Formalisme objets/régions selon Clarkson et Shor [CS89] 83

Généralement en géométrie algorithmique beaucoup de problèmes peuvent se formuler abstraitement à l'aide d'objets, de régions et de conitsentre les objets et les régions.

 Les objets sont des éléments d'un universO et constituent les données du problème. Dans le cas de l'enveloppe convexe d'objets convexes pla-naires, on considére l'universOdes objets convexes planaires et S O

est un sous-ensemble de taillejSj=n.

 Les régions quant à elles sont des éléments d'un univers de régions noté

F. Dans le cas de l'enveloppe convexe, les éléments deF sont des sous-ensembles connexes bien dénis du plan. Les régions sont dénies par des objets. Plus formellement, il existe un entierbstrictement positif et une relation entre l'ensemble des sous-ensembles de O de cardinalité au plusb et l'ensemble des régions F. Chaque élément de F est déni par au plusb objets et la relation qui les lie.

Soit S un ensemble d'objets (S  O), on dénit S

b comme étant l'en-semble des sous-enl'en-sembles deS de cardinalité au plus b:

S b

=fV S jjVjbg:

Une région F 2 F est dénie par l'ensemble S d'objets s'il existe un élément E 2 S

b en relation avec F. On note F(S) l'ensemble des régions dénies par l'ensemble des objetsS:

F(S)=fF 2F j 9E 2S b

EFg

Dans le cas de l'enveloppe convexe, nous utilisons les arcs d'objets dénis par trois objets de S. Puisque l'enveloppe convexe d'objets convexes pla-naires est une suite alternée d'arcs et de segments bitangents, nous associons à chaque arc la région du plan délimitée par cet arc et les deux segments bitangents qui le délimitent. Les deux segments bitangents adjacents à un arc a de l'enveloppe convexe supportent à la foisa mais également un autre objet. La région d'un arc est donc dénie par trois objets (b=3). On pour-rait également utiliser le formalisme de birégion [BY95a] pour dénir les régions uniquement par des arcs d'objet. Chaque région est caractérisée par

un sous-ensemble de O appelé domaine d'inuence. Dans le cas de l'enve-loppe convexe, le domaine d'inuence associé à une région est l'union des demi-plans ouverts tangents à la courbe s

1 as

2 oùs 1 et s

2 sont les deux seg-ments bitangents à l'arc a. Un objet O 2 O est en conit avec une région

F 2F si son intersection avec le domaine d'inuence de cette région est non vide.

Soit F une région de F et S un nombre ni d'objets, on note S(F) l'en-semble des objets deS en conit avec la régionF (son domaine d'inuence). On appelle largeur de F par rapport à S le nombre jS(F)j d'objets de S en conit avec F.

Calculer l'enveloppe convexe d'objets convexes planairesS se ramène à construire l'ensemble des régions dénies par ces objets de largeur nulle par rapport à S.

Dans ce qui suit, on suppose que la relation  est fonctionnelle, c'est-à-dire que les données du problème sont en position générale. On note F

j (S)

le sous-ensemble de F(S) constitué par les régions de largeur j par rapport à S:

F j

(S)=fF 2F(S)jjS(F)j=jg:

1.1.7 Le graphe d'inuence

Nous décrivons dans cette partie une structure de données appelée graphe d'inuence qui est très utile pour la construction incrémentale randomisée. Soit R  S un sous-ensemble courant des objets déjà traités. On appelle régions de largeur courante nulle les régions dénies par des éléments de R

de largeur nulle. Le graphe d'inuence (IDAG) est un graphe orienté connexe et acyclique possédant une racine. Un n÷ud peut avoir plusieurs pères. On appelle feuille du graphe d'inuence les n÷uds ne possédant pas de ls. Le graphe d'inuence est caractérisé par les deux propriétés suivantes:

 L'ensemble F 0

(R) des régions de largeur courante nulle est une bijec-tion avec un sous-ensemble de l'ensemble des feuilles du graphe d'in-uence.

 Le domaine d'inuence d'une région associé à un n÷ud du graphe d'in-uence est inclus dans l'union des domaines d'ind'in-uence des régions associés aux pères de ce n÷ud.

La première propriété permettra de localiser rapidement les régions de largeur nulle tandis que la seconde permettra de parcourir ecacement le graphe d'inuence an de détecter les conits occasionnés par l'ajout d'un objet. An d'actualiser rapidement le graphe d'inuence lorsque nous ajou-tons un nouvel objet, nous supposons les trois hypothèses d'actualisation suivantes:

 Pour tout objetO de l'univers des objetsO et toute région F de l'uni-versF, on peut répondre en temps constant siOest en conit avec F. Ici, temps constant signie temps dépendant deb.

 Le nombre de ls de chaque n÷ud du graphe d'inuence est borné.  À chaque insertion d'un nouvel objet, la phase de mise à jour peut-être

eectuée en un temps proportionnel au nombre de régions de largeur courante nulle en conit avec l'objet introduit à cette étape.

Nous citons ci-après le principal théorème de Boissonnat et al. [BDS+92]:

Théorème 10

Soit un algorithme en ligne qui construit un graphe d'in-uence et satisfait les hypothèses d'actualisation. Le graphe d'ind'in-uence cor-respondant à un ensembleSde taillenoccupe en moyenne un espace mémoire

~ O n n X r=1 f 0 (r;S) r ! :

L'algorithme traite un ensemble d'objets S de taille n en temps moyen

~ O n X r=1 f 0 (b r 2 c;S) r 2 ! :

Une analyse non amortie montre que lan

eétape de l'algorithme s'eectue en temps moyen ~ O n X r=1 f 0 (r;S) r ! : où f 0

(r;S) est l'espérance mathématique du nombre de régions de largeur nulle dénie par un échantillon aléatoire de taille r de S.

M

Dans le document Algorithmes géométriques adaptatifs (Page 96-99)