La preuve actuelle utilise le « miracle en petite longueur de nilpotence » qu’est [III.c, Theorem ], le Théorème III. présenté au chapitre III, §.. Un autre argument éviterait ainsi les atrocités calculatoires de [III.c] dont une partie est reproduite dans [IV.d] ; cela passerait peut-être par une réponse à la Question III.D du chapitre précédent, mais l’hypothèse rangée devrait grandement simplifier le problème.
Cela fait on pourra finalement généraliser en longueur de nilpotence quelconque. En effet l’auteur n’imagine pas un instant que l’explosion combinatoire en longueur au moins du chapitre précédent, §., puisse apparaître en contexte rangé.
Question IV.G(quand réponse positive à la Question IV.F). Classifier les SL(K)-modules rangés irréduc-tibles de degré de cohérence (v. chapitre III, §2.2).
Il y aurait une petite dose de théorie des groupes finis, lissée par de la théorie des modèles ; c’est une approche de biais, sans amélioration requise des outils généraux.
(3)La détensorisation du module. Une autre étape — entièrement indépendante — vers la Conjecture était suggérée en §... On s’affranchirait ici de l’hypothèse SLet surtout des contraintes modèle-théoriques.
Question IV.H. Soit(G, V) un module, où G est de la forme GKet V de la forme⊗φiWi« à la Steinberg ». Montrer que les φi/φsont définissables dans la structure(G, V). Montrer qu’un module équivalent à (G, V) est définissable dans(K; +, ⋅, φ/φ, . . . , φn/φ).
Ces travaux seraient dans la lignée de [KRT] évoqué en §...
(4)Appel aux Muses. Puis il faudrait revenir aux espaces de poids de manière générale, hors de la catégorie rationnelle (on pourrait à la rigueur aborder le premier problème avant la réponse à la Question IV.E mais il paraît plus délicat).
Question IV.I. Montrer une monosomie forte : les différents sous-modules T-irréductibles d’un SL (K)-module rangé irréductible voient émerger (à isomorphisme définissable près) une seule structure de corps infini, K.
Malgré l’optimalité vraisemblable de la proposition de monosomie donnée en §.., toutes les consé-quences pratiques n’ont peut-être pas été déduites. Une solution à la Question IV.E semble absolument indispensable à la suite.
Question IV.J(si réponse positive aux précédentes). Classifier les SL(K)-modules rangés irréductibles. La question est déjà au-delà des capacités d’anticipation de l’auteur, qui n’a pas de suggestion méthodo-logique à formuler.
Après quoi le paysage changerait du tout au tout, et nous sommes dans l’inconnu complet : il faudrait un théorème « à la Curtis-Phan-Tits » pour les G-modules rangés, où G est de la forme GK. C’est la Question III.G du chapitre précédent, mais dans un cadre modèle-théorique. Il doit exister une réponse.
Le besoin d’identifier la représentation adjointe de SL(K) en contexte rangé se fait pressant.
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Le plein soleil d’été s’épandait sur la paix du jardin.
Algébrique (groupe). Variété algébrique munie d’une loi de groupe compatible ; la notion permet notamment la modélisation des groupes de type Lie dans le contexte de la géométrie algébrique. Omettant la structure rationnelle, nous considére-rons surtout les groupes abstraits de la forme GK, i.e. les groupes linéaires de K-points d’un groupe algébrique G, dont nous dirons par abus de langage qu’ils sont « algébriques ». Les variétés abéliennes sont absentes de ce mémoire.
Borel (sous-groupe de). En contexte rangé, dé-signe un sous-groupe définissable, connexe, ré-soluble, et maximal pour ces propriétés. On ne dispose d’aucun des théorèmes « géométriques » classiques [C, §] sur ces sous-groupes. Dans un groupe de K-points sur un corps rangé même enri-chi, les notions logique et géométrique coïncident (v. clôture définissable et [A, Corollary .]).
Chaîne (conditions de). Tout groupe rangé satis-fait la propriété de stationnement des suites décrois-santes de sous-groupes définissables [A, §.], ainsi que des suites croissantes de sous-groupes définis-sables connexes [A, Ex. p. ] ; la dernière clause est bien sûr indispensable.
Chevalley (groupe de). Groupe engendré par cer-tains automorphismes de l’algèbre des K-points d’une algèbre de Lie simple [B, §.] ; la notion permet notamment la modélisation des groupes de type Lie finis. Sous forme adjointe, ces groupes sont presque tous simples [B, §.] ; Steinberg a donné générateurs et relations [B, Theorem ..] de leur forme universelle.
Bien que la théorie générale soit compliquée par l’existence des sous-groupes dits « tordus » [B, §.] liée à la présence d’automorphismes de corps, une telle construction est impossible dans le contexte rangé qui exclut les extensions de corps.
Connexe. Groupe n’ayant pas de sous-groupe dé-finissable propre d’indice fini. Un tel groupe est indécomposable au sens de Zilber.
Il existe une notion de composante connexe [A, §.] pour les sous-groupes définissables, qui s’étend via la clôture définissable à tout sous-groupe.
Si un groupe connexe permute définissablement un ensemble fini, il le fixe [A, Lemma .].
Constructible. Partie définissable dans un pur corps algébriquement clos [A, Fact .]. La stabi-lité par projection s’appelle élimination des quan-teurs ; la stabilité par quotient modulo relation d’équivalence [A, Fact .], élimination des imagi-naires.
Corps. Un corps rangé pouvant être muni de structure étendant les deux lois additive et mul-tiplicative, son rang n’est pas forcément . On sait les choses suivantes (v. chapitre IV, §., pour réfé-rences et attributions) :
– tout corps rangé infini est algébriquement clos (seul le chapitre III envisage d’autres corps) ; – le groupe additif d’un corps rangé de
caractéris-tique est minimal (v. minimal) ;
– il existe des corps rangés de caractéristique avec K×non-minimal ;
– il existe des corps rangés de caractéristique p> avec K+non-minimal ;
– l’existence de corps rangés de caractéristique p > avec K×non-minimal est ouverte bien que considérée peu vraisemblable.
Tout ceci complique considérablement les tech-niques d’analyse des groupes rangés, par contraste avec le cas algébrique affine où les seules briques sont Gaet Gm[C, Theorem .].
Curtis-Phan-Tits (théorème à la). Type de théo-rème décrivant une structure algébrique globale en fonction de données locales. La version classique (v.
Glossaire
chapitre I, §.) identifie un groupe abstrait G à par-tir d’une famille de sous-groupes se comportant comme les sous-groupes SL-racines d’un groupe de type Lie ; G/Z(G) est alors de type Lie. Origi-naires de théorie des groupes finis, ces énoncés existent ausi pour les groupes de Chevalley infinis.
Définissable (clôture). Nous l’employons dans un sens spécifique qui n’est pas la notion modèle-théorique générale. La clôture définissable [A, §.] d’une partie est le plus petit sous-groupe définis-sable la contenant ; c’est bien défini par condition de chaîne (faute de topologie, on ne peut pas parler d’adhérence ensembliste générale). Le comporte-ment de ce sous-groupe est celui attendu par les géomètres.
Définissable (partie). Par abus de langage, dé-signe une partie que le théoricien des modèles appellerait en toute rigueur « définissable avec paramètres dans Meq», ou « interprétable dans (M, M) » [A, §..]. La classe des parties définis-sables d’une structure est la plus petite collection : – comprenant les Mn, les singletons, et les graphes
des relations de la structure ; – stable par combinaison booléenne ; – stable par projection ;
– stable par passage au quotient modulo relation d’équivalence de la collection.
Ceci généralise la classe constructible ; les no-tions coïncident pour un groupe linéaire sur un pur corps algébriquement clos.
Fortement inclus (sous-groupe). Sous-groupe définissable propre M < G d’un groupe rangé contenant une involution, mais tel que pour g ∈ G∖ M, l’intersection M ∩ Mgn’en contienne au-cune : les involutions « ne communiquent pas ». Ceci équivaut à l’existence d’un -sous-groupe de Sylow S < G tel que NG(S) ≤ M et pour toute involution i∈ S, CG(i) ≤ M [A, Theorem .]. Concept emprunté à la théorie des groupes finis.
Fortement réel (élément). Produit de deux invo-lutions distinctes. Concept emprunté à la théorie des groupes finis.
Générique. Partie de rang maximal — faute de to-pologie, les notions d’ouvert ou de partie dense n’ont pas de sens en contexte rangé. Exemple : l’union des conjugués du centralisateur d’un tore décent maximal (Cherlin, v. chapitre II ; cf. [C, Theorem .]).
Impair (groupe de type). Groupe rangé dont les -sous-groupes de Sylow sont toriques-par-finis infinis (v. Sylow, v. tore). C’est le comportement algébrique en caractéristique distincte de .
Indécomposable. Partie définissable qu’aucun sous-groupe définissable ne partitionne, par ses translatés, en un nombre fini non-trivial de sous-parties [A, §.].
La propriété permet de modéliser l’irréductibilité topologique ; et l’engendrement par des parties in-décomposables contenant l’identité d’un groupe (Zilber, [A, Theorem .]) se comporte comme dans le cadre algébrique [C, Proposition .].
(Sans rapport avec les indécomposables de Burdges, notion technique étayant sa théorie de l’unipotence.)
Lie (anneau de). Structure algébrique(g, +, [⋅, ⋅]) de groupe abélien pourvu d’un crochet de Lie ; pas d’hypothèse de structure vectorielle, ce qui affecte les notions de morphisme et de représentation.
Lie (groupe de type). V. algébrique, v. Chevalley, v. khazar, v. rangé.
Linéaire (groupe). Sous-groupe d’un GLn(K). Il est dit définissablement linéaire s’il y est définis-sable, GLn(K) étant alors vu comme une structure de groupe donnée par celle du corps K.
Mauvais groupe. Groupe rangé non-résoluble dont tous les sous-groupes définissables, connexes et propres seraient nilpotents [A, §.]. On ignore encore si de tels objets existent, même en rang . On ignore s’ils pourraient être linéaires ; on sait qu’ils ne pourraient l’être définissablement qu’en caractéristique nulle (Poizat, v. chapitre IV).
Entre autres propriétés pathologiques, les mau-vais groupes simples n’auraient pas d’involutions [A, Theorem .]. Ces objets seraient donc sans équivalent fini car ils violeraient un analogue infini-taire du théorème de Feit-Thompson (v. Sylow) ; ils seraient aussi sans équivalent algébrique [C, §.].
Minimal (groupe). Groupe infini n’ayant pas de sous-groupe définissable propre infini. Ceci ne pré-juge en rien de la valeur du rang. Sans lien avec la simple minimalité.
Ne pas confondre avec la propriété parfois appe-lée G-minimalité, et que nous appellerons toujours G-irréductibilité, d’un G-module V ne possédant pas de sous-G-module définissable propre infini.
N○
○-groupe. Groupe rangé dans lequel le normali-sateur de tout sous-groupe définissable, connexe, et résoluble, est résoluble-par-fini. La classe géné-ralise celle des groupes simples minimaux. Notion adaptée de la théorie des groupes finis ; v. chapitre I.
Racine. Objet géométrique associé à la représenta-tion adjointe d’un groupe de type Lie sur l’algèbre de Lie associée. Le mot a plusieurs acceptions que le logicien prendra garde à ne pas confondre : – racine comme élément d’un système (v. Weyl),
abstraction géométrique du sens suivant ; – racine comme forme linéaire, i.e. poids non-nul
de la représentation adjointe [B, §.] ;
– sous-groupe racine, exponentielle d’un espace racine [B, §.] ; un tel groupe est unipotent ; – sous-groupe SL-racine (ou SL-fondamental),
engendré par deux sous-groupes racines oppo-sés, et isomorphe à(P)SL(K) [B, §.]. Rien de tout cela n’a d’équivalent pour un groupe rangé abstrait — faute d’action adjointe.
Rangé (groupe). Groupe définissable dans une structure rangée. La notion permet la modélisa-tion des groupes de type Lie sur les corps algébri-quement clos dans le contexte de la théorie des modèles. On ignore si les groupes simples rangés sont tous de cette forme (conjecture d’algébricité de Cherlin-Zilber).
D’après un théorème de Poizat, une structure de groupe est rangée si et seulement si la théorie en est de rang de Morley fini [A, App. C].
Rangé (module). Triplet (G, V, ⋅) définissable dans une structure rangée, où G est un groupe, V un groupe abélien connexe, et⋅ une action de G sur V . Définissabilité et connexité affectent naturelle-ment les notions d’irréductibilité, etc.
Rangée (structure). Structure dont la classe défi-nissable porte une dimension, dite fonction de rang, soumise aux axiomes de Borovik-Poizat [A, §..] pour l’énoncé desquels f ∶ A ↠ B désigne une surjection définissable entre parties définissables : – rg A≥ n+ si et seulement s’il existe une infinité
de Bi⊆ A définissables disjoints de rang ≥ n ; – pour chaque entier k, l’ensemble Fk= {b ∈ B ∶
rg f−(b) = k} est définissable ; – si Fk= B, alors rg A = k + rg B ;
– il y a un entier m tel que chaque fibre f−(b) est soit de cardinal≤ m soit infinie.
Semi-simple. V. tore.
Simple minimal (groupe). En contexte rangé, groupe définissable simple infini dont tout sous-groupe définissable propre connexe est résoluble. Notion adaptée de la théorie des groupes finis, aper-çue aux chapitres I et II ; le premier se concentre sur la généralisation N○
○.
Structure. Objet pourvu d’une collection don-née de relations ; les fonctions peuvent être vues comme des relations [A, §.]. On ne dispose ni de donnée topologique, ni d’appartenance catégo-rique. Le terme technique est structure « du pre-mier ordre » ; la théorie des modèles se concentre sur la combinatoire des parties définissables d’une telle structure.
L’expression « structure de groupe ou de corps » désigne un groupe ou un corps éventuellement muni de structure supplémentaire ; autrement nous dirons du groupe ou du corps qu’il est pur.
Sylow (sous-groupe de). Un p-sous-groupe de Sy-low est un p-sous-groupe — non supposé défi-nissable — localement fini et maximal pour ces propriétés. En contexte rangé, la locale finitude équivaut à la nilpotence locale [A, Theorem .] ; quand p= , la clause est superflue [A, Theorem .] ; c’est ouvert en p> .
Les -sous-groupes de Sylow sont toujours conju-gués d’après un théorème de Borovik et Poizat [A, Theorem .] ; c’est l’amorce du programme de Borovik pour la conjecture d’algébricité de Cherlin-Zilber, qui se concentre sur la -structure. Mais le contexte rangé n’offre apparemment pas de théorème de Feit-Thompson, si bien que la non-trivialité des -sous-groupes de Sylow est un pro-blème ouvert (v. mauvais groupe).
Dans le cas U⊥
p, les p-sous-groupes de Sylow alors toriques-par-finis sont conjugués (Burdges et Cher-lin, v. chapitre II) ; le problème général est ouvert.
La notion de -sous-groupe de Sylow (Burdges, v. chapitre I) est plus complexe à manier.
Tore. Dans le cadre rangé, la semi-simplicité n’est pas une propriété intrinsèque à un élément ; c’est une propriété de sous-groupe.
– Un p-tore est un sous-groupe (non supposé dé-finissable) de la forme Zn
p∞, où Zp∞ est le p-groupe quasi-cyclique de Prüfer. L’entier n est appellé rang de Prüfer.
– Un bon tore est un sous-groupe définissable abé-lien, divisible, et dont tout sous-groupe définis-sable connexe est clôture définisdéfinis-sable de sa tor-sion. Exemple : K×
pour K un corps rangé de
Glossaire
caractéristique positive (Wagner).
– Un tore décent est un sous-groupe définissable, abélien, divisible, et clôture définissable de sa torsion.
Cherlin a obtenu la conjugaison des bons tores maximaux, et des tores décents maximaux (v. cha-pitre II) ; celle des p-tores maximaux suit.
Unipotent. Dans le cadre rangé, l’unipotence n’est pas une propriété intrinsèque à un élément ; c’est une propriété de sous-groupe. La théorie est bien moins géométrique que dans les contextes al-gébrique [C, §] ou de Chevalley [B, §].
Un sous-groupe p-unipotent d’un groupe rangé en est un p-sous-groupe définissable, connexe,
nil-potent, d’exposant borné. On ignore si la clause de nilpotence est superflue ; on ne possède aucun résultat de conjugaison sauf si p= (v. Sylow).
Burdges a introduit une notion de -unipotence graduée, à manier avec précaution (v. chapitre I).
U⊥
p. Se dit d’un groupe rangé sans sous-groupe p-unipotent non-trivial.
Weyl (groupe de). Quotient du normalisateur d’un tore décent maximal, par son centralisateur. Le second est connexe si le groupe ambiant l’est (Altınel et Burdges, v. chapitre II). Faute de système de racines, la théorie est infiniment moins dévelop-pée que dans le cas des groupes de Chevalley [B, §]. Pour un groupe algébrique les deux notions se rejoignent [B, Theorem ..].