Formulation du problème mécanique

Les éléments du scénario per-opératoire les plus importants au regard de l’objectif de cette thèse ont été décrits précédemment : quels outils ont un impact potentiel sur le positionnement de la prothèse et comment ils interviennent dans le protocole. Le positionnement de la prothèse est le résultat d’une succession de deux étapes : l’installation du guide rigide et la montée du cathéter de pose. Nous choisissons initialement d’aborder ce problème de positionnement par la première étape du placement du guide rigide.

81 L’objectif immédiat de la simulation numérique est de déterminer la pose (position et orientation) du guide dans le plan de la valve aortique dans l’incidence de pose du C-arm comme il est affiché dans l’angiographie finale de la partie 1.4.1. Le problème mécanique consiste à déterminer les contraintes et les déformations d’une poutre (guide rigide) contrainte à l’intérieur d’une cavité (l’aorte et le ventricule gauche).

Le contexte d’utilisation de la simulation numérique dans un environnement médical impose de trouver un compromis entre la justesse de la prédiction et son coût. Le problème mécanique est initialement complexe car il fait intervenir des éléments non-linéaires dont la simulation est délicate et dont les caractéristiques sont difficiles à obtenir. Par exemple, le comportement des tissus et des conditions aux limites peut dépendre de l’âge et de la santé du patient. Leur caractérisation nécessiterait une biopsie invasive et leur simulation numérique imposerait de lourds temps de calcul. Ainsi, nous avons recours aux hypothèses suivantes afin d’établir un problème peu coûteux à résoudre tout en étant représentatif des phénomènes réels.

2.3.1 Effet des mouvements du patient

Malgré les mouvements respiratoires et cardiaques des régions d’intérêt, nous admettons l’hypothèse que les déplacements induits sur le guide rigide sont quasi-statiques. En effet, les forces d’inertie générées par sa faible masse sont négligeables devant les forces de contact mises en jeux. Ainsi, la forme du guide rigide est déterminée à chaque instant par un équilibre statique. Il a été déterminé précédemment que l’angioscan dont on dispose représente des ventricules en état de diastole. La simulation se limite alors à déterminer un équilibre statique du guide rigide en position finale dans le ventricule en diastole sans chercher à déterminer des états transitoires. La montée complète du guide rigide n’est pas à déterminer car le coût de calcul semble injustifié par rapport au gain d’utilité de la simulation en tant qu’outil de planification. De plus, on néglige la force de gravité du guide face aux forces de contacts.

2.3.2 Comportement des parois

Les observations sur les angiographies du guide rigide décrites en partie 1.4.1 « Insertion des outils » montrent que les parois du patient ne se déforment pas ou peu sous l’action du guide rigide. Cela peut se traduire en hypothèse en considérant que les parois sont rigides. Ainsi, il ne sera pas nécessaire de prendre en compte l’influence de la pression artérielle, la pré-charge des muscles vasculaires et le comportement non linéaire des parois en grande déformation. En outre, l’anatomie du patient sera considérée comme entièrement fixe dans l’espace.

2.3.3 Comportement du guide rigide

Le guide rigide a un diamètre nominal de 0.889 mm pour une longueur dépassant 500 mm. Cela justifie la modélisation du guide en poutre dans les géométries d’aorte habituelles. La

82 loi de comportement du guide rigide est choisie linéaire élastique isotrope et sa raideur correspond à la caractérisation mécanique de l’Amplatz Super Stiff reportée en partie 1.2.3 « Guide rigide » (cf. Fig.2.25.b). On suppose en effet que le matériau du guide garde un comportement élastique malgré les grands déplacements générés par la flexion du guide. Il s’agit d’une hypothèse satisfaisante lorsqu’on exclut les géométries pathologiques comme celles liées à la coarctation de l’aorte. La crosse aortique des cas étudiés possède un rayon de courbure d’environ 20 mm et la lumière aortique a un diamètre d’environ 20 mm.

La géométrie du guide rigide est modélisée ainsi : l’extrémité distale se définit par un arrondi caractérisé par un angle et un rayon de courbure (cf. Fig.2.25.a). Le contact du guide avec la paroi est considéré sans frottement car son revêtement polymère les réduit fortement.

Fig.2.25 – a) Forme du guide simulé b) Profil de raideur le longue du guide c) Illustration d’orientations possibles à l’aorte fémorale d) Orientation du guide rigide par rapport à la géométrie patient vue de dessus.

2.3.4 Conditions aux limites & insertion du guide

Le guide rigide est inséré dans l’artère fémorale par un désilet remontant jusque dans l’aorte abdominale. Le désilet est supposé rigide. La liaison entre le désilet et le guide rigide est modélisée par un pivot glissant. Ceci nous permet d’exclure l’aorte abdominale et l’artère fémorale de la géométrie de simulation. Cependant, la position et l’orientation de la sortie du désilet sont des données inconnues dans un contexte pré-opératoire. Nous considérons que les erreurs de prédictions situées loin de la valve aortique ont un effet négligeable sur la forme du guide à la valve aortique. Notre objectif étant de maximiser la justesse de la simulation au niveau de la valve aortique, il paraît acceptable de fixer arbitrairement la position et l’orientation de la sortie du désilet. Cette dernière est alignée à la ligne centrale au niveau de l’aorte thoracique descendante. Les translations et les rotations appliquées par le médecin sont modélisées par des conditions aux limites de Dirichlet à la base proximale du guide

83 rigide. Les translations sont alignées avec la direction du désilet et l’orientation que peut prendre le guide rigide est représentée dans la Fig.2.25.c et d. Elle pourra être modifiée dans les simulations.

2.3.5 Equations mécaniques

La formulation du problème fait apparaître les paramètres d’entrée du modèle. On note comme paramètres physiques : la géométrie du patient, le profil de raideur du guide rigide, l’angle et le rayon de courbure de sa partie distale, la force appliquée et l’orientation appliquée par le médecin à la base proximale du guide rigide.

Ce problème mécanique est gouverné par l’équation d’équilibre dynamique global (Eq.2.1) exprimée dans la configuration déformée.

∭_Ω 𝜌𝒖̈𝑑𝑣= ∭_Ω 𝜌𝒃𝑑𝑣+∯_𝑑Ω𝑻(𝒏)𝑑𝑎 (Eq.2.1)

Avec Ω le domaine de la matière, 𝜌 la masse volumique, 𝒖̈ l’accélération, b les forces à distance s’appliquant au volume du corps, 𝑻(𝑛)

les vecteurs-contrainte. Il en découle l’équilibre d’équilibre statique local (Eq.2.2) concernant le champ de contrainte.

𝑑𝑖𝑣

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _{𝝈̿ = 0 (Eq.2.2)}

L’objectif de la simulation est alors d’approximer le champ déplacement (noté u) et de contrainte (noté σ) du guide en respectant l’équilibre global et local de la matière, les conditions aux limites, et les lois de comportement. La définition du champ de déformation et du champ de contraintes à partir des déplacements et des vecteurs-contrainte est rappelée dans l’Annexe 1.1.

2.3.6 Stratégie de résolution

L’état du milieu continu constitué par notre guide rigide est représenté par les paramètres 𝝈̿ et u en chaque point du guide. Plutôt que de résoudre l’équation en une infinité de point, on approche le problème en considérant un système discret pour le résoudre numériquement. Pour cela, il existe plusieurs approches telles que la méthode des différences finies (MDF) et la méthode des éléments finis (MEF). Les caractéristiques des méthodes font l’objet du chapitre 3.

La MEF est une technique plus récente et plus flexible dans son application sur des géométries complexes. C’est un outil puissant qui contribue dans de nombreux domaines industriels comme le transport, la construction et l’énergie. La MEF est exploitée dans une grande diversité de problèmes physiques comme l’analyse structurelle, le transfert de chaleur, l’écoulement de fluides, l’électromagnétique. Elle a permis d’approfondir les connaissances des systèmes pour guider leur amélioration en diminuant leurs coûts de production et en optimisant leurs performances. Les outils numériques exploitant la MEF font depuis des

84 décennies l’objet de nombreuses recherches pour en améliorer la robustesse, la facilité d’utilisation et la précision. Une grande partie des études fournies dans la bibliographie et la totalité des études de simulation numérique personnalisée concernant le TAVI ont utilisé une résolution par éléments finis (cf. Chapitre 1 section 1.3).

Le logiciel d’analyse par éléments finis ANSYSTM _{est un outil à la pointe de la connaissance}

proposant des techniques d’implémentation numérique avancées facilitant drastiquement l’étude de problèmes variés. En pratique, il facilite la modification de la modélisation du problème, lorsqu’il s’agit par exemple de changer les géométries, les conditions aux limites, les lois de comportements, la formulation des contacts et des éléments. Ceci semble être un aspect pertinent, en particulier parce que le développement d’un modèle destiné à la planification pré-opératoire peut nécessiter d’augmenter graduellement la complexité du modèle. Par conséquent, les simulations numériques ont été réalisées avec le logiciel ANSYS tout au long de cette thèse. Dans le chapitre suivant, nous approfondissons les techniques d’implémentation numériques qui ont été exploitées.