Formulation par médian d'intervalles

Chacune des contraintes que nous avons posées sur notre prédicteur peut être vue comme la projection pI de la valeur interpolée sur un intervalle I = [a, b] :

pI(x) =      a si x < a x _{si a ≤ x ≤ b} b sinon,

Lorsque nous avons plusieurs contraintes, nous projetons donc plusieurs fois sur des intervalles diérents, en espérant trouver in ne un encadrement central. Considérons plus précisément cet objectif en considérant deux intervalles quelconques I1 = [a1, b1]et

I2 = [a2, b2]. Si I1∩ I2 6= ∅, alors notre encadrement central sera clairement I1 ∩ I2, et

dans ce cas,

I₁∩ I₂6= ∅ =⇒ p_I1 ◦ p_I2 = p_I2◦ p_I1 = p_I1∩I2.

Mais que se passe-t-il si I1∩ I2= ∅? Dans ce cas précis, eectuer un encadrement par I1

puis un encadrement par I2nous donne une réponse diérente de la suite d'encadrements

eectués dans l'ordre inverse :

I1∩ I2 = ∅ =⇒ pI1◦ pI2 6= pI2 ◦ pI1

Ceci est problématique si l'on considère que nos contraintes sont d'importances équiva- lentes. De plus, nous avons, dans un cas comme dans l'autre, un résultat qui est fortement excentré par rapport à l'ensemble des deux intervalles.

Si nous voulons pallier ces inconvénients, nous avons intérêt à rechercher notre valeur contrainte, non plus dans I1 ou I2, mais dans l'intervalle qui se situe entre ces deux

intervalles. Dénissons ceci de manière plus formelle. Le ltre Rkde rang k associe à une liste non-ordonnée sa k-ième plus petite valeur. L'intervalle que nous recherchons, noté intmed(I1, I2), est alors :

intmed(I1, I2) = [R1(a1, b1, a2, b2), R2(a1, b1, a2, b2)].

Synthétiser les deux contraintes d'encadrement par I1 et I2 par la contrainte d'enca-

drement par intmed(I1, I2) peut paraître surprenant. En eet, dans le cas où les deux

intervalles sont disjoints, aucune des deux contraintes initiales n'est nalement respectée, et nous avons eectivement :

intmed(I1, I2) ∩ I1= ∅

Néanmoins, puisque, dans ce cas, il est impossible de satisfaire aux deux contraintes simultanément, cet encadrement permet d'avoir une contrainte qui se présente comme un intermédiaire entre les deux contraintes initiales.

Nous pouvons par ailleurs étendre directement notre dénition au médian de k inter- valles, par la formule suivante :

intmed(([aj, bj])1≤j≤k) = [Rk(a1, . . . , ak, b1, . . . , bk), Rk+1(a1, . . . , ak, b1, . . . , bk)]. D'autre part, notre dénition peut s'étendre aussi simplement aux intervalles de la forme ]−∞, b]_{ou [a, +∞[, en prenant simplement soin d'ouvrir la borne de l'intervalle si celle-ci} est un inni.

Enn, il est clair que le médian d'intervalles est continu par rapport à chaque intervalle, puisque ses bornes sont calculées par des fonctions continues des bornes des intervalles.

Notons Ik;d(x) l'intervalle de bornes Pk;k−d,k+d(x) et Pk;k,k+d(x). Nous pouvons alors réécrire Pn,1(x)pour le point 2k + 1 comme :

Pn,1(x) = pintmed(Ik,1(x),Ik+1,−1(x))(Pn(x))

7.2.6. Résultats

7.2.6.1. Signaux synthétiques

Nous avons testé notre schéma de prédiction non-linéaire dans le cas d'une approxi- mation à N termes de signaux synthétiques simples.

Dans le cas d'un simple créneau (gure 7.5), nous pouvons voir que notre schéma non- linéaire n'engendre pas de petits coecients autour des coecients importants, contrai- rement au cas linéaire. Lors de l'approximation à N termes, la quantication à zéro de ces petits coecients dans le cas linéaire provoque des rebonds. Notre nouveau schéma, lui, n'est pas pénalisé.

De la même façon, notre schéma se comporte selon nos attentes dans le cas d'un si- gnal continu par morceau. L'absence de petits coecients qui se situent tout autour des discontinuités avantage nettement le prédicteur non-linéaire dans le cadre de l'approxi- mation à N termes. En eet, la distorsion des coecients est alors globalement plus faible, puisqu'il y a moins de coecients non-nuls.

Nous introduisons ensuite une étape de mise-à-jour pour laquelle nous opérons ce même système d'encadrement. Là encore, la capacité à ne pas créer trop de coecients signicatifs autour des singularités du signal permet à notre schéma d'être nettement plus performant que le schéma linéaire équivalent, que ce soit pour le créneau (gure 7.7) ou pour le signal continu par morceau (gure 7.8).

7.2.6.2. Signaux réels

Nous avons testé notre schéma complet (prédiction et mise-à-jour) sur des bandes de l'image Lena. Nous obtenons une qualité d'approximation à N termes correspondant à la courbe de la gure 7.9.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4

(a) Décomposition pour une ondelette li- néaire 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4

(b) Décomposition pour une ondelette non-linéaire 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 50 100 150 200 250

(c) Approximation à N termes pour une ondelette linéaire 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 50 100 150 200 250

(d) Approximation à N termes pour une ondelette non-linéaire

Fig. 7.5.: Test des ondelettes sans rebonds sur un créneau. Nous n'utilisons ici que les opérations de prédiction. Sur les courbes : en noir, le signal original ; en rouge, le signal approximé.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4 5 6

(a) Décomposition pour une ondelette li- néaire 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4 5 6

(b) Décomposition pour une ondelette non-linéaire 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -200 -150 -100 -50 0 50 100

(c) Approximation à N termes pour une ondelette linéaire 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -200 -150 -100 -50 0 50 100

(d) Approximation à N termes pour une ondelette non-linéaire

Fig. 7.6.: Test des ondelettes sans rebonds sur un signal continu par morceau. Nous n'utilisons ici que les opérations de prédiction. Sur les courbes : en noir, le signal original ; en rouge, le signal approximé.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4

(a) Décomposition pour une ondelette li- néaire 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4

(b) Décomposition pour une ondelette non-linéaire 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 50 100 150 200 250

(c) Approximation à N termes pour une ondelette linéaire 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 50 100 150 200 250

(d) Approximation à N termes pour une ondelette non-linéaire

Fig. 7.7.: Test des ondelettes sans rebonds sur un créneau. Nous utilisons ici les opé- rations de prédiction et de mise-à-jour. Sur les courbes : en noir, le signal original ; en rouge le signal approximé.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4 5 6

(a) Décomposition pour une ondelette li- néaire 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 1 2 3 4 5 6

(b) Décomposition pour une ondelette non-linéaire 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -150 -100 -50 0 50 100

(c) Approximation à N termes pour une ondelette linéaire 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -150 -100 -50 0 50 100

(d) Approximation à N termes pour une ondelette non-linéaire

Fig. 7.8.: Test des ondelettes sans rebonds sur un signal continu par morceau. Nous utilisons ici les opérations de prédiction et de mise-à-jour. Sur les courbes : en noir, le signal original ; en rouge, le signal approximé.

1.0 2. 5. 10.0 20. 50. 100.0 200. 15 20 25 30 35 40 45 50 nombre de coefficients PSNR

Fig. 7.9.: Test des ondelettes sans rebonds 1D sur des tranches de Lena : qualité de l'approximation à N termes. Courbe noire : ondelette linéaire. Courbe rouge : ondelette sans rebonds.

Pour des images réelles, notre schéma est moins ecace que le schéma linéaire. Nous pouvons tenter d'expliquer ceci à partir de notre étude sur le comportement des on- delettes sans rebonds (7.2.4). En eet, nous avons noté que nous perdions en qualité d'approximation aux environs des points de changement de signe de la dérivée seconde. Si ces points sont eectivement rares dans le cas des signaux synthétiques, en particulier par rapport aux discontinuités du signal, ce n'est pas le cas dans les signaux réels. La perte due au changement de l'ordre d'approximation autour des points de changement de signe compense alors le gain provenant de l'élimination des rebonds.

D'autres tests montrent que pour un schéma en prédiction seule, l'ondelette non- linéaire fournit des résultats légèrement supérieurs à l'ondelette linéaire. Cela mène à penser qu'il doit y avoir une possibilité d'améliorer la conception de l'opérateur de mise- à-jour.