une cavité parfaitement métallique
5.2.1 Formulation mathématique et approximation
Dans cette partie, avant de nous intéresser à une stratégie de maillage adaptatif, nous décrivons le problème 1D et une approximation de celui-ci basée sur l’ap- proche volumes finis.
Les équations de Maxwell dans un milieu hétérogène, linéaire et isotrope s’écrivent : ε∂E ∂t − ∇ ×H=0 µ∂H ∂t + ∇ ×E=0 (.5.1)
où E = (Ex, Ey, Ez) et H = (Hx, Hy, Hz) définissent respectivement le champ élec- trique et le champ magnétique.
Pour avoir une version monodimensionnelle des équations de Maxwell (.5.1), nous considérons que la direction de propagation est k = (k, 0, 0)et que la polarisation du vecteur de champ électrique est telle que E = (0, Ey, 0). La polarisation du vecteur magnétique est déduite du produit vectoriel k×E = H = (0, 0, Hz). De plus, nous supposons que Eyet Hz sont des fonctions de x et de t. Pour plus de simplicité, nous notons E au lieu de Ey et H au lieu de Hz. Les équations de Maxwell 1D peuvent
être écrites comme :
ε∂E ∂t + ∂H ∂x =0 µ∂H ∂t + ∂E ∂x =0 (.5.2)
En ce qui concerne le plasma, celui-ci est décrit en 1D par le système suivant : ∂ne ∂t − (De f fn 0 e)0 = νe f fne ∂v ∂t +νmv= q mE (.5.3)
où ne et v définissent respectivement la densité plasma et la vitesse de celui-ci. Les constantes m et q représentent la charge d’une particule du plasma (on ne considère ici que des électrons) et sa masse. Les termes De f f, νe f f et νm sont habituels.
Concernant la discrétisation du problème 1D, nous définissons Ω = [0, 1], Ω0 = [a0, b0]etΩ1 = [a1, b1]tels queΩ1 ⊂Ω0 ⊂ Ω avec 0< a0 < a1 <b1 <b0 <1. Les ensembles Ω, Ω0 et Ω1 représentent respectivement le domaine de calcul, le volume séparant le calcul du champ diffracté avec le champ total, sachant que ce dernier est calculé à l’intérieur de Ω0 et enfin, le domaine où réside le plasma. En termes de conditions limites nous appliquons :
– une condition de Silver-Muller ou de non réflexion des ondes électromagné- tiques, qui est une condition exacte en 1D, et définie sur ∂Ω par :
ε0n×E+n×n×H=0 avec n= (1, 0, 0)ou n= (−1, 0, 0); – une condition ne=0 sur ∂Ω1.
On définit ensuite une partitionThde n segments Ti telle queΩ=Si=1,nTi. Le choix de Ω1, Ω0 et de la partition Th est effectué afin que Ω1 et Ω0 soient définis par un recouvrement d’un sous ensemble deTh.
Soit un élément Ti = [xi, xi+1] de longueur dxi, nous définissons sur celui-ci Ei, Hi, nei et vi comme étant respectivement les champs électrique et magnétique, la
densité et la vitesse électronique supposés constants sur l’élement. La discrétisation des équations de Maxwell en utilisant un schéma leap-frog en temps est donnée par :
µ0H n+1/2 i −Hn −1/2 i dt = FEn i dxi ε0E n+1 i −Ein dt = FHin+1/2 dxi (.5.4) avec (
FEin= 12(Ei+1n −Eni−1) +αc20(Hi+1n+1/2+Hi−1n+1/2−2Hin+1/2)
FHn+1/2i = 12(Hi+1n+1/2−Hi−1n+1/2) +αc20(Eni+1+Eni−1−2Ein) (.5.5)
où c0=1/
√
ε0µ0.
Dans l’approximation numérique choisie, nous ne considérons pas une correction des flux avec une méthode MUSCL.
En espace libre, le schéma volumes finis ainsi décrit est numériquement stable sous la condition dt≤mini=1,Ndxi/c0
Concernant le modèle de plasma fluide, dans l’approximation numérique, nous utilisons un schéma d’Euler implicite en temps pour le calcul des vitesses électro- niques et un schema d’Euler explicite en temps pour la densité électronique.
On obtient alors pour l’équation de la vitesse : vn+1i −vni dt +νcv n+1 i = qe me Ein+1 (.5.6)
avec qe, me et νc des constantes du problème qui représentent respectivement la charge et la masse électronique et la fréquence de collision electron/neutre.
Pour l’équation de la densité électronique, nous avons : nem+1i −nemi dtne −νe f fm i ne m i = Fm dxi (.5.7) où v1 =2ne m i+1−nemi dxi+dxi+1 v2 =2ne m i−1−nemi dxi+dxi−1 Fm = (v1+v2)De f fmi +v1De f fmi+1+v2De f fmi−1 (.5.8)
Les termes νe f fmi et De f fmi dépendent des valeurs de champs E et sont définis comme décrit dans le chapitre 3. Dans cette approximation, on choisit un pas de temps dtne qui est un multiple de dt. En terme de critère de stabilité, l’équation sur la densité est stable sous la contrainte :
dtne ≤
mini=1,ndx2i De
(.5.9)
avec De constante définissant le coefficient de diffusion électronique et vérifiant De f fmi ≤De ∀i et m.
5.2.2 Configuration 1D
Dans cette partie nous décrivons la configuration de calcul qui nous servira par rap- port à la stratégie de maillage auto-adaptatif présentée dans le paragraphe suivant.
Le domaine de calcul Ω est défini par [0, 12mm]. Nous positionnons sur celui- ci, une densité de plasma ne(t=0, x) =ne0exp(−((x−x0)/r0)2/2)avec ne0 =1.e14,
x0 =8mm et r0 =0.1mm. Nous illuminons le domaine de calcul avec une onde plane donnée par (kx, Ey = E0sin(ω(t−kx(x−xs)/c0)), Hz = kx×Ey), où E0 =6MV/m,
ω=2π/ f0, f0=100GHz et xs=0.
Le plasma est confiné dans une zoneΩ1= [0.4mn, 11.6mm]et nous travaillons à pression atmosphérique (P = 760Torr). Les figures .5.1et .5.2montrent respective- ment l’évolution spatiale du champ effectif et de la densité électronique à différents instants et pour différents pas de maillage. Nous notons sur ces figures que l’on a une convergence de la solution pour un pas de maillage égal à λ/500 où λ définit la longueur d’onde associée à la source. En dessous de cette valeur, nous notons un décalage sur le front d’onde.
On note aussi sur ces figures qu’un front de densité plasma se propage vers la source de l’onde et que celle-ci disparait au fur et à mesure. Dans la zone plasma, on retrouve un ensemble de pics et une forme du plasma en "fishbone". Ces différentes crêtes sont équidistantes en espace pour une longeur de l’ordre de λ/5. Ce type de résultats est similaire à celui obtenu dans la thèse de Guo Quiang-Zhu [22][115].
On note aussi sur cet exemple que les densités de plasma évoluent très rapide- ment sur des zones spatiales où le champ est élevé. On obtient alors spatialement de forts gradients de densités dans ces zones. Il apparaît alors nécessaire d’avoir une discrétisation de l’espace très précise à cet instant t dans ces zones spatiales. Ne pouvant pas raisonnablement mailler le domaine de calcul trop finement pour tenir compte de ce phénomène physique, une solution de maillage auto-adaptatif dans le temps semble être la solution la plus efficace.
Dans un deuxième temps, nous nous sommes intéressés au même problème, mais avec une pression plus faible P=100Torr et une amplitude de l’onde incidente E= 2MV/m. Les figures.5.3et .5.4montrent l’évolution des densités électroniques et du champ effectif pour différentes discrétisations spatiales.
figure .5.1 – Evolution spatiale du champ effectif à différents instants et pour différents pas de maillage.
figure .5.2 – Evolution spatiale de la densité électroniqueà différents instants et pour différents pas de maillage.
figure .5.3 – Evolution spatiale du champ effectif à différents instants et pour différents pas de maillage.
figure .5.4 – Evolution spatiale de la densité électronique à différents instants et pour différents pas de maillage.
On note sur ces résultats un comportement analogue à ceux obtenus avec une pression atmosphérique. De plus, dans ce cas, il n’y a création que d’un front de plasma évoluant dans le sens opposé à l’incidence. Cette particularité est intéressante pour tester une approche en maillage adaptatif car dans ce cas, le maillage devrait s’adapter au cours du temps sur ce front. C’est pourquoi, dans la suite de ce chapitre nous nous focaliserons plus particulièrement sur cette configuration.
5.3
Maillage adaptatif
A partir des équations du problème précédent, nous allons proposer un critère de raffinement puis de déraffinnement des cellules, basé sur l’évolution de la densité du plasma. En effet, c’est lorsque celle-ci varie rapidement que l’on souhaite amé- liorer la précision de notre simulation. Il apparait donc naturel de travailler dans un premier temps sur un critère empirique basé sur la valeur du gradient de la densité électronique.