A
D B
E
C
1m
1m 1m 1m
1kN/m
40kN
25
60
5
5
(A) (b)
45
figure 2
SUJET 10
EXERCICE 1
Un cylindre creux de diamètre extérieur D = 20 mm et intérieur d = 16 mm est sollicité par un effort axial de traction égal à 10 kN et un moment de torsion de 60 N.m.
1. Définir l'état de contrainte supposé plan au point A, c.a.d déterminer σx, σy, τxy (Figure 1). Tracer le cercle de Mohr correspondant.
2. Vérifier la résistance de l'élément au point A, en utilisant le premier, le deuxième, et le troisième critère de résistance, sachant que le module d'élasticité E = 210 kN/mm², la contrainte normale admissible [σ] = 160 N/mm², la contrainte tangentielle admissible
[τ] = 80 N/mm2, la déformation admissible [ε] = 10-3 et le coefficient de Poisson ν =0.3.
X Y
10 kN 10 kN
60 N.m 60 N.m
?
? Figure 1 ?
A
EXERCICE 2
Un portique ABC est articulé au point C et relié à une colonne CD de section circulaire de diamètre d.
1) Tracer les diagrammes de l'effort normal, l'effort tranchant et du moment fléchissant sous le cas de charge représenté sur la Figure 2.
2) Le portique ABC a une section rectangulaire creuse de 120 mm de hauteur, 60 mm de largeur, et 10 mm d'épaisseur.
Vérifier la résistance du portique ABC, et dimensionner la colonne CD à la stabilité sachant que le module d'élasticité E = 210 kN/mm², la contrainte admissible [σ] = 160 N/mm², le coefficient de stabilité nst = 2 et λlim = 100.
1m 1m 2m
1m
1m 10 kN
3 kN/m
A
B C
D
Figure 2
SUJET 11
EXERCICE
Vérifier la résistance de la poutre (a) sachant que la forme de sa section droite est un triangle isocèle de hauteur h = 120 mm et de base b = 60 mm, constituée d'un matériau ayant la contrainte admissible de compression [σ-] = 200 N/mm2 et de traction [σ+] = 300 N/mm2.
- La poutre résiste-t-elle si on découpe la section de 15 mm à partir du sommet (Figure 1.b)? Commenter les résultats obtenus.
- Déterminer le rapport de la flèche maximale dans les deux cas (section triangulaire et trapézoïdale).
- Comparer le moment maximal de la poutre (a) avec celui de (c) quand on remplace l'articulation C et l'extrémité libre A par des appuis simples.
- Comment peut-on déterminer le module d'élasticité du matériau de la poutre à l'aide d'une seule jauge électrique (1 seule mesure de déformation)?
NB: Les questions sont independantes.
2kN.m 10 kN/m 5 kN
A
B C D
1 m 2 m 0.5 m
(a)
15 mm
105 mm
60 mm A (b)
B C
D
2 kN.m 10 kN/m 5 kN
1 m 2 m
(c)
Figure 1 0.5 m
0.5 m 0.5 m
SUJET 12
EXERCICE 1
Soit un poteau de la communication de grande hauteur (antenne) constitué de 3 parties de sections cylindriques ayant les diamètres extérieurs D1, D2, et D3 et le diamètre intérieur d.
Le poteau est situé au Sahara, sous l'effet du changement de température les trois parties subissent des allongements verticaux ∆h1, ∆h2 et ∆h3. Pour la stabilité verticale du poteau on est obligé de le fixer par des câbles en acier de diamètre égal à 10 mm. les lignes moyennes des câbles sont confondues avec les axes des forces tenant le poteau et supposées agir sur l'axe du poteau (Figure 1).
Verifier la résistance des câbles et la stabilité de chaque tronçon du poteau considéré comme encastré aux extremités.
On donne:
∆h1 = 1 mm, ∆h2 = 0.75 mm, ∆h3
= 0.5 mm
E = 2.1 x 105 N/mm², [σ] = 160 N/mm² et λlim = 100.
d = 100 D1 = 120
D2 = 140
D3 = 160
6.0 m
6.0 m
6.0 m
10.0 m Figure 1 cable
EXERCICE 2
Pour le matériaux de la poutre en T (Figure 2) la limite élastique en traction est 2 fois celle de la compression.
Calculer la hauteur h de la section qui permet une utilisation rationnelle du matériau lors d'une sollicitation en flexion. (c.a.d) les contraintes dans les fibres extrêmes tendues et comprimées atteignent leurs limites admissibles en même temps.)
2 cm
2 cm h
10 cm Figure 2
SUJET 13
EXERCICE 1
Soit un portique ABC composé de deux éléments: AC est une poutre curviligne, dont la ligne moyenne décrit 1/4 de cercle, est simplement appuyée en A et articulée en C.
BC est une poutre inclinée, encastrée en B et articulée en C.
Ecrire les expressions analytiques et tracer les diagrammes des efforts internes sous l'effet d'une charge uniformément répartie (Figure 1).
EXERCICE 2
Déterminer l'aire et le moment d'inertie de la section droite Iz d'une bande de plaque métallique ondulée de largeur L utilisée comme coffrage perdu dans les planchers collaborants.
L'épaisseur de la plaque e est constante suivant yy (Figure 2) et la ligne moyenne des ondulations est exprimée par: y = A cos ωz.
Figure 1 A
2.0m
2.0 m 1.0 m
C
B 5 kN/m
Figure 2
y = A cos w z
e L
z y
y
z
tole ondulée
EXERCICE 3
Pourquoi le flambement d'une poutre droite soumise à la compression est considéré comme un phénomène d'instabilité?
SUJET 14
EXERCICE 1
Dimensionner le système en treillis schématisé sur la Figure 1, sachant que la section des barres est circulaire, la contrainte admissible [σ] = 160 N/mm², le module d'élasticité E = 2.1 × 105 N/mm², le coefficient de stabilité nst = 2 et λ lim = 100.
A B C D E
G F H
1.5 1.0 2.0 3.0 m
0.25
20 kN
Figure 1 EXERCICE 2
Classer les formes des sections des poutres de la Figure 2 en fonction de leurs efforts de résistance maximale à la flexion pure, à l'effort tranchant, au cisaillement, à la torsion et à la stabilité élastique (compression); Sachant qu'elles sont constituées du même matériau et leurs aires des sections sont égales.
a- carrée b- rectangulaire c- circulaire pleine d- creuse
h/b = 2 d/D =0.6
h b
d D
Figure 2
SUJET 15
EXERCICE 1
Vérifier la résistance et la rigidité de la console ci-dessous, étant données:
[σ-] = 30 N/mm², [σ+] = 10 N/mm², E = 1.8×104 N/mm², [fy] = L / 300 et le diamètre
D = 400 mm.
50kN
400 kN 1.2 m
y
z 50 kN/m
Figure 1 EXERCICE 2
Déterminer le noyau central de la section en T représentée sur la Figure 2.
100
60 30
40 z
Figure 2
SUJET 16
ENNONCE
Etablir l'organigramme (schéma logique) et écrire le programme en BASIC correspondant pour dimensionner à la stabilité élastique un élément soumis à la compression. La forme de la section peut être circulaire ou rectangulaire (pleine ou creuse).
Les données constantes:
- Tableau de ϕ(λ) pour l'acier et le bois.
λ 0 10 20 30 40 50 60 70
Acier
doux 1.00 0.98 0.96 0.94 0.92 0.89 0.86 0.81 Bois 1.00 0.97 0.93 0.90 0.87 0.79 0.71 0.60
- Les caractéristiques mécaniques Ea = 2.1 × 105 N/mm², [σ-] = 160 N/mm² Eb = 1 × 104 N/mm², [σ-] = 12 N/mm².
Les données variables:
- La longueur de l'élément L, le rapport b/h des sections rectangulaires, l'épaisseur e des sections creuses et le coefficient de fixation µ.
- La charge appliquée P.
- La précision ε Résultats:
Les dimensions de la section.
80 90 100 110 120 130 140 0.75 0.69 0.6 0.52 0.45 0.40 0.36 0.49 0.38 0.31 0.25 0.22 0.18 0.16
SUJET 17
EXERCICE 1
Soit deux poutres de toitures: (a) est un demi-cercle de rayon R et (b) est composée de deux versants inclinés. A et B sont des appuis doubles, C est une articulation.
Ecrire les expressions analytiques et tracer les diagrammes des efforts internes sous l'effet d'une charge uniformément répartie (Figure 1).
Déduire les valeurs maximales du moment fléchissant et des efforts tranchant et normal dans chaque poutre.
A
1.0m
2.0 m 2.0 m
C
B 10 kN/m
R=2.0 m
A
C
B 10 kN/m
(a)
(b)
Figure 1
EXERCICE 2
Déterminer les moments d'inertie centraux et principaux de la section droite (a) en forme de S. Que deviennent les moments de la section composée totale et l'orientation des axes centraux et principaux. Tracer les cercles de Mohr des deux cas sur le même plan.
Que peut-on déduire lorsque le cercle de Mohr est plus petit?
180 mm 180 mm 15 mm 105 mm 30 mm
30 mm
90 mm
90 mm 30 mm
120 mm 30 mm
O Y
Z
(a)
Figure 2
SUJET 18
EXERCICE 1
Soit une poutre ABC encastrée en A, sur appui simple en C. La poutre est chargée par une force F appliquée en B. La section de la poutre vaut a × b entre A et B et a × b' entre B et C avec b' = αb et a = b/5, 0 < α < ∞
1) - Calculer en fonction de α, b, L, et F les réactions, en particulier la réaction en C appelée Y sera obtenue sous la forme: Y = βF, la valeur de β sera explicitée, ses valeurs limites définies et commentées.
2) - Tracer les diagrammes des efforts internes pour une valeur de α = 0.5.
L L
A B C b
a = b/5
b'=α b F
Figure 1 EXERCICE 2
Déterminer la force critique d'une colonne de hauteur 6.10 m articulée aux extremités et ayant une
section droite composée de deux profiles en U (13×
300) renforcés par deux plaques de
13×300 mm. On donne les caractéristiques du profile en U:
A = 71 cm², Ix = 9075 cm4, Iy = 568 cm4
13 300 300
y y
x x x x
y y
26 c.g
Figure 2
SUJET 19
EXERCICE 1
Une poutre simplement appuyée ayant une section en I, de hauteur h = 375 mm et de moment d'inertie I = 1.8 × 10-4 m4, est soumise à une charge uniforme de 25 kN/m.
Déterminer la longueur maximale de la travée qui vérifie les deux conditions:
La résistance à la flexion et la rigidité, sachant que la contrainte normale admissible [σ] = 140 N/mm², la flèche admissible [f] = L/400 et E = 2 × 105 N/mm².
EXERCICE 2
Le contreventement d'une structure en bois de 3 étages est assuré par la palée de stabilité ci-dessous. Dimensionner les diagonales en section circulaire pleines.
On donne E = 104 N/mm², [σ-] = 10 N/mm² et [σ+] = 20 N/mm².
4 m 30 kN
20 kN
10 kN
3 m
3 m
3 m
SUJET 20
EXERCICE 1
Une poutre en console de section rectangulaire 160 × 100 mm² est soumise à une force concentrée P = 40 KN appliquée à l'extrémité libre. Calculer les contraintes principales, la contrainte tangentielle maximale et leurs orientations au point A situé à une distance de 0.5 m de l'extrémité libre et 40 mm de la base de la section (figure 1).
40 kN
0.5 m 40 mm 160
100
A
Figure 1 EXERCICE 2
Une barre en acier ABC est encastrée aux extrémités. Les deux tronçons AB et BC ont une section circulaire de diamètre respective 20 mm et 10 mm et de longueur 750 mm et 250 mm.
Au point B on applique un moment de torsion qui provoque une contrainte tangentielle maximale dans le matériau de 40 N/mm².
Calculer l'intensité du moment de torsion et l'angle de rotation au point d'application du moment. On donne G = 75 kN/mm².
EXERCICE 3
Définir le noyau central d'une section et son intérêt dans la pratique.
750 mm 250 mm
D = 20 mm d = 10 mm
Figure 2
SUJET 21
EXERCICE 1
On considère la structure en treillis, géométriquement symetrique par rapport à la verticale passant par E, constituée de barres de section circulaire pleine ( Figure 1).
1- Déterminer les réactions d'appuis.
2- Calculer les efforts des barres sous l'action des forces horizontales.
3- Dimensionner la section à la résistance et à la stabilité sachant que:
E = 2 × 105N/mm², [σ-] = [σ+] = 120 N/mm².
4- Quel est le critère prépondérant et pourquoi? Proposer une solution pour réduire la dimension de la section des barres. On peut tolérer quelques modifications de la disposition des membrures tout en gardant le même matériau de la structure.
- Tableau de ϕ(λ) pour l'acier.
λ 0 40 60 80 90 100 110 120 130 140 ϕ 1.00 0.92 0.86 0.75 0.69 0.6 0.52 0.45 0.40 0.36
150 160 170 180 190 200 0.32 0.29 0.26 0.23 0.21 0.19
4 m 2m
2m 2m 2m
120 kN
120 kN
120 kN
120 kN
A B
C D
E
F
G
H
I
Figure 1 EXERCICE 2
En utilisant la méthode des poutres fictives calculer la rotation au niveau de l'appui A.
On donne EI = 120 kNm².
1 m 1 m
18 kN
1 m 12 kN.m
Figure 2
SUJET 22
EXERCICE
La poutre en arc de la figure ci-dessous est constituée de deux quarts de cercles. Les extrémités A et B sont des appuis doubles et le point C est une articulation.
Tracer les diagrammes des efforts internes et vérifier la résistance au niveau de la section correspondant au moment fléchissant maximal absolu.
[σ-] = 80 N/mm² et [σ+] = 120 N/mm².
2 m 2 m
80 kN
2 m A
C
B 2 m
2 m
40 mm
200 mm
20 mm 20 mm