, il agit donc naturellement sur chaque niveau de la tour (Mⁿ_Dr)n≥0. De même, le groupeO^∗_Dpermute les points de Πⁿ_D-torsion et O_D^∗ agit surMⁿ_Dr à travers son quotientO^∗_D/(1 + Πⁿ_DOD)≃Gal(Mⁿ_Dr/M⁰_Dr). Ces deux actions commutent entre elle et les revêtements Mⁿ_Dr → M⁰_Dr sont G-équivariants. En revanche, le revêtement Σⁿ→Σ⁰ est seulement GLd+1(OK)-équivariant³.

3.7 Le premier revêtement

Nous nous intéressons désormais au casn= 1. On peut encore définir une flèche de réduction ν de Σ¹ vers l’immeuble de Bruhat-Tits BT s’inscrivant dans le diagramme :

Σ¹

π

ν

!!

❈❈

❈❈

❈❈

❈❈

❈

H^d_K˘ ^{τ //}BT .

Pour tout sous-complexe simplicial T ⊆ BT, on note

Σ¹_T =ν⁻¹(T), Σ¹_L,T = Σ¹_T ⊗K˘ L.

Le groupe de Galois de Σ¹ est F^∗_qd+1. Ce groupe est cyclique et son cardinal N =q^d+1−1

est premier àp. C’est un revêtement modérément ramifié et ces deux propriétés joueront un rôle central dans la suite. Le schéma X[ΠD] est, en particulier, un schéma en F_p-espaces vectoriels et la condition que Xsoit spécial entraîne que X[ΠD] est un schéma de Raynaud. Pour énoncer les conséquences de cette observation, introduisons quelques notations.

Écrivons

˜

u1(z) = (−1)^{d Y}

a∈(F)^d+1\{0}

a0z0+· · ·+adzd∈O(A^d+1_F \{0}).

Si on fixe b ∈(F)^d+1\{0}, on construit u1(z) = (b0z0+· · ·+bdzd)^−Nu˜1 une fonction inversible deH^d_F,s ∼=P^d_F\^S_H∈H1H poursle sommet standard deBT. Notons que la projection deu₁ dans O^∗(H^d_F,s)/(O^∗(H^d_F,s))^N ne dépends pas du choix deb et celui-ci n’aura donc pas d’incidence sur les résultats à suivre. Pour simplifier, nous pourrons prendre b = (0,· · ·,0,1). On peut aussi relever u₁ en une fonction inversible dans O^∗(H^d_O˘

K,s) voire même dans O^∗(H^d_K,Ost(s)˘ ) que l’on notera encore u1.

En utilisant la classification des schémas de Raynaud, on a d’après [Junb, Théorème 4.9 et Remarque 4.10]⁴ (cet énoncé étend les résultats de Teitelbaum [Tei90, Théorème 5] pourd= 1 et de Wang [Wan14a, Lemme 2.3.7.] pour d quelconque) :

Théorème 3.5. Il existe u∈O^∗(H^d_K˘) vérifiant u≡u1 (modO^∗(H^d_K,Ost(s)˘ )^N) telle que Σ¹ ∼=H^d_K˘((̟u)^N1).

En particulier, Σ¹_Ost(s) ∼=H^d_K,Ost(s)˘ ((̟u1)^N1).

Remarque 3.6. Notons que le résultat précédent ne décrit pas l’action de GLd+1(OK)̟^Z = StabG(Ost(s)). Toutefois, d’après [Junb, Remarque 4.12], toutes les actions possibles sur Σ¹ commutant avec le revêtement se déduisent l’une de l’autre en tordant par un caractère

χ∈Hom(GLd+1(OK), µN(H^d_K,Ost(s)˘ ))∼=F^∗.

Nous déterminerons l’action provenant de l’interprétation modulaire dans 6.3.

3. En fait, il l’est pour le groupe qui préserve Σ¹∼= Σ¹× {0}à savoirv◦det⁻¹((d+ 1)Z)⊂G.

4. Notons que l’espace ˚U_1,K˘ dans [Junb, Remarque 4.10] coïncide avecH^d_˘

K,Ost(s).

4 Cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig

4.1 Variétés de Deligne-Lusztig

Considérons les groupes algébriques G= GL_d+1,F etG0 = GLd+1,F, ainsi que le morphisme de Frobenius F défini par (ai,j)i,j 7→ (a^q_i,j)i,j. Soit B le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures, T le tore des matrices diagonales,U le sous-groupe deB des matrices unipotentes.

On identifie le groupe de Weyl W =NG(T)/T à S_d+1 par le biais des matrices de permu-tation. Soit w la matrice de permutation associée au cycle (0,1, . . . , d)∈S_d+1. On définit

Y(w) :={gU ∈G/U| g⁻¹F(g)∈UwU} et X(w) :={gB∈G/B| g⁻¹F(g)∈BwB}.

Il existe π rendant le diagramme suivant commutatif : Y(w) ^{ι //}

π

G/U

X(w) ^{ι //}G/B

.

Le groupe GLd+1(F) = G(F)^F=1 agit sur Y(w) et X(w) par multiplication à gauche. Le groupe fini commutatif

T^wF :={t∈T| wF(t)w⁻¹ =t}

agit librement (par multiplication à droite) sur Y(w). La flèche π est un revêtement fini étale et induit un isomorphisme GLd+1(F)-équivariant

Y(w)/T^wF −→^∼ X(w).

On peut rendre ces objets plus explicites comme suit [DL76, 2.2]. D’une partT^wF s’identifie àF^∗_qd+1 via l’applicationx∈F^∗_qd+1 7→diag(x, F x, . . . , F^dx). D’autre part, considérons la variété

Ω^d_F :=P^d_F\^[

H

H,

où H parcourt l’ensemble des hyperplans F-rationnels. Elle possède une action naturelle de GLd+1(F). Soit e0 = (1,0, ...,0) et H0 = ker(le0). On rappelle que l’on a aussi construit dans la section précédente deux applications ˜u1(z)∈O(A^d+1_F \{0}) etu1(z) = ˜u1(z)/z_d^N ∈O^∗(Ω^d_F).

Proposition 4.1. On a des identifications GLd+1(F)-équivariantes entre X(w) et Ω^d_F et entre Y(w) et

{z ∈A^d+1_F \{0}: ˜u₁(z) = 1}=: DL^d_F. De plus, π est induite par la projection naturelle A^d+1_F \{0} →P^d_F

Remarque 4.2. — En envoyant (z0, ..., zd)∈Y(w) sur (z_d⁻¹,[z0 :· · · :zd]) et (t, z = [z0 :· · ·: zd]) ∈ Ω^d_F(u^1/N₁ ) sur (t⁻¹,_tz^z1

d,· · · ,_tz^zd

d) sous l’identification précédente, on obtient un iso-morphismeF^∗_qd+1-équivariant (le deuxième terme n’a pas d’action naturelle de GLd+1(F)...)

Y(w)≃Ω^d_F(u^1/N₁ ).

— Comme dans la remarque 3.6, toutes les actions possibles de GLd+1(F) sur Ω^d_F(u^1/N₁ ) commutant avec le revêtement se déduisent l’une de l’autre en tordant par un caractère

χ∈Hom(GLd+1(OK), µN(Ω^d_F))∼=F^∗,

et le lemme 6.3 exhibe une identification naturelle avec l’ensemble des actions considérées dans 3.6. Dans 6.3, nous verrons que l’action provenant de l’interprétation modulaire de Σ¹ et l’action naturelle sur DL^d_F coïncident sous cette bijection.

Démonstration. On identifie G/B à la variété des drapeaux complets de (F)^d+1. On vérifie facilement qu’un drapeau{0}(D0 (· · ·(Dd = (F)^d+1 est dansX(w) si et seulement si pour tout i on a

Di =D0⊕F D0⊕ · · · ⊕FⁱD0.

On obtient un plongement X(w)→P^d_F,(Di)7→D0. La projection d’un point z = (z0, . . . , zd)∈ (F)^d+1\{0} est dans l’image de ce morphisme si et seulement si (z, F z, . . . , F^dz) est une base de (F)^d+1, ce qui revient à dire que det((z^q_i^j)0≤i,j≤d) est non nul. Mais

det((z_i^qj)i,j)^q−1 = ^Y

a∈(F)^d+1\{0}

la(z) = (−1)^du˜1(z).

On en déduit alors un isomorphisme

X(w)−→^∼ P^d_F\ ^[

H∈P^d(F)

H = Ω^d_F.

La variété G/U classifie les paires ((Di)i,(ei)i) avec (Di)i un drapeau et ei ∈Di\Di−1. Une paire ((Di)i,(ei)i) est dans Y(w) si et seulement si (Di)i ∈X(w) et

∀i < d, Fⁱe0 ≡ei (mod Di−1) et F^d+1e0 ≡e0 (mod Vect(e1,· · · , ed)).

Ainsi la flèche ((Di)i,(ei)i)7→e0induit un plongementY(w)→A^d+1_F \{0}rendant le diagramme suivant commutatif :

Y(w) ^{ι //}

A^d+1_F \{0}

X(w) ^{ι //}P^d_F

.

Un point x = (z0, . . . , z_d) ∈ A^d+1_F \{0} est dans l’image de ce morphisme si et seulement si det((z_i^qj)0≤i,j≤d) = (−1)^ddet(F ·(z^q_i^j)0≤i,j≤d). Cela revient à écrire

ι:Y(w)−→ {z^∼ ∈A^d+1_F \{0}: ˜u1(z) = 1}.

4.2 Cohomologie étale des variétés de Deligne-Lusztig

On note DL^d_F l’extension des scalaires de DL^d_F àF. Soitl6=pun nombre premier, nous allons rappeler la description de la partie cuspidale de la cohomologie l-adique à support compact de DL^d_F.

Soit θ : F^∗_qd+1 → Q^∗_l un caractère, on dit que θ est primitif s’il ne se factorise pas par la normeF^∗_qd+1 →F^∗_qe pour tout diviseur propreede d+ 1. Si M est unQ_l[F^∗_qd+1]-module on note

M[θ] = HomF^∗

qd+1(θ, M).

Si π est une représentation de GLd+1(F), on dit que π est cuspidale si π^N(F) = 0 pour tout radical unipotent N d’un parabolique propre de GLd+1. La théorie de Deligne-Lusztig (ou celle de Green dans notre cas particulier) fournit :

Théorème 4.3. Soit θ :F^∗_qd+1 →Q^∗_l un caractère.

a) Si θ est primitif, alors Hⁱ_ét,c(DL^d_F,Q_l) est nul pour i6=d et πθ,l:= H^d_ét,c(DL^d_F,Q_l)[θ]

est uneGLd+1(F)-représentation irréductible, cuspidale, de dimension(q−1)(q²−1). . .(q^d−1).

Toutes les représentations cuspidales sont ainsi obtenues.

b) Siθn’est pas primitif, aucune représentation cuspidale n’intervient dans^L_iHⁱ_ét,c(DL^d_F,Q_l)[θ].

Démonstration. Voir [DL76, cor. 6.3], [DL76, th. 7.3], [DL76, prop. 7.4], [DL76, prop. 8.3], [DL76, cor. 9.9], pour ces résultats classiques.

Ainsi, la partie cuspidale H^∗_ét,c(DL^d_F,Q_l)cusp de H^∗_ét,c(DL^d_F,Q_l) est concentrée en degré d, où elle est donnée par^L_θπθ,l⊗θ, la somme directe portant sur tous les caractères primitifs.

Remarque 4.4. (voir [DL76, 6.3] et [Yos10, Proposition 6.8.(ii) et remarques]) SoitN =q^d+1−1 et fixons un isomorphisme F^∗_qd+1 ≃Z/NZ etZ/NZ^∨ ≃Z/NZ. Soient θj1 etθj2 deux caractères primitifs vus comme des éléments de Z/NZ via j1, j2, les représentations πθj1 et πθj2 sont isomorphes si et seulement si il existe un entier n tel que j1 =qⁿj2 dans Z/NZ.

4.3 Cohomologie rigide des variétés de Deligne-Lusztig

Nous aurons besoin d’un analogue des résultats présentés dans le paragraphe précédent pour la cohomologie rigide. Cela a été fait par Grosse-Klönne dans [GK07]. Siθ :F^∗_qd+1 →K^∗ est un caractère, posons

πθ = H^∗_rig,c(DL^d_F/K)[θ] :=^M

i

Hⁱ_rig,c(DL^d_F/K)[θ], où

Hⁱ_rig,c(DL^d_F/K) := Hⁱ_rig,c(DL^d_F)⊗W(F)[1/p]K et où M[θ] désigne comme avant la composante θ-isotypique de M.

Théorème 4.5. Fixons un premier l 6= p et un isomorphisme K ∼= Q_l. Si θ est un caractère primitif, alors

π_θ := H^d_rig,c(DL^d_F/K)[θ]

est isomorphe en tant que GLd+1(F)-module à πθ,l, en particulier c’est une représentation irré-ductible cuspidale.

Démonstration. Cela se fait en trois étapes, cf. [GK07, 4.5]. Dans un premier temps, on montre [GK07, 3.1] que les K[GLd+1(F)×F^∗_qd+1]-modules virtuels

X

i

(−1)ⁱHⁱ_ét,c(DL^d_F,Q_l) et ^X

i

(−1)ⁱHⁱ_rig,c(DL^d_F/K)

coïncident. Il s’agit d’une comparaison standard des formules des traces de Lefschetz en coho-mologies étale l-adique et rigide. Dans un deuxième temps (et c’est bien la partie délicate du résultat), on montre que ^L_iHⁱ_rig,c(DL^d_F/K)[θ] est bien concentré en degréd, cf. [GK07, th. 2.3].

On peut alors conclure en utilisant le théorème 4.3.

5 Cohomologie de de Rham et revêtements cycliques modérés

Dans ce chapitre Lsera une extension non ramifiée deK, donc̟en est une uniformisante.

Toutes les cohomologies de de Rham seront calculées sur le complexe surconvergeant ie. nous écrirons par abus H^∗_dR(X) pour tout espace analytique X au lieu de H^∗_dR(X^†).

5.1 Réduction semi-stable généralisée

Soit X un schéma formel topologiquement de type fini sur Spf(OL), de fibre générique Xη

et de fibre spéciale X_s. On a une flèche de spécialisation Sp :X_η → X_s. Pour tout sous-schéma Z ⊂ X_s on note ]Z[X le tube de Z dans X_η, i.e. l’espace analytique

]Z[X= Sp⁻¹(Z)⊂ Xη.

On dit que X est de réduction semi-stable généralisée s’il existe un recouvrement ouvert (Zariski) X = ^S

t∈TUt et un jeu de morphismes étales (pour certains r≤d etαi ≥1) ϕt:Ut→Spf(OLhx1,· · · , xdi/(x^α₁¹· · ·x^α_r^r −̟)).

Dans ce cas, quitte à rétrécir les ouverts Ut et à prendre r minimal, on peut supposer que les composantes irréductibles de la fibre spéciale Ut de Ut sont les V(x^∗_i) pour i ≤ r avec x^∗_i =ϕ_t(xi). Elles ont les multiplicités αi. On dit que X est de réduction semi-stable si de plus tous les αi valent 1. Dans ce cas, les fibres spéciales Ut sont réduites.

5.2 Enoncé du résultat principal

Soit X un schéma formel sur Spf(OL), de réduction semi-stable généralisée, de fibre géné-riqueX_η et de fibre spécialeX_s. On note (Yi)i∈I l’ensemble des composantes irréductibles de X_s. On suppose que le recouvrement Xs= ^S

i∈IYi est localement fini, i.e. pour toute partie finieJ de I, les composantes Yj pourj ∈J n’intersectent qu’un nombre fini de composantes irréductibles de X_s. Si J est un sous-ensemble de I, on note

Y_J = ^\

j∈J

Y_j.

Le but de cette section est de prouver le théorème suivant :

Théorème 5.1. SoientX semi-stable généralisé et(Yi)i∈I comme ci-dessus, et soitπ:T → X_η un revêtement étale de groupe de Galois µ_n avec n premier à p. Pour toute partie finie J de I la flèche de restriction induit un isomorphisme

H^∗_dR(π⁻¹(]YJ[X))−→^∼ H^∗_dR(π⁻¹(]YJ\^[

i /∈J

Yi[X)).

si X est de réduction semi-stable (non généralisée) ou n= 1 (i.e. T =X_η).

Remarque 5.2. 1. SiX est de réduction semi-stable (non généralisée) et n= 1 (i.e. T =Xη) le théorème ci-dessus a été démontré par Grosse-Klönne [GK02, Theorem 2.4.]. Il s’agit d’un point crucial dans sa preuve de la finitude de la cohomologie rigide. Le principal in-térêt de notre généralisation est la présence du revêtement cycliqueπ de la fibre générique deXη.

2. Si de plus X est algébrisable et |J| = 1, le résultat [Zhe08, Lemme 5.6] est un analogue en cohomologie étale l-adique du théorème ci-dessus.

Comme dans la preuve originale, on procède en deux étapes. On applique dans un premier temps un certain nombre de réductions assez techniques (cf. 5.5 et 5.6) pour se ramener à l’étude des revêtements de couronnes. Ces étapes sont similaires à la démonstration de Grosse-Klönne, qui utilise des recouvrements bien choisis et la suite spectrale de Cech. Dans notre cas, on reprend les mêmes recouvrements de Xη puis on les tire en arrière par π pour étudier

l’espace T. Le seul point technique à adapter dans ces réductions est la vérification que l’espace final obtenu est bien décrit par un revêtement de couronnes (voir 5.16).

La deuxième étape de la preuve (et la plus technique) est le calcul de la cohomologie de de Rham d’un revêtement cyclique modéré d’une couronne. Cela se fait par des calculs directs sur le complexe de de Rham, et fournit une description très explicite de ces groupes de cohomologie.

Pour énoncer le résultat nous avons besoin de quelques notations. Soient s1, ..., sd, r1, ..., rd ∈

|K^∗| tels que si ≤ri pour tout i et considérons la couronne X =A^d_rig,L(xi

r_i,si

x_i)1≤i≤d ={(x1, ..., xd)∈A^d_rig,L|si ≤ |xi| ≤ri}.

Soit n un entier premier à p et considérons le revêtement de Kummer T =X((λx^β)^1/n) avec λ ∈ L^∗ et β ∈ Z^d. Cela est loisible, puisque nous allons voir que tout revêtement π : T → X galoisien cyclique d’ordre nest de cette forme. On dispose donc sur T d’une racine n-ième tde λx^β. On définit enfin

π0 = PGCD(n, β1,· · · , βd), n˜= n π0

,β˜= β π0

, t0 = t^n˜ x^β˜. Enfin, si q≥1 et I ={i₁ <· · ·< iq} on pose

dlog(xI) =dlog(xi1)∧ · · · ∧dlog(xiq).

Théorème 5.3. Avec les notations ci-dessus, on a des isomorphismes naturels H^q_dR(X)≃ ^M

I

L·dlog(xI) et

H^q_dR(T)≃

πM0−1 i=0

tⁱ₀^M

I

L·dlog(xI)∼=

πM0−1 i=0

tⁱ₀H^q_dR(X) où I parcours les parties de J1, dK de cardinal q dans les sommes précédentes.

Remarque 5.4. 1. On déduit facilement du théorème que si X^′ ⊂X sont deux couronnes et siT →X,T^′ →X^′ sont deux revêtements compatibles (ie.T^′ =T ×XX^′) alors la flèche de restriction H^∗_dR(T)→H^∗_dR(T^′) est un isomorphisme qui respecte la décomposition en parties isotypiques.

2. En fait, tous ces résultats sont vrais pour une classe plus générale d’espaces, que l’on ap-pellera tores monômiaux. Nous aurons besoin de ce degré de généralité et nous renvoyons à 5.6, 5.8 et 5.10 pour les énoncés dans ce cadre.

5.3 Tores monômiaux et leurs revêtements cycliques modérés

Définition 5.5. On appellera tore monômial de dimension d un L-espace analytique X de la forme⁵

X ={x= (x1,· · · , xd)∈A^d_rig,L:si ≤ |xi| ≤ri et ρ≤ |x^α| ≤µ}

pour si ≤ri ∈ |K^∗|, α= (α1, ..., αd)∈N^d et ρ≤µ∈[s^α, r^α]∩ |K^∗|).

On appelle tore monômial semi-ouvert un espace défini par les mêmes inégalités qu’un tore monômial, mais potentiellement strictes. Nous souhaitons étendre un résultat de Berkovich [Ber96a, Lemma 3.3] au cas des tores monômiaux.

5. On a utilisé les notations multi-indice standard, par exemplex^α=x^α₁¹· · ·x^α_d^d.

Proposition 5.6. Soit X un tore monômial de dimension d (semi-ouvert), S un espace K -analytique, n un entier premier à p. La projection canonique ϕ : XS :=X×S →S induit un isomorphisme

R^qϕ∗µn≃µn(−q)(^dq).

Démonstration. SoitX un tore monômial ets, r, α, ρ, µles données associées. Nous allons mon-trer le résultat par récurrence sur la dimension d. Si d= 1, tous les tores monômiaux sont des couronnes qui ont été traitées dans [Ber96a, Lemma 3.3] (on peut aussi appliquer [Juna, Lemme 4.4.] puis la suite exacte de Kummer).

Soit d > 1, en projetant sur les d−1 premières coordonnées, on obtient un morphisme ψ :X →Y vers le tore monômial :

Y ={x= (x1,· · · , xd−1)∈A^d−1_rig,L :si ≤ |xi| ≤ri etρr_d^−αd ≤ |x^α| ≤µs^−α_d ^d}

avec α= (α1,· · ·, αd−1). Soient u:YS →S les projections naturelles, alors u◦ψ =ϕ, donc Rϕ∗µn ≃Ru∗Rψ∗µn.

Par hypothèse de récurrence et la suite spectrale de Leray il suffit d’établir les isomorphismes

R^qψ∗µn=









µn si q= 0 µn(−1) si q= 1 0 si q >1 .

Notons que R^qψ∗µ_n est un faisceau surconvergent (puisque les faisceaux constants le sont et que cette propriété est stable par image directe et twist à la Tate), on peut donc tester les isomorphismes ci-dessus fibre à fibre. Les tiges du faisceau R^qψ∗µn se calculent grâce au théorème de changement de base [dJvdP96, TH 3.7.3] et font intervenir la cohomologie du faisceau µn sur les fibres de ψ. Ces fibres sont des couronnes de dimension 1 (sur le corps de définition du point considéré), et on a déjà vu le calcul de ces groupes de cohomologie, ce qui permet de conclure.

Pour le cas semi-ouvert, on peut trouver un recouvrement croissant de X par des tores monômiaux fermés Xk. Pour ϕk:Xk×S→S la projection sur le second facteur, on a d’après la discussion précédente un système projectif constant de complexe (Rϕk,∗µ_n)k et on en déduit le calcul de Rϕ∗µn du cas fermé.

Remarque 5.7. SiX est un tore monômial sur un corps complet S = Sp(L) et une couronne Y qui le contient, alors, en reprenant le raisonnement par récurrence précédent sur Y, on montre la bijectivité du morphisme naturel de restriction H¹_ét(Y, µn)→^∼ H¹_ét(X, µn). Par suite exacte de Kummer sur Y (voir [VdP82, th. 3.25] pour l’annulation du groupe de Picard de Y et [Juna, Lemme 4.4.] pour le calcul des fonctions inversibles),

H¹_ét(X, µn)∼=L^∗/(L^∗)ⁿ×^Y

i≤d

(x^Z_i/x^nZ_i ).

En particulier, tout revêtement étale de groupe de Galois µn de XL est un revêtement de Kummer de la formeX((λx^β)^1/n) pour β dans Z^d etλ dans L^∗.

5.4 Cohomologie de de Rham d’un revêtement cyclique modéré d’un tore monomial

Le but de ce paragraphe est de calculer la cohomologie de de Rham d’un revêtement cyclique T =X((λx^β)^1/n) (avec β ∈Z^d et λ∈L^∗) d’un tore monômial

X={x= (x1,· · · , xd)∈A^d_rig,L :si ≤ |xi| ≤ri etρ≤ |x^α| ≤µ}.

Posons

π0 = PGCD(n, β1,· · · , βd), n˜= n π0

,β˜= β π0

, t0 = t^n˜ x^β˜. Théorème 5.8. On dispose d’isomorphismes naturels

H^q_dR(X) = ^M

I⊂J1,dK

|I|=q

L·dlog(xI)

et

H^q_dR(T)∼=

πM0−1 i=0

tⁱ₀H^q_dR(X).

Remarque 5.9. Pour comprendre l’enoncé du théorème, il est intéressant d’étudier le cas ana-lytique complexe. Si l’on prend un espace X de C^d défini par les mêmes inégalités qu’un tore monômial i.e.

X ={x= (x1,· · · , xd)∈C^d :si ≤ |x_i| ≤ri et ρ≤ |x^α| ≤µ},

alors X a le type d’homotopie d’un tore. La cohomologie de de Rham est donc donnée par (Künneth) :

H^q_dR(X) = ^M

|I|=q

C·dlog(xI).

D’après la correspondance de Galois entre les revêtements et les sous-groupes de π1(X), un revêtement cyclique T de X a le type d’homotopie d’une union disjointe de tores. Cette union s’écrit :

{(x, t)∈C^d/Z^d×C||tⁿ =x^β}.

Le nombre de composantes connexes est la constante π0 introduite dans l’énoncé du théo-rème. Comme t^π₀⁰ = 1, la famille{tⁱ₀}_i engendre le même C-espace vectoriel que l’ensemble des idempotents pour les différentes composantes connexes, et on obtient

H^q_dR(T) = ^M

0≤i≤π0−1

tⁱ₀H^q_dR(X).

Avant de passer à la preuve, mentionnons quelques conséquences utiles :

Corollaire 5.10. On reprend les notations précédentes et on se donne un autre tore monômial X^′ inclus dans X. Si T^′ est la restriction de T à X^′ i.e. T^′ = T ×_X X^′, alors la flèche de restriction H^∗_dR(T) → H^∗_dR(T^′) est un isomorphisme qui respecte la décomposition en parties isotypiques.

Démonstration. La base explicite du théorème 5.8 est conservée par la restriction Ω^q_T†/L → Ω^q_(T′)^†/Ld’où la bijectivité. Pour l’assertion sur les parties isotypiques, l’inclusion induit une application µn-équivariante entre les complexes de de Rham et le résultat s’en déduit. Pour un argument plus explicite, on a la décomposition en espaces propres Ω^q_T†/L =^n−1L

i=0tⁱΩ^q_X†/L et pour i fixé chaque tⁱ₀H^q_dR(X) est un espace propre de H^q_dR(T).

Corollaire 5.11. Les conclusions de 5.8 et 5.10 sont encore vraies quand X est un tore mo-nômial semi-ouvert.

Démonstration. On écrit X =^S_iXi comme une réunion croissante de tores monômiaux. On a alors T =^S_iT ×_X Xi=^S_iT_i. Fixons i0 ∈N, d’après ce qui précède, on a

Passons à la preuve du résultat. Nous commençons par traiter le cas des tores monomiaux

Passons à la preuve du résultat. Nous commençons par traiter le cas des tores monomiaux

Dans le document Cohomologie de de Rham du revêtement modéré de l espace de Drinfeld (Page 8-0)