claire. Soit P : E ° -> (Cat) un objet de S c i ( E ) et soit u : E' -> E un foncteur. Soit $P la E-catégorie scindée associée à P, soit Q = $PxcE' la catégorie qui s'en déduit par le changement de base u et soit P' = Pu la restriction de P à E\ II est clair que Q, avec son scindage, estcano-niquement isomorphe à $'P', où $' est l'analogue du foncteur $, relatif à E'.
Remarque 5.2. Soit P : E -> (Cat) un objet de Se/ ( E ) , nous allons décrire, d'après l , 7 o , la catégorie L i m f Ï P / E ) .
- un objet est essentiellement un couple formé d'une famille
^S^SeObCE) XS601^1^5))' et d t u n e ramille ( u f ) f ç p l ( E ) / f : T - + s» Ur6lsom(xy,xg ), assujetti a vérifier, pour tout couple U -» T -» S de flèches composables de E.
(5.11) Ufg = ufê.u^ .
Une section cartésienne définie comme ci dessus sera notée ( x , u ) . Un morphisme de sections cartésiennes :
m: (y,v) -" ( x , u )
est essentiellement une famille ("^c)^^^^/?^, m^Hoir^yçîXç), telle que pour toute flèche f : T ~'S de E , on ait
(5-12) "^S ^f = "f^T °
Les morphismes se composent de manière évidente et se transportent de manière non moins évidente par changement de base E ou morphisme de S c i ( E ) .
Sachant que la catégorie l i p P a pour objets la limite projective des ensembles d'objets des P(S), S 60b(E), il est clair qu'un objet de
l i m P est une famille (xç^çobfE^S6^^^^' assujettie à vérifier xg == x»p , pour toute flèche f : T-^S de E. Un t e l o b j e t d é f i n i t d o n c une section cartésienne de L ^ n f ^ P / E ^ où les u^ sont les morphismes
identi-ques des x»p. En fait, on a un foncteur
(5.13) ^P : lifnP - L i y ^ P / E ) , dont l'action sur les flèches est évidente.
Lemme 5.3. Pour tout objet P de Sci(E), le foncteur \pP de (5.13) est pleinement fidèle et injectif sur les objets. Pour qu'une section cartésienne s de $P appartienne à l'image de $P, il faut et il suffit que,
pour toute flèche f : T - S de E, s(f) soit un morphisme de transport d e $ P , cf. (5.9).
Evidemment.
Remarque 5.4. Ne pas croire que (5.13) est une équivalence de catégories. Par exemple, soit G : £° -^ (Ab) un foncteur contravariant défini sur E et à valeurs dans la catégorie des groupes a bé liens. Consi-dérant un groupe abélien comme une catégorie dont l'unique objet est l'élément neutre du groupe et dont les morphismes sont les éléments du groupe, on déduit de G un foncteur G' : E° -» (Cat). La limite projecti-ve de G' est la catégorie associée au groupe Ij/nG et n'a donc qu'un seul objet. Posons L = L^nf^G'/E). Puisque, pour tout SeOb(E), la caté-gorie G'(S) n'a qu'un seul objet, un objet de L est essentiellement une famille (u^ç?^, f : T^S, u^eG(T), vérifiant u^ = u^u . De plus, tout objet de L isomorphe au précédent est de la forme
^f = nig .u^.(m'p) , où ("^S^SeObCE) ? mg6G(S), est une famille.
D'après les formules connues ( [CRj ) , on en déduit que l'ensemble des classes à isomorphisme près d'objets de L est l'ensemble sous-jacent au groupe /im^-G, valeur en G du premier foncteur dérivé du foncteur lim.
Par suite, si (5.13) est une équivalence pour tout P, le foncteur lim est exact à droite.
Remarque 5.5. Si u : P -> Q est un morphisme de S c i ( E ) , et si, pour tout SeOb(E), le foncteur u(S) : P(S) - Q(S) est fidèle (resp. plei-nement fidèle) (resp. un isomorphisme), le foncteur limu : limP -> limQ est fidèle (resp. pleinement fidèle) (resp. un isomorphisme). Mais, si, pour tout SeOb(E), le foncteur u(S) est une équivalence, le foncteur limu r^est pas, en général, une équivalence, bien que le foncteur évident L i m ( ^ P / E ) -> Lmif$Q/E^ soit une équivalence puisque le foncteur
$u : $P ^ $ Q est une E-équi valence, SGA VI 4. On construit aisé-ment un contre-exemple en prenant pour E la catégorie . <- . -». , pour P une catégorie scindée équivalente à E telle que lim P = 0 et pour m la projection de $ P.
5 " b) Construction du système projectif ioF : E° -> (Cat) associé à une E-catégorie fibre e Cp: F -> E.
Pour éviter quelques vérifications de fonctorialité, il faut être un peu pédant. Pour toute catégorie E, on a un foncteur
(5.14) E/ : E - (Cat)/^
défini de la manière suivante. A tout SeOb(E) on associe l'objet de (Cat)/je
(5.15) E/s - E, (x:X-S)->X,
c'est à dire le foncteur source de (1.29). On notera que ce foncteur est fibrant (et même discret, 6.1) et que tous les morphismes de E / o sont E-cartésiens. A toute flèche f : T ""> S de E, on associe une flèche de ( C a t ) / p , autrement dit un triangle commutât if
E y .
(5.16) ST \ / sg cf. (1.30)
où E / r est défini par son action sur les flèches : (5.17) E / f ( ( x , y ) ) = ( f x , y ) , où V ^ U ^ T est une flèche de Ey^,
Par ailleurs, pour tout couple (U^Y) de E-catégories, on a défini, (cf.(1.23)), une catégorie Hom^/ ^(U,y) qui est la sous-catégorie pleine de H o m p / (UfV) dont les objets sont les E-foncteurs qui transforment tout morphisme de U en un morphisme E-c artésien de V.. Il est facile de voir, par exemple à partir du sorite de' H o m e / fU,V} développé dans SGA VI 3, que Home/ ^(U,y) est fonctorielen V sil'on n'admetque les E-foncteurs cartésiens et contrafonctoriel en U, mais cette fois on peut admettre tous les E-foncteurs, cartésiens ou non. D'où, pour toute E-catégorie
<y : F ~^ E, un foncteur
(5..18) ïF : E ° - (Cat) , obtenu en composant l'opposé de E/ et le foncteur
(Cat)/ç - (Cat),U ^>Hom^/ ;(U,F).
Pour tout S60b(E), on a
(5.19) ÏF(S) = Hom^/ - ( E / ^ F ) = Hom^(E/^F) - Lmi (F^/(E/^
où l'on a posé F5 == p X ^ f E / g ) , En effet, tous les morphismes de E/ç sont E-cartésiens.
Comme il vient d'être dit, cette construction est fonctorielle en F, du moins si l'on n'admet que les E-foncteurs cartésiens; autrement dit, on a défini un foncteur :
(5.20) ï : F i b ( E ) - Sci(E) .
^ " c). Propriétés des constructions précédentes.
Nous allons, pour toute catégorie fiLrèe F, construire un E-foncteur cartésien :
(5.21) vF : $gF - F ,
.ù ï et $ sont les foncteurs définis respectivement par (5.20) et (5.3).
Nous monterons que vF est une E-équivalence 5.6., et que le couple (SôF, vF) définit, en F, un coadjoint du foncteur $, 5.9. Ce qui prouvera que vF estfonctoriel en F. Si le foncteur (p: F -> E n'est plus supposé fibrant, la construction de ïF et de vF garde un sens mais ne possède plus les mêmes propriétés.
Pour tout SeOb(E), on a un foncteur (5.22) vs : gF(S) - F
(x ^/s - F ) -> x(id^) ,
que l'on appelle TT foncteur valeur en S n et qui applique ^F(S) dans la catégorie fibre Fg de F en S. Nous allons construire vF de telle sorte que, pour tout S60b(E), modulo l'identification de ^F(S) avec la fibre de $tôF en S, le foncteur vF induise sur les fibres en S le foncteur Vo.
Nous connaissons donc l'action de vF sur les objets et sur les flèches qui se projettent sur une flèche identique de E.
Soit /^ : (T,y) -> (S,x) une flèche de $^F se projettant sur une flè-che f : T -* S de E. Par définition de $, x et y sont des E^foncteurs car-tésiens
(5.23) x : E / g - F et y : E/^ - F,
et IJL est déterminé par un morphisme de §iF(T), u : y -»x , c'est à dire un E-morphisme de foncteurs
(5.24) u : y - xf = x.E/^ .
On a ainsi deux flèches composables de F x(idg,f) u(id^)
(5.25) x(idg) <————x(f) = x1^) <———— y(id^) qui se projettent sur
f id^p S <———— T <__Ï— T
car x est un E-foncteuret u e s t u n E-morphisme. Par définition, le composé des flèches (5.25) sera la valeur en ^ du foncteur vF : $^F -» F. Il est clair, par construction, que vF est un E-foncteur cartésien et q u ' i l induit sur les fibres en SeOb(E) le foncteur valeur en S de (5.22).
Proposition 5.6. Pour tout foncteur fibrant Cp : F -> E, le foncteur vF : $XF -^ F de (5.21)estune E-équivalence de catégories. De plus, il est surjectif sur les objets.
D'après SGA VI 4.3. et SGA VI 6.10.., pour montrer que vF est une E-équivalence, il suffit de prouver que, pour tout SeOb(E), il induit une équivalence de catégories entre les fibres en S. En effet, vF est évidem-ment cartésien. La proposition résultera donc du lemme suivant :
Lemme 5.7. Pour tout foncteur (p : F -> E et tout objet final e de E, le foncteur valeur en e :
(5.26) Lyi(F/E) - F^ , s -> s(e),
où Fç désigne la catégorie fibre de F en e, est pleinement fidèle. Si îp est fibrant v^ est u n e équivalence de catégories; il est de plus surjectif sur les objets.
Pour démontrer la première partie du lemme, utilisons une construc-tion qui sera reprise dans 7.a). Soit (p: F-» E un foncteur et soient s et t deux sections cartésiennes de (p . Il existe un foncteur
(5.27) Hom(s,r) : E° - fEns}
défini comme suit. Pour tout SeOb(E), on pose (5.28) Hom(s,t)(S) = Hom§(s (S), t(S) )
et, pour tout flèche f : T-^S de E et tout uÇHom(s,t)(S), on pose H o m ( s , t ) ( f ) (u) = v , o ù v : s ( T ) -" t(T) est la flèche de F caractérisée par la commutativité du diagramme
s(S) < s(f) s(T)
u 1 i v et par Cp(v) = id^.
t(S) ^_____ t(T) t(t)
L'existence et l'unicité de v résultent du fait que t(f) est E-cartésien.
Pour tout ScOb(E), on a une application
(5o29) Hom(s,t) - Hom(s,t) (S) , u ^> u(S),
et, par définition d'un morphisme de foncteurs, les applications (5.29) définissent une bijec+ion
(530) Hom(s,t) - lim Hom(s,t) «
D'où la première partie du le m me, puisque nous y supposons que e est un objet final de Eo II reste à prouver que si le foncteur y est f i -brant le foncteur v^ est surjectif sur les objets. Soit donc xeOb(Fç), Pour tout S60b(E), soit s : S -> e le morphisme final. Choisissons un morphis-me cartésien de but e se projettant sur s et notons-le p(s) : r(S) -> x.
Pour tout morphisme f : T-" S de E, on a sf = t, où s et t sont les morphismes finaux. Il existe une flèche r(f) : r(T) -> r(S), caractérisée par Cp(r(f)) = f et p ( s ) r ( f ) = p(t). En effet, p(s) est cartésien. De plus,,r(f) est cartésien, cf.. 1.2. (i bis); En vertu des propriétés élémentaires des morphismes cartésiens, il est clair que r est une section cartésienne de Cp. De plus, si l'on a choisi p(idç) égal à id^, on a r(s) = p(s) pour tout morphisme final s e t r ( e ) = x.
C.Q.F.D.
On en déduit aisément le lemme suivant
Lemme 5.8. Soit (jp : F ~* E un foncteur et soit SeOb(E) .
(i) Pour tout couple (r.,s) d'objets de ^F(S), Le.. de E-foncteurs cartésiens r, s : E / g ^ F, l'application
Hom(r,s) -> Homg(r(idg), s(idg)), m ^> m(ido),
est bijective.. De plus, si, pour tout objet f : T -> S de E , ç on a
r(f) = s(f), où / b '
(5.31) f = (idg.f) : f - idg
est, dans E / g , le morphisme final de source f, alors r = s.
(ii) Supposons de plus que le foncteur (p soit fibrant. Soit x^Ob(Fo) et soit, pour tout objet f : T -> S de E / ç , un morphisme E-cartésien de F, d é b u t x et de projection f , noté p ( f ) . Si p(idg) = id^, il existe un objet r de ^F(S) caractérisé par r(f) = p ( f ) pour tout f€Ob(E/o), On a
r(idg) = x.