Function materialization - Function-based Indexing

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4.2 Function-based Indexing

4.2.1 Function materialization

Se quisermos determinar a fun¸cão de Green para o hamiltoniano total, também conhecida como propagador total em termos de uma série perturbativa, devemos usar a fun¸cão de Green que conhecemos denominada de propagador livre. Utilizando a identidade matricial

ˆ 1 ˆ A + ˆB = ˆ 1 ˆ A + ˆ 1 ˆ A ˆ B1ˆ ˆ A + ˆ 1 ˆ A ˆ Bˆ1 ˆ A ˆ Bˆ1 ˆ A + ... (3.51) ˆ G = ˆ1 E ˆ1 − ˆH0 + ˆ1 E ˆ1 − ˆH0 ˆ V 1ˆ E ˆ1 − ˆH0 + 1ˆ E ˆ1 − ˆH0 ˆ V 1ˆ E − ˆH0 ˆ V 1ˆ E ˆ1 − ˆH0 + ... (3.52) Podemos escrever essa express˜ao em termos de ˆG0

G = ˆG0 + ˆG0V ˆˆG0+ ˆG0V ˆˆG0V ˆˆG0+ ... (3.53)

Com essa equa¸cão podemos calcular ˆG sem partir para a defini¸cão diretamente, já que em muitos casos não temos como fazê-lo. Uma estratégia seria calcular termo a termo o lado direito da equa¸cão e, dependendo do potencial, poder´ıamos prosseguir aumentando a ordem de corre¸cão até alcan¸car um critério de convergência. Essa forma de determinar a solu¸cão pode ser interpretada como se inicialmente tivéssemos uma part´ıcula livre se propagando ponto a ponto e o potencial age como uma espécie de espalhamento que interrompe a trajetória da part´ıcula. Entretanto se manipularmos a equa¸cão (3.53) para obter a equa¸cão de Dyson podemos evitar solu¸cões aproximadas:

ˆ G = ˆG0 + ˆG0V ˆˆG0+ ˆG0V ˆˆG0V ˆˆG0+ ... ˆ G = ˆG0(ˆ1 + ˆV ˆG0+ ˆV ˆG0V ˆˆG0+ ...) ˆ G = ˆG0[ˆ1 + ˆV ( ˆG0+ ˆG0V ˆˆG0+ ...)] ˆ G = ˆG0(ˆ1 + ˆV ˆG) ˆ G = ˆG0 + ˆG0V ˆˆG (3.54)

Figura 3.3: Representa¸cão diagramática da equa¸cão de Dyson.

A expressão final (3.54) é conhecida como equa¸cão de Dyson (na sua forma mais comum). Note que o propagador total aparece dos dois lados da equa¸cão, o que mostra seu caráter recursivo. Do ponto de vista matemático não se trata de uma série perturbativa porque somamos em todos os termos, no entanto se fizermos uma análise numérica devemos atualizar o valor da fun¸cão de Green até que a intera¸cão pare de alterar o resultado final. Na última se¸cão deste cap´ıtulo vamos mostrar como tratar numericamente a equa¸cão de Dyson. Essa será a técnica final que vamos utilizar para determinar as pro- priedades eletrônicas dos nanotubos. Para facilitarmos o uso da equa¸cão (3.54) podemos reescrevê-la como:

G = (ˆ1 − ˆG0V )ˆ −1Gˆ0. (3.55)

Vamos usar essa forma alternativa quando aplicarmos o m´etodo recursivo numericamente.

3.5 O M´etodo Recursivo

O cálculo da fun¸cão de Green diretamente pode ser dif´ıcil em alguns problemas, es- pecialmente quando escrita na representa¸cão matricial. Em geral quando o número de part´ıculas aumenta, obter uma solu¸cão mesmo que numérica pode ter um alto custo com- putacional. Nessa se¸cão vamos introduzir um método que busca contornar essa dificuldade baseado na equa¸cão de Dyson. A ideia é que possamos calcular a fun¸cão de Green total de alta dimensão dividindo a solu¸cão em partes, por exemplo no caso de um sistema descrito pelo esquema indicado na Figura 3.4, definimos uma fun¸cão de Green inicial e em seguida propagamos a solu¸cão atualizando o valor de ˆG por meio da equa¸cão de Dyson em uma certa dire¸cão até que ˆG pare de mudar. Este resultado seria metade da resposta final, então fazemos o mesmo para a outra dire¸cão e no final conectamos as duas solu¸cões.

Figura 3.4: Esquema do método recursivo, ˆSR e ˆSL representam as fun¸cões de Green propagadas para a direita e esquerda respectivamente, nesse modelo cada camada possui uma fun¸cão de Green ˆgii e um hamiltoniano ˆHii associado.

Fonte: Retirado da referˆencia [18].

Suponha um sistema como o representado na Figura 3.4 onde conhecemos a fun¸c˜ao de Green ˆgii e o hamiltoniano ˆHii de cada camada separadamente. Vamos assumir que a

matriz de hopping entre camadas vizinhas ´e ˆΓi,i+1 com o adjunto ˆΓ †

i,i+1. Como desejamos

que ˆHii seja hermitiano temos a condi¸c˜ao:

Γi,i+1 = ˆΓ † i,i+1.

Utilizando a equa¸cão (3.9) podemos definir que a fun¸cão de Green para cada camada é dada por:

gii= (E ˆ1 − ˆHii)−1.

O valor inicial para os propagadores entre camadas vizinhas deve ser nulo de forma que temos:

gi,i+1 = ˆgi+1,i = 0, (3.56)

aplicando a equa¸cão de Dyson (3.54) para conectar as camada na posi¸cão i com a camada na posi¸cão i + 1 obtemos:

Gi+1,i+1= ˆgi+1,i+1+ ˆgi+1,i+1Γˆi+1,iGˆi,i+1, (3.57)

ainda podemos obter a seguinte rela¸c˜ao com aux´ılio da equa¸c˜ao de Dyson:3 ˆ

Gi,i+1 = ˆgi,i+1+ ˆgi,iΓˆi,i+1Gˆi+1,i+1,

3_{Essas equa¸c˜}_{oes foram deduzidas em Lewenkopf, C.H., Mucciolo, E.R. J Comput Electron (2013)} 12: 203. [16]. Uma abordagem semelhante tamb´em ´e feita em M.S. Ferreira, G.E.W. Bauer, e C.P.A. Wapenaar. Recursive Green functions technique applied to the propagation of elastic waves in layered media. Ultrasonics, 40(1-8):355–9, May 2002. [8].

da rela¸c˜ao (3.56) ainda podemos simplicar na forma: ˆ

Gi,i+1 = ˆgi,iΓˆi,i+1Gˆi+1,i+1 (3.58)

substituindo esse resultado na equa¸c˜ao (3.55) encontramos: ˆ

Gi+1,i+1= [ˆ1 − ˆgi+1,i+1Γˆi+1,iˆgi,iΓˆi,i+1]−1ˆgi+1,i+1. (3.59)

Vale a pena ressaltar que deduzimos expressões considerando apenas intera¸cões da direita para esquerda, o mesmo cálculo pode ser feito para o contrário e fornece:

Gi−1,i−1= [ˆ1 − ˆgi−1,i−1Γˆi−1,iˆgi,iΓˆi,i−1]−1ˆgi−1,i−1. (3.60)

As equa¸cões (3.59) e (3.60) se referem às fun¸cões de Green da última camada adicio- nada partindo da direita para a esquerda e da esquerda para a direita respectivamente. Na literatura é comum utilizar-se o termo fun¸cão de Green de superf´ıcie com os ´ındices inferiores indicando a dire¸cão de propaga¸cão. Com isso podemos reescrever essas equa¸cões após acrescentar n camadas na seguinte forma:

S_Rn+1= [ˆ1 − ˆg0ΓˆLRSˆRnΓˆRL]−1gˆ0, (3.61)

S_Ln+1= [ˆ1 − ˆg0ΓˆRLSˆRnΓˆLR]−1gˆ0, (3.62)

onde ˆg0 representa a fun¸c˜ao de Green de uma camada isolada, e ˆΓLR ΓˆRL representam o

hopping adicionado pela direita e pela esquerda respectivamente. Essencialmente o que se calcula com o m´etodo recursivo vale para sistemas semi infinitos, buscamos no final do processo uma convergˆencia que se traduz em ˆS_R(L)n+1 = ˆSn

R(L). Como desejamos obter o

resultado para um sistema infinito devemos utilizar a equa¸cão de Dyson novamente para conectar as duas solu¸cões, de forma simplificada podemos assumir que a fun¸cão de Green total será dada pela soma da fun¸cão de Green associada a camada posicionada na origem mais as fun¸cões de Green de superf´ıcie ˆSR e ˆSL. Dessa forma a fun¸cão de Green para o

sistema infinito ´e dada pela equa¸c˜ao: ˆ

G = [ˆ1 − ˆSRΓˆRLSˆLΓˆLR]−1SˆR. (3.63)

Com isso terminamos de apresentar a metodologia utilizada nesse trabalho. No próximo cap´ıtulo vamos calcular numericamente a DOS da cadeia linear usando o método recursivo e depois comparar com o resultado anal´ıtico obtido na se¸cão 2.3. Em seguida, faremos o cálculo da DOS para as duas geometrias de nanotubos e comparar com os resultados apresentados em [20] e [18].

Cap´ıtulo 4

Resultados Num´ericos

Vamos solucionar os problemas a partir de agora numericamente. Nesse cap´ıtulo vamos aplicar o método recursivo para calcular a fun¸cão de Green que está diretamente relacionada com a DOS do sistema. Primeiramente vamos reencontrar o resultado para a cadeia linear onde com certa facilidade determinamos a fun¸cão de Green exatamente, e em seguida vamos realizar o mesmo processo para as duas geometrias de nanotubos que estamos interessados: armchair e a zigzag. O cálculo exato para a fun¸cão de Green dos nanotubos pode ser visto em [15].

4.1 Cadeia Linear

Para a cadeia linear, nosso algoritmo apresentado no Apêndice C é relativamente simples. A razão para isso é que nesse caso a fun¸cão de Green é um escalar pois temos apenas um átomo na base. Nessa se¸cão vamos apresentar também uma cadeia dupla, basicamente juntamos uma cadeia a outra idêntica. Dessa forma, temos dois átomos na base, o que torna a fun¸cão de Green uma matriz 2 × 2. Na Figura 4.1 temos o gráfico da parte imaginária e da parte real da fun¸cão de Green da cadeia linear simples calculada pelo método recursivo. Usamos um parâmetro de hopping γ = 1.0, e para as energias de s´ıtio usamos 0 = 0.

Figura 4.1: Esquema da cadeia linear.

· · · ·

Figura 4.2: Parte real e parte imaginária da fun¸cão de Green da cadeia linear. Note que fora do intervalo de energia que encontramos no espectro a parte imaginária da fun¸cão de Green se anula.

Fonte: Elaborado pelo autor.

Como podemos observar, a parte imaginária tem uma concavidade invertida em rela¸cão ao gráfico da solu¸cão exata (Figura 3.2), isso é coerente com a equa¸cão (3.24). Dessa forma podemos construir o gráfico da DOS em fun¸cão da energia. Basta dividirmos o valor da fun¸cão de Green por um fator negativo de π.

Figura 4.3: Densidade de estados da cadeia linear via m´etodo recursivo da fun¸c˜ao de Green.

Fonte: Elaborado pelo autor.

A DOS da cadeia linear está representada na Figura 4.3. Como podemos observar, a cadeia linear apresenta um comportamento metálico pois em torno do n´ıvel de Fermi (E = 0) a DOS é diferente de zero. Note que o resultado que obtivemos a partir do método recursivo concorda com o cálculo exato feito no cap´ıtulo 3.

Figura 4.4: Esquema da cadeia dupla.

Fonte: Elaborada pelo autor.

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