Générateurs classiques des transformations conformes

Nous allons à présent mettre en évidence la structure algébrique des trans- formations conformes au niveau classique. Considérons une transformation conforme infinitésimale w′ _{= w + ǫ(w), où ǫ est une fonction holomorphe}

(la transformation de ¯w, sous-entendue, est identique). Notons que le do- maine sur lequel la fonction est holomorphe n’est pas précisé. Si nous choi- sissons le plan complexe tout entier, toute fonction bornée est constante, cette solution ne peut pas être retenue. Nous pouvons alors définir un do- maine {w, |w| < R} où R, alors ǫ(w) et bornée et admet un dévelopement de Taylor ǫ(w) = P∞_n=−1bnwn+1. Nous pouvons restreindre encore le domaine

à un anneau {w, r < |w − w0| < R}, ce qui autorise la fonction ǫ(w) à

avoir des singularités artificielles ou essentielles ou des pôles hors de l’an- neau (et notamment en w0). ǫ(w) admet alors un développement en série de

Laurent ǫ(w) = P∞_n=−∞an(w−w0)n+1. r et R sont choisis de telle sorte à évi-

ter d’éventuelles singularités21 _{et pour qu’il soit possible de borner ǫ(w) sur}

2.8 Intégrale des chemins et théorie conforme des champs l’anneau par une valeur infinitésimale. Par la suite, lorsque nous parlerons de fonction holomorphe infinitésimale, c’est dans le sens de fonction holomorphe infinitésimale définie sur un anneau. Bien entendu, tout ceci s’applique aussi à ¯ǫ( ¯w).

ǫ admet donc un développement en série de Laurent22

ǫ(w) =

∞

X

n=−∞

anwn+1 (2.8.7)

La transformation conforme infinitésimale agit sur un champ scalaire clas- sique Φ(w) (de même, la dépendance sur ¯w est sous-entendue) de la façon suivante δǫΦ = − ∞ X n=−∞ anwn+1∂wΦ (2.8.8)

où δǫΦ = Φ′(w)− Φ(w) avec Φ′(w) = Φ(w− ǫ(w)). Les opérateurs ln, définis

par

ln =−wn+1∂w (2.8.9)

sont les générateurs des transformations conformes classiques. Ils vérifient l’algèbre de Wit23 _:

[ln, lm] = (n− m)ln+m (2.8.10)

On a la même relation de commutation pour les opérateurs ¯ln.

2.8.4 Générateurs quantiques des transformations con-

formes

Au niveau quantique, ce n’est plus sur un champ classique Φ qu’il faut étudier l’effet d’une transformation conforme, mais sur les fonctions de corré- lation contenant Φ. L’effet d’une transformation conforme infinitésimale sur le champ Φ dans une fonction de corrélation hΦ(w0)Φ1(w1) . . . ΦN(wN)i est

22_{w0 peut être fixé sans perte de généralité à 0 par une translation.} 23_{ou algèbre de Virasoro classique, bien que ce terme prête à confusion.}

le suivant24 hδǫΦ(w0)Φ1(w1) . . . ΦN(wN)i = 1 2π Z B d2ξ ∂aǫb(ξ, ¯ξ)_hTab(ξ, ¯ξ)Φ(w0)Φ1. . . ΦNi = 1 2πi I C dξhǫ(ξ)hTww(ξ, ¯ξ)Φ(w0)Φ1. . . ΦNi + ǫ(ξ)hTww¯ (ξ, ¯ξ)Φ(w0)Φ1. . . ΦNi i − 1 2πi I C d ¯ξhǫ(ξ)_hTw ¯¯w(ξ, ¯ξ)Φ(w0)Φ1. . . ΦNi + ǫ(ξ)hTw ¯w(ξ, ¯ξ)Φ(w0) . . . ΦN(wN)i i (2.8.11) où C est un contour qui contient seulement w0 et où, B est le domaine privé

de w0 tel que C = ∂B et sur lequel ǫ est défini. Sur la première ligne, ∂a agit

sur le produit ǫb_T

ab. T est le tenseur énergie-impulsion. Enfin, le facteur _2π1

est une convention commode.

En choisissant ǫ(w) = ǫ (translation) puis ǫ(w) = λ(w − w0) (dilatation),

on obtient, pour w 6= ωi

∂w¯Tww = ∂wTw ¯¯w = 0 (2.8.12)

Tw ¯w = Tww¯ = 0 (2.8.13)

Ces relations sont des relations sur l’opérateur T , ou autrement dit, elles doivent être comprises en terme de fonction de corrélation, c’est-à-dire que ∂w¯Tww = 0 signifie en fait

h∂w¯TwwΦ(w0)Φ1(w1) . . . ΦN(wN)i = 0 (2.8.14)

quels que soient les opérateurs Φ et Φi. Ceci est valable pour toutes les équa-

tions qui suivent, qu’elles impliquent T ou un autre opérateur. Les équations (2.8.12) permettent de se ramener à deux fonctions respectivement holo- morphe Tww= T (w) et antiholomorphe25 Tw ¯¯w = T ( ¯w). On peut montrer par

ailleurs que Tw ¯w = Tww¯ = Taa; ainsi l’équation (2.8.13) correspond à l’annu-

lation de la trace de T . Les deux fonctions T et ¯T suffisent pour définir le tenseur énergie-impulsion. Cependant, l’équation (2.8.13) n’est valable qu’à l’ordre des arbres. L’anomalie de Weyl modifie cette équation

Tw ¯w = Tww¯ =−

c

12R (2.8.15)

24_{Nous suivons en partie l’exposition faite dans [72]. L’article de référence est [73].} 25_{Dans le sens indiqué plus haut de fonctions développables en série de Laurent.}

2.8 Intégrale des chemins et théorie conforme des champs où R est la courbure de Ricci de la feuille d’univers et c est une constante qui est aussi la charge centrale de la théorie conforme considérée, notion que nous définirons un peu plus loin. Toutefois, en ce qui nous concerne, nous travaillerons dans des situations cette anomalie est une constante, ce qui permet de se restreindre aux deux fonctions T et T .

L’identité de Ward (2.8.11) s’écrit à présent hδǫΦ(w0)Φ1(w1) . . . ΦN(wN)i = 1 2πi I C dξ ǫ(ξ)_{hT (ξ)Φ(w}0)Φ1. . . ΦNi − 1 2πi I C d ¯ξ ǫ(ξ) T ( ¯ξ)Φ(w0)Φ1. . . ΦNi (2.8.16) Cette relation, dans le cadre d’une théorie conforme particulère, permet de calculer la transformation de l’opérateur Φ.

Les générateurs des transformations conformes sont les coefficients de T et de T des séries de Laurent suivantes

T (w) = ∞ X n=−∞ w−n−2Ln , T (w) = ∞ X n=−∞ ¯ w−n−2L¯n (2.8.17)

Les opérateurs Ln et ¯Ln vérifient les mêmes relations de commutation26

[Ln, Lm] = (n− m)Ln+m+

c 12n(n

2

− 1)δn+m,0 (2.8.18)

et constituent ainsi une algèbre de Virasoro. c est la charge centrale.

2.8.5 Représentations irréductibles de l’algèbre des gé-

nérateurs, champs primaires

Les représentations irréductibles de cette algèbre, appelées aussi module de Verma Vc,h sont caractérisées par la charge centrale c et le poids conforme

h, qui est la valeur propre de L0 de l’état de plus haut poids. N’oublions

pas la présence de l’algèbre antiholomorphe correspondant aux ¯Ln, avec des

modules de Verma V¯c,¯h caractérisés par une charge centrale ¯c et un poids

conforme ¯h. Les états de notre théorie appartiennent donc au produit direct 26

Rappelons que cette équation doit être comprise comme une relation sur des fonctions de corrélation. Voir [72] pour la démonstration dans ce formalisme.

Vc,h× V¯c,¯h. Les notations sont ici trompeuses puisque ¯c n’est pas le conjugué

de c ni ¯h celui de h. On notera le poids conforme (h, ¯h).

L’état de plus haut poids de la représentation irréductible est appelé aussi champ primaire. Sous une transformation conforme w → f(w), il se transforme de la façon suivante

Φ(w, ¯w)→ Φ′_{(w, ¯w) = (∂}

wf (w))h(∂wf (w)) ¯

h_{Φ(f (w), f (w)) (2.8.19)}

On peut aussi caractériser un état de plus haut poids par les conditions suivantes

LnΦ = 0 pour tout n > 0 (2.8.20a)

L0Φ = h Φ (2.8.20b)

et les conditions correspondantes pour les opérateurs ¯Ln.

Ainsi, le champ scalaire que nous avons considéré plus haut est un champ primaire de poids (0, 0). Dans ce qui suit, tous les champs que nous consi- dérerons seront des champs primaires, sauf le tenseur énergie-impulsion, qui appartient au module de Verma de l’opérateur identité de poids conforme nul.

Comme cette dernière phrase permet de le constater, nous employons in- différemment « champ », « opérateur » ou « état » pour désigner les éléments des modules de Verma. « Champ » fait référence aux fonctions de corrélation de champs, « opérateur » fait référence à l’écriture condensée des relations entre fonctions de corrélation sous forme de relation entre opérateurs (sous- entendu, agissant sur les champs qu’on peut rajouter dans les fonctions de corrélation) et « état » se trouve justifié par l’équivalence entre le forma- lisme d’intégrale des chemins et le formalisme de quantification canonique, que nous aborderons dans la section 2.9.

2.8 Intégrale des chemins et théorie conforme des champs

2.8.6 Application à la théorie de la corde bosonique :