Génération d’impulsions exponentielles croissantes de courant

Tel que détaillé précédemment, les stimuli exponentiels à générer doivent répondre à certaines spé- cifications. Il s’agit d’impulsions en courant dont tous les paramètres doivent être programmables pour assurer un maximum de flexibilité. L’amplitude maximale doit pouvoir varier de quelques µA jusqu’à environ 200 µA sur une durée allant de quelques µs jusqu’à près de 10 ms. La particula- rité de l’exponentielle par rapport à d’autres stimuli est la présence d’un troisième paramètre : sa

TABLEAU2.2: Synthèse des gains (%) en efficacité énergétique et en CPR de diverse formes d’onde

par rapport à l’impulsion rectangulaire. Modifié de (Robillard, 2008).

Stimulus

Gain en efficacité Réduction des Figure de mérite énergétique (%) CPR (%) (Efficacité × CPR) (%)

Max. Moy. Max. Moy. Max. Moy.

Demi-sinusoïde (1/2Sin) 44,8 16,6 45,4 27,7 69,9 36,3 Quart de sinusoïde (1/4Sin) 35,5 15,8 39,6 27,4 59,8 37,1 Exponentielle croissante (ExpC) 4,4 -15,5 59,6 8,6 59,7 -7,2 Exponentielle décroissante (ExpD) -45,6 -429,7 46,0 -166,4 21,4 -1559,7 2 permiers harmoniques

onde rectangulaire (Four) -231,5 -398,7 -119,9 -170,3 -629,1 -1294,7 Sinusoïde hyperbolique

(Sinh) 28,7 -12,9 59,6 28,3 59,9 14,3

Linéaire croissante (LinC) -142,9 -389,3 -53,6 -116,2 -273,2 -1022,2 Linéaire décroissante

(LinD) -148,8 -1119,9 -59,9 -283,1 -297,8 -6704,6

Gaussienne (Gauss) 19,7 68,3 18,5 -32,9 34,5 -154,3

Exponentielle croissante

corrigée (ExpC Corr) 34,0 2,5 43,9 12,0 63,0 9,8

Sinusoïde hyperbolique

corrigée (Sinh Corr) 34,9 -5,4 40,5 18,8 61,2 7,6

Note : Les valeurs négatives indiquent respectivement une perte d’efficacité, une augmentation des CPR et une dégradation de la figure de mérite.

constante de temps. Cette constante doit également être variable afin d’optimiser l’efficacité de la stimulation (Robillard, 2008).

Les paragraphes suivants énumèrent des implémentations possibles de la fonction exponentielle.

• Transistor bipolaire : La fonction exponentielle peut être réalisée de multiples manières à l’aide de circuits analogiques. Le transistor bipolaire (BJT) a une caractéristique I-V de forme exponentielle dans sa région active :

Ic= IS· e Vbe VT  1 + Vce VA  (2.1)

où IS est le courant de saturation, VT la tension thermale (kT/q) et VAla tension d’Early. L’appli-

cation d’une rampe de tension à Vbe génère alors un courant exponentiel Ic en fonction du temps.

Cependant, dans les technologies CMOS standard, les BJT latéraux et verticaux offrent des perfor- mances limitées au niveau de leur gain β, impliquant un courant de base important. Cette dégrada- tion du gain s’explique par le fait que la géométrie des jonctions et le niveau de dopage des puits ne sont pas optimisés pour ce type de transistor.

• Transistor MOS en inversion faible : À partir de transistors à effet de champ (MOSFET), il est possible d’obtenir une relation équivalente à l’Eq.(2.1) en maintenant le composant en inversion faible. Cette région d’opération est atteinte lorsque Vgs < Vth et Vds > 4VT et elle est caractérisée

par l’équation suivante :

Id= ID0  W L  e “_Vgs−Vth nVT ” (2.2) où W/L est le rapport des dimensions du transistor. Le courant de drain Id est très faible, ce qui

fait la popularité de cette zone d’opération dans les applications à basse consommation de puis- sance. L’inconvénient principal d’un transistor opérant ainsi est sa réponse en fréquence limitée, conséquence de son faible courant Idou de ses grandes dimensions.

• Circuits d’approximation mathématique : Il existe toute une gamme de circuits implémen- tant des approximations mathématiques de la fonction exponentielle. Toutefois, la plupart de ces circuits ont comme application les amplificateurs à gain variable (VGA). Afin d’être en mesure de comparer efficacement la qualité de l’exponentielle générée, il est commun de mesurer la linéarité de l’exponentielle en dB. Sa plage dynamique est alors délimitée par une erreur maximale par rap- port à une droite idéale. Les circuits d’approximation mathématique peuvent être catégorisés selon l’équation utilisée.

Un premier groupe de circuits est basé sur la fonction pseudo-exponentielle définie comme suit :

emx ≈ 1 + 0, 5mx

1 − 0, 5mx (2.3)

sante, soit une dizaine de dB. Par conséquent, peu de circuits implémentent cette équation (Liu & Liu, 2003).

Une seconde approche est basée sur la série de Taylor de l’exponentielle. Pour des raisons pratiques au niveau de l’implémentation, il est commun de se contenter de l’approximation du 2e_{ordre ou du}

4eordre. emx ≈ 1 + 1 1!mx + 1 2!(mx) 2 = 1 21 + (1 + mx) 2 (2.4) emx ≈ 1 + 1 1!mx + 1 2!(mx) 2 + 1 3!(mx) 3 + 1 4!(mx) 4 (2.5) De nombreuses implémentations de ces équations ont été réalisées. L’approximation de Taylor du second ordre est simple à réaliser grâce au comportement quadratique des transistors MOS en saturation. Par contre, comme pour la relation pseudo-exponentielle, elle offre une plage limitée. En élevant l’ordre, le générateur gagne en précision, mais également en complexité. Ceci a mené à l’élaboration de la pseudo-fonction de Taylor, qui se veut un hybride des Éqs.(2.3) et (2.4) :

emx ≈ e

mx/2

e−mx/2 =

a + (1 + mx/2)2

a + (1 − mx/2)2 (2.6)

Cette modification de l’approximation de Taylor entraîne une augmentation notable de la plage dynamique de la fonction exponentielle selon la valeur du paramètre a.

Quelques exemples de circuits basés sur les approximations des Éqs.(2.3) à (2.6) sont présentés à la Figure 2.9. Enfin, en guise de synthèse, les détails techniques de plusieurs implémentations sont regroupés dans le Tableau 2.3. Dans certains travaux, un circuit analogique de mise au carré est employé afin de réaliser la fonction e2mx, ce qui a pour effet d’élargir la plage dynamique, mais en modifiant la fonction générée et en ajoutant de la circuiterie. Les modes d’entrée et de sortie forment également un aspect important à considérer puisqu’une conversion pourrait être nécessaire. L’entrée devant varier linéairement en fonction du temps, il est plus simple de réaliser une rampe de tension qu’une rampe de courant. Pour ce qui est de la sortie, un courant est évidemment préférable.

Malgré cette vaste sélection d’implémentations, la grande majorité de ces circuits occupe une sur- face considérable et consomme plusieurs centaines de µW. Plusieurs d’entre eux offrent une cer-

(a) (b) (c)

(d)

FIGURE 2.9: Exemples de circuits générant une approximation de la fonction exponentielle. (a)

Pseudo-exponentielle. Tiré de (Liu & Liu, 2003) avec l’autorisation de l’IET. (b) Taylor de 2eordre. Tiré de (Kumngern et al., 2008) avec l’autorisation de l’IEEE. c 2008 IEEE. (c) Pseudo-Taylor. Tiré de (De La Cruz-Blas & Lopez-Martin, 2006) avec l’autorisation de l’ETRI. (d) Pseudo-Taylor. Tiré de (Duong et al., 2004b) avec l’autorisation de l’IEEE. c 2004 IEEE.

taine variabilité au niveau de l’exponentielle, mais celle-ci est limitée puisque plusieurs paramètres sont souvent affectés simultanément par une même variation.

• Architecture numérique : Une dernière possibilité est la génération numérique d’une expo- nentielle suivie d’un filtre. Une mémoire et un contrôleur avancé seraient requis pour réaliser un tel circuit. Cette approche est vraisemblablement trop complexe et trop coûteuse en termes de surface et de puissance par rapport aux solutions analogiques. De plus, la fréquence de coupure du filtre de sortie devra être variable sur un grand intervalle dû à la plage visée pour la durée des impulsions.

TABLEAU 2.3: Synthèse de circuits générant la fonction exponentielle par approximation mathé-

matique.

Référence Approx. Entrée/ Sortie(1) Plage (dB) Erreur (dB) Nbr. MOS Puiss. (mW) VDD (V)

(Liu & Liu, 2003) Éq.(2.3) I/V 15 ±0,5 8 0,4 ±1,5

(Vlassis, 2001) Éq.(2.4)(2) I/I 30 ±1 25 n.d. n.d.

(Chang & Liu, 2000) Éq.(2.4)(2) I/I 22,5 ±0,45 18 2,1(3) ±1,5 (Kumngern et al.,

2008) Éq.(2.4) I/I 16,3 ±0,45 9 n.d. 1,5

(Liu et al., 2005) Éq.(2.4) V/I 15 ±0,15 11 0,96 2,5

(Arthansiri &

Kasemsuwan, 2006) Éq.(2.5) I/I 30 ±0,5 80 1,1 ±1

(Duong et al., 2004a) Éq.(2.4) V/I 25 ±0,5 23 0,1 1,25

(Duong et al., 2004b) Éq.(2.6) I/V 46 ±0,5 25 0,8 1,5

(De La Cruz-Blas &

Lopez-Martin, 2006) Éq.(2.6) V/V 42 ±0,5 7 0,26 ±1,5

(1)_{Mode d’entrée et de sortie. I = courant, V = tension.}

(2)_{Utilisation d’un circuit de mise au carré du courant de sortie.} (3)_{Tirée de (De La Cruz-Blas & Lopez-Martin, 2006).}