Formulation de la méthode d’inversion mécanique dans le cas de tissu élastique

Soit les champs de déplacements non rigides effectifs du fantôme FLCL-MCF dans le référentiel

absolu, obtenus pour différentes valeurs de PInterne et notés

, , , , , tels que représentés dans la Figure 4-1 pour

, et , , nous déduisons un champ de déplacements relatifs , , , . Ensuite, nous calculons le tenseur de déformations caractérisé dans le cadre d’une analyse bidimensionnelle par les quatre composantes _, , _, , _, , _, (Figure 4-1).

Il faut distinguer le comportement rhéologique effectif du tissu analysé, qui gère sa déformation suite à des conditions aux frontières spécifiques (dans le sens de résolution du problème direct), de la loi supposée a priori le caractériser lors de la résolution du problème inverse. À titre d’illustration, un tissu peut être effectivement hyperélastique, mais être supposé élastique linéaire lors de la résolution du problème inverse.

Figure 4-1 : Déformations du fantôme artériel entre deux valeurs de pression interne. Ici 110 et 120 mmHg.

Rappelons que, pour un tissu élastique, isotrope et homogène, et dans le cadre de déformations planes dans le plan , , nous avons , , 0 et 0. Le problème mécanique peut

être considéré comme bidimensionnel. Dans ce cas, le potentiel d’énergie de déformation est

donné par : , , _{, , , , , ,} .

les équations d’Euler associées sont alors : 1

2 , , , , , , , , , , , _, , , , , _, 0

1

2 , , , , , , , , , , , _, , , , , _, 0,

que nous développons sous la forme suivante en tenant compte de l’expression de , , :

, , _{, ,} 2 _{, , , ,} , _, , , , 2 , , , , , , , 0 , , _{, ,} 2 _{, , , ,} , _, , , , 2 , , , , , , , 0. Éq. 4-3

Puis, après simplifications :

, , _{, ,} 4 _,

, , , , 0

, , , ,

, , , 4 , , 0.

Éq. 4-4

Dans ce projet, nous considérons l’hypothèse que le fantôme analysé est composé de tissus élastiques linéaires isotropes quasiment incompressible ( 0.49) ou compressible à compressibilité constante prédéterminée ( 0.4). De ce fait, nous avons ν_, ν_, 0. L’équation 4-4 prend pour ce tissu la forme suivante :

, , _{, , ,} 4 _{, , , , , ,} 4 _, , , , , 0 , , _{, , , , , ,} 4 _{, , , , , ,} 4 _, , 0. Éq. 4-5

Ainsi, dans ce cas de tissu élastique linéaire isotrope en formulation 2D, l’application du principe du minimum de l’énergie de déformation pour un tissu à l’équilibre mécanique permet l’obtention de deux équations reliant le module de cisaillement µ aux composantes du tenseur de déformations et de leurs dérivées spatiales. Ces équations sont en fait les équations de Lamé en absence des forces volumiques, et où les composantes du tenseur de contraintes sont exprimées en fonction des paramètres élastiques et des composantes du tenseur de déformations. Le recherché doit vérifier les équations , , 0 et , , 0.

Pour résoudre ces deux équations simultanément, nous proposons de chercher le qui minimise

notre fonction d’objectif suivante : , Éq. 4-6

où est un coefficient de pondération permettant de privilégier l’une ou l’autre des équations 0 ou 0. Dans notre cas, bien que nous considérions que 1, nous maintenons ce paramètre dans la formulation par souci de généralité. étant un coefficient de pondération réel positif et la fonction étant écrite sous la forme d’une somme de deux fonctions

quadratiques réelles et positives, ne peut être que positive ou nulle. Elle est nulle dans le seul cas où les deux fonctions ou le sont. Le calcul de l’extrémum de , qui est alors son minimum, est effectué par la résolution de l’équation :

, , 2 , 0. Éq. 4-7

La minimisation numérique par éléments finis de l’équation 4-7 introduit des bruits à cause des dérivations numériques des champs de déplacements du tissu discrétisés. Pour contrer les effets de ces bruits, nous imposons une contrainte de lissage au paramètre élastique recherché, . Cette contrainte de lissage est usuellement formulée, dans la littérature, par la minimisation de la

fonctionnelle suivante (Horn, 1981) : , , dx 0, et revient à la recherche d’un

vérifiant _, 0 et _, 0.

Pour compenser les pertes de contrastes reliés au lissage, nous imposons la contrainte suivante à notre fonction d’objectif : 0. Et ainsi, nous cherchons finalement un qui vérifie équation: _{, , ,} 0, Éq. 4-8 Dans l’équation 4-8, nous avons introduit les coefficients de pondération adimensionnels, et

, qui représentent respectivement les poids de la fonction de pénalité et celui de la contrainte de lissage _{, ,} 0.

Le développement de l’équation 4-8, effectué en annexe (Annexe 2), montre que le recherché, pour un tissu isotrope et élastique linéaire en formulation 2D, doit vérifier une équation de la

forme: Éq. 4-9 avec : , , 4 , , , , , 4 , , , , , , , , , 4 , , , , , , 4 , , , , , , 0 Éq. 4-10

La résolution de cette équation nécessite la spécification des valeurs de et . Elle nécessite aussi l’introduction de conditions appropriées aux frontières de FLCL-MCF. Nous discuterons plus loin dans ce chapitre celles que nous considérons pour résoudre le PIPM.

Figure 4-2 : Maillage type considéré dans le fantôme artériel lors de la résolution du problème inverse purement mécanique.

Par ailleurs, pour l’estimation de µ dans le FLCL-MCF, nous utilisons le module PDE (Partial

Derivative Equations) du logiciel d’éléments finis Comsol Multiphysics et un maillage de type représenté dans la Figure 4-2, assez fin et d’éléments de géométrie assez proche et symétrique pour que nos résultats d’inversion n’en dépendent plus. Les éléments de maillage considérés

(m

(m) (m)

(Figure 4-2) sont au nombre de 68 702, de type triangulaire et de côté maximal 4e-5m pour une région d’intérêt (RI) de largeur maximale 8e-3m. La qualité minimale des éléments du maillage mesurant la symétrie entre chaque élément du maillage est de 0.86 ce qui est loin de 0.3, valeur fixée par Comsol comme limite inférieure de qualité pour les éléments triangulaires (Comsol Multiphysics).

La méthode de résolution que nous adoptons ne nécessite pas de résolutions itératives de problèmes directs ajustés aux problèmes inverses, comme c’est le cas pour les méthodes RD- FEM (cf. chapitre 2), mais bien une seule résolution des équations 4-10 et des conditions aux frontières qui lui sont associées. La résolution de cette équation est alors effectuée dans le logiciel Comsol Multiphysics moyennant un solveur paramétrique qui permet d’explorer plusieurs valeurs des coefficients de pondération et .

Dans ce qui suit, nous présentons les résultats que nous avons obtenus par la résolution de l’équation 4-10 pour le fantôme artériel FLCL-MCF .

4.2.2 Application de la méthode d’inversion variationnelle mécanique à un