Nous passons m a i n t e n a n t 's la d~finition de l'int~grale de R.-L. dans l'espace lorentzien ~ m dimensions. Consid6rons duns cet espace les points P et Q aux coordonn6es respectives xl, x~ . . . . , x,~ et ~l, ~ , . . . , ~m. Le carr6 de la distance lorentzienne de ces points - - qu'on va d'ailleurs 16g~rement g6n6raliser d u n s le
eours, de ce num6ro - - est d~fini par la formule
(i) r ~ = r ~ p = ~'~ = (x, - ~,)~ - ( x ~ - ~ ) " . . . ( x . , - ~m) ~.
L'application du m~me symbole rpq duns deux espaces p o r t a n t des m~triques diff6rentes ne devra amener aucune confusion chez le lecteur, d ' a u t a n t moins que dans la suite il ne sera gu~re question de la m6trique euclidienne. D'ailleurs, on peut, si l'on veut, consid6rer l'une et l'autre d6finition comme des cas parti- cullers de la d6finition g6n6rale
i, k
Duns le m~me ordre d'id~es on gardera les symboles utilis~s dans le cas euclidien pour ddsigner les diff6rents 616ments m~triques correspondants et on ddsignera l'op~rateur des ondes par le m~me symbole A que l'op~rateur de Laplace, c'est-~-dire que t'on pose ici
0~ 0 2 0~
(2) ~x =
O x~ O x~ Oxen
En consid6runt le point P comme fixe et le point Q comme v a r i a b l e , (~) M. I~IESZ 8, O. FROSTMAN 1 - - 3 .
L'int6grale de Riemann-Liouville et le problbme de Cauchy. 27 r~Q = o d6finit la surface du cSne c a r a c t 6 r i s t i q u e ou c6ne de lumi~re au s o m m e t P , r~e < o d6finit son i n t 6 r i e u r , x~ - - ~ > o le cbne rdtrograde, et x~ - - ~L < o le cbne direct.
C'est le c6ne rdtrograde que nous allons consid6rer en g~.n6ral, en le dd- s i g n a n t p a r D R.
L e carrd scalaire d ' u n v e c t e u r X a u x c o m p o s a n t e s X~ est d~fini p a r la f o r m e m 6 t r i q u e
(3) ( x , x ) = x , ~ - x l . . . z ~ .
E n nous i n s p i r a n t de la t e r m i n o t o g i e relativiste, n o u s a p p e l o n s u n v e c t e u r vecteur de temps, vecteur de lumi~re (vecteur isotrope), vecteur d'espace(1) s u i v a n t que son carr6 scalaire est positif, riul, n 6 g a t i f r e s p e c t i v e m e n t . On c o m p r e n d p a r 1s ce q u ' o n e n t e n d r a p a r d r o i t e ou d i r e c t i o n de temps, de lumibre, d'espace (droite ou direc- t i o n isotrope). Un v e c t e u r de temps est dit unitaire si son carr6 scalaire est ~gal
~, I, t a n d i s q u ' u n v e c t e u r unitaire d'espace a son carr6 scalaire 6gal ~ - - I.
L e produit scalaire de d e u x v e c t e u r s X et Y aux c o m p o s a n t e s respectives Xk ct Y~ est d6fini p a r la f o r m u l e
(4)
( x , u = x 1 Y: - x ~ Y~ . . . x ~ }'~.Ces v e c t e u r s sont dits orthogonaux au sens lorentzien si l e u r p r o d u i t scalaire (X, Y ) = o. E n r a p p r o c h a n t c e t t e d6finition de celles donn6es plus h a u t , on voit que les vecteurs de lumi~re, et ces vecteurs seulement, sont o r t h o g o n a u x s eux- mgmes.
P a r une transformation de Lorentz on e n t e n d u n e t r a n s f o r m a t i o n lin6aire e t homog~ne des c o o r d o n n 6 e s xk qui t r a n s f o r m e la f o r m e m 6 t r i q u e
(5) x~ - x~ . . . x ~
en elle-m~me. L e s c o m p o s a n t e s d ' u n v e c t e u r sont s t r a n s f o r m e r de la m~me mani~re que les coordonn6es, c'est-s que le carr6 scalaire (X, X) et le p r o d u i t scalaire (X, Y) = 88 {(X + Y, X + Y) - - (X - - u X - - Y)} sont aussi i n v a r i a n t s p a r r a p p o r t r o u t e t r a n s f o r m a t i o n de L o r e n t z . Ces t r a n s f o r m a t i o n s f o r m e n t 6 v i d e m m e n t un groupe:
le groupe de Lorentz. l l y a d o n c i n v a r i a n c e p a r r a p p o r t s ce ~ o u p e . On volt d ' a u t r e p a r t f a c i l e m e n t que les Yk ~ t a n t t r a n s f o r m 6 s d ' u n e mani~re i n c o n n u e , mais telle que le p r o d u i t scalaire (X,Y), f o r m 6 avec des Xk arbitraires, r e s t e in- (~) Ce qu'on appelle ici espace lorentzien ~ m dimensions n'est que l'espace-iemps ou l'univers des phy~iciens, k m - - I dimensions d'espace et une dimension de temps.
variant lorsqu'on applique aux Xk une certaine transformation de Lorentz, la transformation des Yk doit &re identique t~ ceUe des Xk. En effet cette derni~re r~gle conduit s l'invariance postul6e. Inversement, le postulat d'invariance m~ne pour les coefficients de la transformation inconnue s un syst~me d'6quations lin6aires s solution unique.
La nomenclature introduite plus haut (vecteur de temps, d'espace etc.) est manifestement ind~pendante du choix du syst~me de coordonn~es lorentziennes.
Ajoutons que, par une transformation de Lorentz convenable, route droite de temps peut devenir l'axe des xl. De m~me, route droite d'espace peut devenir un axe des xi (i-~ 2, 3,. 9 m). Tout plan
d'espace(voir
plus loin, n ~ 19) peut devenir un planx ~ x 3 . . , x~.
La m6trique lorentzienne d a n s un tel plan est au signe du carr6 scal~ire pros - - identique 's la m&rique eucHdienne rela- tive aux coordonn6es x2, x~, . .., x~. Cela explique le r61e que jouent les spheres euclidiennes dans certains de nos calculs(voir
p. ex. les n ~ 16, 81 etsuiv.).
En posant
(6) 81 = I , 8~ . . . ~ , m = - - I ,
les expressions (3) et (4) s'6crivent respectivement
m
(z) (x, x) =
k = l
(8) (x, Y ) =
k = l
Dans la suite il nous sera utile de nous servir de certaines notions apparte- nant au calcul tensoriel. Dans ce calcul on d6signe les composantes ordinaires Xk (qui se transforment de la m6me mani~re que les coordonn6es, ou, quand il s'agit de coordonn6es curvilignes, de la m~me mani~re que les diff~rentielles des coordonn~es) comme composantes
contravariantes,
et on les distingue d'habitude par des indices sup6rieurs (Xk). Cette derni~re notation sera adopt~e plus loin darts ce travail, notamment dans le dernier Chapitre ; ici il nous parait plus commode de garder la notation Xk.Chaque forme m6trique fair correspondre aux composantes contravariantes d'un vecteur des composantes
covariantes
et inversement. En renvoyant pour le m6canisme g6n6ral audit chapitre nous nous restreignons ici aux formes m6triquesL'intdgrale de Riemann-Liouville et le probl~me de Cauchy. 29 de l'aspect (7). Pour mieux ~lucider les ehoses, nous admettons eependant que les ~k figurant dans (7) aient des valeurs constantes arbitraires, telles que (9) e l > o , ~ < o ( i = 2 , 3 , . . . , m ) et ] ~ 1 ~ . . . ~ [ = I . ( x )
Le groupe de transformations admis sera donc un groupe de Lorentz l~g~rement g~n~ralis~, s ss.voir le groupe de transformations qui laissent invariante la forme mdtrique gdndralis~e.
Nous posons, en ddsignant les composantes covariantes de X par X r176 k (Io) X.~ ~ =--- ~k Xk et X k = ~ [ 1 X ~ o ~ .
Dans le cas particulier lorentzien (6) on a dvidemment ~ [ ~ - ~ k , ce qui fair que les calculs deviennent moins clairs si l'on se restreint au cas particulier.
Dans les notations posdes on peut ~crire le carr6 ou le produit scalaires sous les formes simples
(x ~) (X, X) = ~ X~ X~. ~ (X, Y) = ~ X~ y~o~ = ~ X~o, 1~.
k k
Munifes~ement, route transformation des Xk appartenunt au groupe (g6n6-
7COY.
ralis~) induit m o y e n n a n t (~o) une transformation correspondante des X k .
=
k
donne
(,2 b") i t coy = Z Ei E~. 1 a i k .z~k YPcov 12\ "k }
k
Ces transformations (eontragrSdientes), qui en g~n~ral sont diff~rentes l'une d e l'autre, laissent invariants le carr~ et le produit scalaires, le dernier, bien en- tends, si l'on applique l'une des transformations aux composantes de X et l'autre aux composantes de Y. Inversement, en utilisant une remarque faite tout ~t l'heure on volt facilement que si les ttk a d m e t t e n t une loi de transformation telle que ~ Xk Hk form~ avee des X k arbitraires reste invariant lorsqu'on applique
(t) La d e r n i e r e de ces c o n d i t i o n s n ' e s t p o s s e q u e p o u r des r a i s o n s de c o m m o d i t d
(voir
la note(2) la p a g e 3I et le n ~2Ibis).
(~) P o u r q u e la f o r m e m ~ t r i q u e (7) s o i t i n v a r i a n t e p a r r a p p o r t '~ cette t r a n s f o r m a t i o n il f a u t e t il suffit que l ' o n a i t ~ e
iaikail=~ek' k = l ,
E n p a s s a n t a u x d ~ t e r m i n a n t s c o r r e s p o n d a n t s ,9 I. o , k ~ l . on en tire l aik I ~ T i e i = I I e i , ou
l a i k [ = + ~ . 3
aux X k les transformations du groupe de Lorentz g4n4ralis4, les ]=lk sont les composantes covariantes d'un vecteur Y, H k = Y~.~
Parnfi les exemples les plus simples de composantes contravariantes d'un vec- teur citons les composantes
dxk
d'un d~placement infinitesimal d x . D'autre part il rdsulte de ce que nous venons de dire que les quantit~sOq~/Ox~.
sont les com- posantes covariantes d'un vecteur, g savoir du vecteur g r a d ~ . En effet, la diff&entielle totale0q~
est manifestement invariante par rapport g route transformation des coordonn~es.
Les composantes contravariantes du gradient de ~ sont
e~.~Oq~/Oxk:
grad~~ et g r a d k ~ = % Ox~."
u n peut aussi exprimer cet ~tat de ehoses en disant que les op~rateurs
O/Oxk
sont les composantes covariantes d'un vecteur symbolique, fait dont on verra une cons4quence importante tout g l'heure.Le carr~ et le produit scalaires exprimds par les formules (7), ( 8 ) e t (I I) peuvent ~videmment aussi s'~crire
- X r y r
(I3)
( X , X ) = ~ . k l ( X ~ ~ 2
e t (X,u k k .k
En appliquant cela aux vecteurs aux composantes covariantes respectives
OqD/OXk et O/Oxk,
on volt que les expressions(~4)
et
(~5)
(grad ~, grad
~) = E ~[.~ ~Oxk/
( 0 x~
sont invariantes par rapport aux transformations du groupe de Lorentz g6n6ralis~.
I1 en r6sulte en particulier le fait qui est pour nous d'une importance capiiale que
l'op&ateur des ondes
(2)est invariant par rapport aux transformations du groupe de Lorentz.
Romarque. - - Toutes nos formu]es restent invariantes, m6me si l'on passe d'une forme mdtrique Z,kx~ g une autre d'aspect analogue, dont les coefficients
L'int6grale de Riemann-Liouville et le probl~me de Cauchy. 31
Cette hypoth~se &ant admise, du moins jusqu'?~ nouvel ordre, nous allons montrer qu'on peut choisir
Hm(a)
de mani~re que les relations(:7)
et (:8)I ~ (Iflf(P)) = I~+:f(P)
A I~+2f(P) = I"f(P),
analogues s celles rencontr6es plus haut dans le cas elliptique, aient lieu.(1) L'op6rateur h est d6fini par la formule (I5). D'ailleurs, en ce qui concerne la seconde formule, elle ne sera d6montr~e que sous certaines conditions suppl6- mentaires.
16. Caleul de H~(a). - - Le calcul de
H,~(a)
sera tout analogue au calcul fair dans le chapitre pr6c~dent et m~me plus simple en principe puisque la fonc- tion particuli~ref ( P ) = f ( x ,
x ~ , . . . , x ~ ) = e ~,, moyennant laquelle le calcul sera ex6cut6, appartient ici s la classe de fonctions admise. Nous avons: fei,,~,Q d Q = e~: f e ~ .. . . ~ Q, I - : , =
"~ H . , ( c , ) J 'oQ dD P D ~
0 signifiant l'origine.
viendra (:9)
Si donc on pose Hm(a) 6gal s la derni~re int~grale, il
I a eZt ~ p z~,
I1 reste s calculer
Ha(a).
En posant~ l = - - r c o s h 0 et Q = ( ~ + . . - + ~ ) 8 9
l'int6grale s laquelle on a dgal6 Hm (a) se r~duit s (cf. le n ~ 6)
=
o o o o
sinh ~-2 0. d 0 / e- ~ oo~h o r~-i dr.
0
]!r la formule, facile ?~ v6rifier,
(!) C o m m e a u c a s e l l i p t i q u e , le f a c t e u r H m (a) e s t e s s e n t i e l l e m e n t d ~ t e r m i n ~ p a r ces d e u x c o n d i t i o n s . V o i r la n o t e (1) it l a p . 17 e t la n o t e (t) k la p. 46.
L'int~grale de Riemann.Liouville et le probl~me de Cauchy. 33
sinh p - 1 0 . cosh 1-v-q O. d 0 = _I . _ _ _ _
"o
et la f o r m u l e (5) d u n ~ 6, il en v i e n t
fit--2
( 2 0 ) / / ~ ( ~ ) = ~ ', 9 2 ~ r
N o t o n s que de la f o r m u l e (19) il r6sulte i m m 6 d i a t e m e n t
I " e ~ ~ , - ~ ~ - . . . . ~ ~',, = ( a ; - a ~ . . . a ~ , ) ~ . e ~, ~ , - ~ ~ , - . . . . ~,,,'~,-
e h a q u e fois que l ' e x p r e s s i o n e n t r e p a r e n t h e s e s e t a 1 s o n t positifs, ce qui m o n t r e que la f o r m u l e (17) subsiste p o u r ces f o n c t i o n s . On p o u r r a i t en t i r e r la validit6 de c e t t e f o r m u l e p o u r la classe g6n6rale de nos f o n c t i o n s f ( P ) en d 6 m o n t r a n t que les f o n c t i o n s e n v i s a g 6 e s f o r m e n t , d a n s u n sens facile s pr6ciser, u n s y s t ~ m e c o m p l e t clans c e t t e classe. C e p e n d a n t , n o u s s u i v r o n s ici u n e voie diff6rente.
17. Formule de composition. - - L ~ f o r m u l e f o n d a m e n t a l e (17) 6 r a n t v a l a b l e p o u r la f o n c t i o n ~,, elle le s e r a e n c o r e p o u r u n e f o n c t i o n q u e l c o n q u e
f(P)
r e m - p l i s s a n t n o s c o n d i t i o n s g6n6rales. E n effet, il v i e n t p a r un calcul calqu6 s u r celui op6r6 d a n s la f o r m u l e (3) d u n ~ 1I f a--m I f
(21)
P ( I ~ f ( P ) ) = H s ) rpQ d Q . ~ ( ~ ) f(O)r~-o"dO
D P DQ
H,~ [a) H,, (fl) f(8) pQ Q o
D P D P 0
/)P0 6 r a n t le d o m a i n e c o m m u n au cSne r 6 t r o g r a d e a u s o m m e t P e t au c6ne d i r e c t au s o m m e t 0. L e f a i r est q u ' u n p o i n t 8 6 r a n t situ6 d a n s le c6ne r ~ t r o g r a d e au s o m m e t Q, ce d e r n i e r p o i n t s e r a situ~ d a n s le c6ne d i r e c t a u s o m m e t 8 et
vice versa
(fig. I). L a derni~re i n t 6 g r a l e se t r a n s f o r m e p a r u n e t r a n s l a t i o n et u n e h o m o t h 6 t i e en l ' e x p r e s s i o n.,+ ~-~. ~-m .~-., = *~+~-~ B,. (~,
'Po' f r * T 'TO d T "Po fl),
DO1
5 - - 4 8 1 7 3 . A c t a mathematica. 81. I m p r i m 6 le 2 a v r i l 1948.
P
Fig. L Figure schdmatique se rdf~rant au cas de deux dimensions.
0 d ~ s i g n a n t l ' o r i g i n e , I u n c e r t a i n p o i n t i n t d r i e u r a u cSne d i r e c t a p p a r t e n a n t r o r i g i n e et a y a n t la d i s t a n c e l o r e n t z i e n n e I de l ' o r i g i n e . E n a p p l i q u a n t ces for- m u l e s s la f o n e t i o n p a r t i c u l i ~ r e
f(P)~-e
~-~, on t r o u v e u n e s e e o n d e g ~ n ~ r a l i s a t i o n de l ' i n t ~ g r a l e d ' E u l e r de p r e m i e r e esp~eeH , (a) H , (fl) (,)
(22) B .
(.,
= H . (. +E n r a i s o n de c e t t e r e l a t i o n , la f o r m u l e f o n d a m e n t a l e (x7) se t r o u v e ~tablie.
II. F o r m u l e d e G r e e n .
18. T h d o r ~ m e de G a u s s . - - D a n s la suite, n o u s f e r o n s u n g r a n d u s a g e de la f o r m u l e de G r e e n r e l a t i v e s l ' o p d r a t e u r des ondes. Elle se d~duit, c o m m e r o u t e a u t r e f o r m u l e a n a l o g u e , d u t h ~ o r ~ m e de G a u s s , q u i d o n n e la t r a n s f o r m a - t i o n d ' u n e e e r t a i n e i n t d g r a l e de v o l u m e d a n s u n e i n t ~ g r a l e de s u r f a c e .
C o n s i d d r o n s d a n s u n espaee (affine) s m d i m e n s i o n s u n d o m a i n e D limit~
p a r u n e o u p l u s i e u r s s u r f a c e s f e r r u l e s T (s m - i d i m e n s i o n s ) q u e n o u s s u p p o - sons assez r~guli~res. O n a a l o r s
fOPk
D T
(1) La fonction hyperbolique B m(~,~) est ~videmment bien plus rapproch~e de la fonction eul~rienne B ( g , ~ ) q u e la fonction elliptique correspondante. La formule explicite montre que B m (a,~) est ind~pendant du point d~sign~ par I pourvu que la distance lorentzienne de ce point l'origine soit = I. Une v6rification directe de ce fair s'ensuit facilement par une transformation de Lorentz.
L'int~grale de Riemann-Liouville et le probl~me de Cauchy. 35 le signe & a n t
posit@
aux points de T off les droites parall~les s l'axe des ~., suivant lesquelles on execute l'int~gration par r a p p o r t b~ ~k, s o r t e n t du domaine D etndgatif
aux points off ces droites e n t r e n t darts le domaine.L a fronti~re T ~tant rapport~e s un syst~me (ou plusieurs s y s t ~ m e s ) d e param~tres 2~, 2 ~ , . . . , 2~_~, on a l'identit~ connue
9 ~ ~ . 9 ~
dffk+~, d ~ l = I J k l . d Z , d L . dZm-1,
(24) Ida, 9 9 9 d S - x oh l'on attribue t o u j o u r s sont les jacobiens avec des
au p r o d u i t des signes altern~s d (~, ~ . . . . , f . ) J1 - - d ()~,, Jt~ . . . . , Zm-~)'
d;t~ une valeur positive et off les Jk
(25) J* = - d(Z,, Z , , . . . , Z , _ l ) '
J ~ = ( - -
d (Z. Z2 . . . Z~-l)
T o u t r ~ a r r a n g e m e n t des 2~ c o n d u i s a n t s une p e r m u t a t i o n paire conserve les Jk, t a n d i s que t o u t r ~ a r r a n g e m e n t conduisant s une p e r m u t a t i o n impaire change les signes de tous. Nous allons m o n t r e r t o u t s l'heure que l'ordre des ~ p e u t 8tre choisi de mani~re qu'en a j o u t a n t les relations (23) , le r & u l t a t s'exprime par la formule simple, due en principe s Gauss,(1)
(26) ~ o ~ a ~ , d ~ , . . . a~= = . P ~ J ~ a z , az~ . . . dZ=_,.
T 1
A v a n t d'aller s la d~monstration, observons que l'expression figurant dans l'int~grale de surface peut aussi se m e t t r e sous la forme d ' u n d ~ t e r m i n a n t
(27) ~ Pk Jk =
1
P~ . . . P~ . . . P m
0 )4 0 ~ 0 ~4
. . . . . . . . ~
(i I, 2, . . . , m - I).
(t) Voir
aussi POINCARI~, Acta mathematica 9 (1887) et GOURSAT, Journal de mathdmatiqnes (6) 4 (1908).]~videmment, cette identit6 subsiste si l'on y remplace les P~ par m quantit6s queleonques.
Notons encore que, surface, on a
pour un d6placement (infinit6simal) (d~k) t a n g e n t g la
~n
J , , = o .
1
En effet, il e n est. ainsi pour les m - x d6placements lin6airement ind~pendants
~ d~i , puisque dans le d~terminant eorrespondant deux colonnes deviennent proportionnelles l'une ~ l'autre.
Cela ~tant, un point de la fronti~re T e s t dit point r6gulier par rapport ~ la repr6sentation param~trique (~i), si les Jk ne s'annulent pas simultan6ment en ce point. En un tel point la fronti~re T admet un plan t a n g e n t (~, m - - I di- mensions) d~termin~ et on aura Y, Jk$~k ~ o pour t o u t d6placement infinit6simal ($.~k) qui n'est pas situ6 dans ce plan tangent. Le signe de l'expression Z J k $ ~ : sera diff6rent suivant que le d6placement ($~k) est situ6 d'un c6t6 ou de l'autre du plan tangent, c'est-s suivant que ($~k) m~ne de la fronti~re s l'ext6rieur ou s l'int6rieur du domaine. Cela pos6, voici la r~gle d6finitive pour l'ordre des ).i.
Les ;~ sont ~ num6roter de mani~re que l'expression Y, Jkd~k, et d~s lors le d6terminant qui lui est 6gal, soient positifs dans les points r~guliers de la fron- fibre T pour tout(~) d6placement infinit6simal ($~k) qui d'un tel point m~ne s l'extdrieur du domaine D.
Cette r~gle de signe se v6rifie de la mani~re suivante. Dans la condition pos6e, on a J~ > o en tout point r6gulier qui est point de sortie d'une droite parallb.le ~, l'axe des ~ et Jk < o en t o u t point r6gulier qui est point d'entr~e d'une telle droite. En effet, un d6placement dont routes les composantes sont nulles, sauf ~ , m~ne s l'ext~rieur de D, si l'on a soin de prendre ~ positif ou n6gatif suivant qu'il s'agit d'un point de sortie ou d'entr~e respectivement.
La condition (de num6rotage) ~tant remplie, on aura donc dans les deux cas J ~ $ ~ > o , d'ofi notre 6nonc6 s'ensuit. D~s lors, la formule ( 2 4 ) p e u t s'6crire sous la forme pr6cis6e
(29) +_ [ d r d ~/r d ~ k § d ~ [ = Jk" ds d s dL~-~,
(t) D'apr~s ce qu'on vient de voir, il suffit pour cela qu'il en soit ainsi pour unseul d6place ment menant /~ l'ext6rieur.
L'int~grale de Riemann-Liouville et le probl~me de Cauchy. 37 le signe positif se r6f~rant encore aux points de sortie et le signe n~gatif aux points d'entr6e. La derni~re formule rend imm~diat le passage de (23) ~ (26).
P a r la loi de multiplication des d~terminants fonctionnels il est clair que le second membre de la formule (25) est invariant par rapport g u n changement de param~tres, si l'on tient aussi compte de la r~gle de slgne. Rien n'emp~che en outre que diff6rentes portions de la fronti~re T soient rep6r~es par cliff, rents syst~mes de param~tres. Ces portions (en nombre fini) peuvent empi~ter les unes sur les autres ou peuvent ~tre s~par6es par des vari~t6s s m - - 2 dimensions, qui sont suppos6es assez r~guli~res. Dans un ordre d'id~es plus g~n~ral, on pent admettre un nombre fini de vari~t~s exceptionnelles s diff~rentes dimensions p, o ~ p <= m - - 2. Tel sera forc6ment le cas si la fronti~re elle-m~me admet des points exceptioanels, sans plan t a n g e n t d6termin6, points anguleux isol6s ou ar~tes ~ diff~rentes dimensions etc. La derni~re circonstance se pr~sente p. ex.
chez les domaines extr~mement simples, limitgs par des plans parall~les aux plans de coordonn~es. Nos domaines d'int~grations usuels, les domaines D P S ' qu'on rencontrera dans le num~ro suivant, pr~sentent deux esp~ces de singu- larit~s, u~ point anguleux isol~, ~ savoir le sommet du c&ne D P, et une ar~te s m - - 2 dimensions, l'intersection de la nappe C ~ avec une surface S.
1 9 . D o m a i n e d ' i n t ~ g r a t i o n . - - Darts les applications qui vont suivre, le domaine g~ngral D sera remplac~ par un domaine de caract~re tr~s particulier, savoir le domaine born~ D P (fig. 2) limit6 par la nappe C p d'un c&ne r6trograde D P eL une certaine surface (ouverte) S, qui devra 6tre assez r6gnli~re pour que les d6rivations qui interviendront puissent ~tre ex~cut~es. Sanf avis contraire, nous admettrons aussi que S air, suivant la terminologie de M. Hadamard(1), une orientation d'espace. Cela veut dire que ~ ~k d ~ < o pour t o u t d6placement in- finitesimal (d~) le long de la surface. L'exemple le plus simple est fourni par les plans ~1 = const. G~om~triquement, une teUe surface p e n t aussi ~tre caract6ris~e par la propri~t~ que son plan t a n g e n t en un point arbitraire Q n'a aucun point en commun avec le c6ne de lumi~re qui a son sommet en Q (exceptS, bien entendu, le point Q lui-m~me). La ~ormale(~) (lorentzienne) d'une surface "s orientation d'espace est toujours une droite de temps (of. n ~ 14); propri6t~ qui d'ailleurs pourrait 6galement servir de d6finition. En effet, s'il n'en ~tait pas ainsi, la
(1) HADAMARD l , p. 53.
(~) Cette e x p r e s s i o n remplace, d a n s n o t r e t e r m i n o l o g i e , celle de ]a conormale chez M. D'ADH~- MAR e t de la. transversale chez M. HADAMARD ], p. 87.
Fig. 2.
f o r m e l o r e n t z i e n n e p o u r r a i t ~tre t r a n s f o r m 6 e d a n s une f o r m e qui ne c o n t i e n t que des carr6s n6gatifs. On n ' a u r a i t qu's choisir c o m m e nouvelles d i r e c t i o n s d'axes m - - I d i r e c t i o n s o r t h o g o n a l e s dans le plan t a n g e n t et la d i r e c t i o n de la normale.
N o u s d6signons p a r S ~ la p o r t i o n de la surface S qui est int~,rieure au c6ne D p e t p a r C P la p o r t i o n born6e de la n a p p e C r d~coup6e p a r la surface S.
N o t o n s e n c o r e le fair ~vident que r o u t e d r o i t e de t e m p s ou de lumi~re ne coupe une surface telle que S q u ' e n un seul point.
20. F o r m u l e de Green pr61iminaire. - - D a n s les a p p l i c a t i o n s auxquelles nous venons de f a i r e allusion, les f o n c t i o n s Pk s'~vanouissent sur la p o r t i o n de n a p p e
cP; la f o r m u l e (26) se r 6 d u i r a donc s
(30) ~ - ~ , . d ~, d ~ . . . g ~ = P k J k " d X, . . . d X m - 1 .
D P S P
R e p r e n o n s m a i n t e n a n t l'ordre d'id6es du n ~ 14. P o s o n s (formule (I5))
m 0u
1 k
et t r a n s f o r m o n s l'int6grale de volume
- v A u) d Q (1)
dans une i n t 6 g r a l e de surface. I1 suffit de m o n t r e r que la f o n c t i o n ~ i n t 6 g r e r p e u t se m e t t r e sous la f o r m e d ' u n e divergence. Or on a
(1) V o i r la note (t) a la page 3 I.
et
L'int~grale de Riemann-Liouville et le probl~me de Cauchy.
02v O~u_ 0 ( Ov --v--Ou)
1
39
D a n s les a p p l i c a t i o n s que nous avons en r u e , v s ' a n n u l e avee ses dt~riv~es p r e m i e r e s sur la n a p p e CP; il v i e n t done, d'apr~s la f o r m u l e (30)
u W ~ - - v - d k d ~ , ~ d L d2,m-1
21. Notions g~om~triques relatives k l'espaee lorentzien. R e m a r q u e . - - Au m o y e n de e e r t a i n s ~l~ments g~om~triques on p e u t simplifier e o n s i d ~ r a b l e m e n t e e t t e formule. M e n o n s , en un p o i n t Q de la p o r t i o n de surfaee S P l a n o r m a l e , qui, e o m m e on a vu plus h a u t (n ~ 19), est u n e d r o i t e de temps. Soit n u n v e e t e u r q u e l e o n q u e port~ p a r e e t t e normale. N o u s disons que les e o m p o s a n t e s c o v a r i a n t e s coy de n sont p r o p o r t i o n n e U e s a u x quantit~s Jk. E n effet, ees e o m p o s a n t e s sont, nk
un f a e t e u r de p r o p o r t i o n n a l i t 6 pros, d~termin~es p a r l'~quation
i n
(n, d x ) = ~_~
n~:~
= o ,1
valable p o u r t o u t d 6 p l a e e m e n t d x le long de la surface, ~quation qui, en r a i s o n de la f o r m u l e (28), est r e m p l i e p a r les quantit~s Jk. On a done nr176 ~" Jk. Des deux d i r e c t i o n s admissibles nous choisissons eelle de la n o r m a l e
intOrieure:
(n, d ~) = Y~ nk d ~k > o p o u r t o u t d 6 p l a e e m e n t infinit6simal d ~ qui d u p o i n t Q m~ne l ' i n t ~ r i e u r de D e . C o m m e on a
(voir
plus haut) ~, Jk d ~ > o p o u r t o u t d~plaee- m e n t infinit6simal qui mgne ~t l ' e x t 6 r i e u r , le f a e t e u r de p r o p o r t i o n n a l i t ~ en ques- t i o n sera n~gatif. Si l'on exige e n c o r e que la n o r m a l e soit u n i t a i r e , e'est-s que (rl, n) = ~t[.' (~o,,,~
% ) = i, il v i e n t en d~finitivec o v
(33) nk = - - J k " j - 1
05
(34) J = ~ ~k d
et p o u r les c o m p o s a n t e s c o n t r a v a r i a n t e s (formule (Io) du n ~ 14)
- 1
(35) nk = - - ~k Jk" J-~.(~)
Remarquons que n 6rant un vecteur de temps, l'expression dont on a form6 la racine carrie est certainement positive.
En restant dans le m~me ordre d'id~es, ajoutons que si la surface S est donn6e par l'6quation 8(~1, ~ , . . . , ~m)----o, avee 0S/0~1 > o(~), les composantes covariantes de la normale intdrieure seront ~videmment donn~es par les formules (36)
off (37)
0 S
~cov = _ _ . /~T--1,
k 0 ~k
iosx l
N = ~1 e~71t~k] ] : ( g r a d
l S, grad S)",
et les eomposantes contravariantes par les formules O S N - L
(38) V/k = ~'kl ~ k "
Nous retournons maintenant s la formule (32).)Tous posons par d6finition (39) J " d ~ l d ~ . . . d~m-1 = d S
---- 6Hment de surface lorentzien(3) autour du point ~1, ~ , . . . , ~m.
F d6signant une fonction quelconque, nous introduisons la notation
~ O F d F
(40) - - n~ :
0 ~k d n
1
= ddriv6e de Ie dans la direction et le sens de la normale int&ieure.(~)
(1) L a v a l e u r de la c o m p o s a n t e n t e t le coefficient E~ -1 6 t a n t p o s i t i f s t o u s l e s d e u x , on a f o r c 6 m e n t J1 < o. Ceci p e u t , p o u r la s u r f a c e S, r e m p l a c e r la r e g l e de s i g n e a s s e z c o m p l i q u 6 e q u ' o n a d o n n 6 e p o u r l e s J k a u no 18.
(2) L e s OS/O~k 6 t a n t les e o m p o s a n t e s c o v a r i a n t e s d ' u n v e e t e u r de t e m p s , 0S/0~1 n e p e a t s ' a n n u l e r et d~s ]ors, v a r i a n t d ' u n e m a n i c r e c o n t i n u e , n e p e u t c h a n g e r de s i g n e . On p o u r r a d o n c s ' a r r a n g e r de m a n i ~ r e q u e 0S/0~1 s o i t p o s i t i f .
(s) Voir le no 21 his et, e n p a r t i c u l i e r , l e s f o r m u l e s (53) e t (54)-
(4) Voi," la Remarque q u i s u i t .
L'int~grale de Riemann-Liouville et le probl~me de Cauchy.
Ces n o t a t i o n s pos~es et en r a i s o n de la f o r m u l e (35), on p e u t ~crire
y.=_OF & . d Z l d 4 . .. = , OF. J d 4 d 4
'OF d F d s
et d~s lors la f o r m u l e (32) du n ~ 20 se r~duit
(4I)
f ( , , A v - - v A u ) a O = - - . ] \ f [ av d n - - d n j d S " vaU]
1) P S P
41
R e m a r q u e . - - D ' u n e m a n i ~ r e a n a l o g u e b~ ce q u ' o n v i e n t de f a i r e p o u r le v e c t e u r u n i t a i r e n, on p e u t d~finir la <<d~riv~e>> de la f o n c t i o n /;(~1, ~-, . . . . , ~m) darts t o u t e d i r e c t i o n n o n i s o t r o p e et de sens d~termin6. L a d i r e c t i o n et le sens grant repr6sent~s par le v e c t e u r u n i t a i r e l, aux e o m p o s a n t e s c o n t r a v a r i a n t e s lk, nous posons
(42)
ddlF __ ~ ~ 0
F.4 = (grad F, I).1
N o u s a!lons d ~ m o n t r e r que cet~e expression, i n t r o d u i t e d ' u n e mani~re t o u t s f a i t f o r m e l l e , peut, t o u t c o m m e darts l'espace euclidien, s ' i n t e r p r 6 t e r c o m m e une d~riv~e dans le sens p r o p r e du mot.
Que le v e c t e u r ! soit u n i t a i r e ou n o n ou m~me isotrope, on a t o u j o u r s
, , = OF l
(43) lim~o F(~, -~ ell . . . . , ~ T~el~) - - F ( ~ , , . . . , ~m) ~ k .
E n i n t r o d u i s a n t le v e c t e u r g aux e o m p o s a n t e s gk, ceci p e u t aussi s'~erire
(44) lira F ( ~ + el)
-- F(~) ~ O.E l
L e v e c t e u r I~1" 1 est un v e e t e u r infinitgsimal d l qui a la d i r e c t i o n e t le sens de 1.(1) N o u s posons I d l I = l ( d l , dl)l~. Si 1 est
unitaire
il v i e n t I d l l = I~l. L a r e l a t i o n ci-dessus p e u t done aussi s'gcrire(45) lira F ( ~ +__ d l ) - / 7 ' ( ~ ) Z 0 ~ al O +_ I d l [ - - lk.
(~) Ces propri6t6s sont caract~ristiques et d I pourrait aussi ~tre introduit sans l'interm~diaire de la quantit~ auxiliaire e comme un vecteur ayant la direction et le sens de l e t tendant vers z~ro.
6--48173.
Acta mathematica.
81. Imprim6 le 2 avril 1948.I1 est done n a t u r e l de e o n s i d 6 r e r le second m e m b r e de (42) e o m m e la ddrivde de F dans la direction et le sens de 1.
N o t r e f o r m u l e de d 6 r i v a t i o n (42) d o n n e en part'iculier d~k/dl---- lk; on a done aussi, c o m m e il fallait s'y a t t e n d r e ,
(46) -d F - ~ ~ O F d~k 9 - - .
dl O ~k dl
1
Consid6rons ~ t i t r e d ' e x e m p l e la f o n c t i o n
F = tteQ = r ~ = ~ rk (~k - Xk) ~.
1
L e g r a d i e n t de Rpq ~ R p a r r a p p o r t au p o i n t Q a les c o m p o s a n t e s c o v a r i a n t e s
(47) OR = 2 rk (gk -- Xk).
0~k On a u r a donc
i d R
( 4 8 ) : d Z - - ~k (~, - - xk) ~, = (rpQ, l)
1
qui n ' e s t que le p r o d u i t scalaire du v e c t e u r rpQ allant de P s Q et du v e c t e u r I.
21 bi~. Mesure des 616ments d'une vari6t6 de dimension arbitraire. - - Soient X, Y , . . . p vecteurs, off p < m. N o u s d~finissons le volume V du parall616pip6de c o n s t r u i t sur ees veeteurs p a r la f o r m u l e
(49) V = I G [ 8 9 off G = ( u .(1)
Cette d~finition se justifie p a r les fairs suivants. I ~ . L ' e x p r e s s i o n de V e s t i n d ~ p e n d a n t e de l ' o r d r e des v e c t e u r s ; 2 ~ elle est i n v a r i a n t e p a r r o u t e trans- f o r m a t i o n de coordonndes (il en d t a n t ainsi des p r o d u i t s scalaires); 3 ~ elle est e n c o r e i n v a r i a n t e si, en g a r d a n t X, on r e m p l a c e Y p a r Y + ~X, Z par Z + / ~ X +
+ v Y . . . . ; 4 ~ . elle se m u l t i p l i e p a r I ~ # . . . [ si l'on multiplie X, Y . . . . p a r ~, # , . . .
Q) :Nous f a i s o n s ici a b s t r a c t i o n du fait que, d a n s le cas p a r t i c u l i e r _p ~ m , off le v o l u m e p e u t a u s s i se ddfinir p a r le d d t e r m i n a n t form6 des c o m p o s a n t e s des v e c t e u r s considdrds (cas spdcial de la f o r m u l e (5I)), on p e u t s a n s ambigu~td a t t r i b u e r au v o l u m e le s i g n e + ou - - , ce signe ddpen- d a n t de l ' o r d r e des v e c t e u r s .
L'intdgrale de Riemann-Liouville et le probl~me de Cauchy. 43 respectivement; 5 ~ enfin elle se rdduit au p r o d u i t des <,longueurs>> des arStes, I(X, X)]~, ](Y. u 1 8 9 dans le cas off les vecteurs donnds sont o r t h o g o n a u x l'un s l'autre ((X, u . . . o). A j o u t o n s que si l'on peut r d p a r t i r les vecteurs donn6s en deux systbmes totalement orthogonaux X', u . . . et X " , u . . . de p' et p" vecteurs respectivement (p' + p " - ~ p), c'est-g-dire tels que chaque vecteur du premier systbme soit o r t h o g o n a l s chaque vecteur du second (i), on aura, dans des
L'intdgrale de Riemann-Liouville et le probl~me de Cauchy. 43 respectivement; 5 ~ enfin elle se rdduit au p r o d u i t des <,longueurs>> des arStes, I(X, X)]~, ](Y. u 1 8 9 dans le cas off les vecteurs donnds sont o r t h o g o n a u x l'un s l'autre ((X, u . . . o). A j o u t o n s que si l'on peut r d p a r t i r les vecteurs donn6s en deux systbmes totalement orthogonaux X', u . . . et X " , u . . . de p' et p" vecteurs respectivement (p' + p " - ~ p), c'est-g-dire tels que chaque vecteur du premier systbme soit o r t h o g o n a l s chaque vecteur du second (i), on aura, dans des