6. Équation d’état dans la limite BEC
6.3. Formalisme général du développement
Nous avons vu à la section précédente que pour obtenir l’équation d’état dans la théorie BCS, il faut développer les densités en puissance du paramètre d’ordre, celui-ci étant obtenu à partir de l’équation du gap. Nous allons procéder de la même manière mais en prenant en compte les diagrammes au delà du champ moyen. Nous utilisons le formalisme perturbatif, développé au chapitre 4, permettant de calculer la matrice fonction de Green dans la phase superfluide.
6.3.1. Réécriture des équations de Dyson superfluides
Plus spécifiquement nous développons les équations de Dyson dans la phase superfluide (4.28) et (4.29) en puissance de |∆|2 :
G↑(k) = G0,↑(k) + G0,↑(k) Σ↑(k) G↑(k) + G0,↑(k) ∆ (k) F†(k) (6.11) F†(k) = G0,↓(−k) Σ↓(−k) F†(k) − G0,↓(−k) ∆∗(k) G↑(k) (6.12) De par sa définition, la self-énergie Σ↑(k) contient tous les diagrammes qui ne peuvent pas être séparés en deux parties en coupant une ligne de propagateur libre (k, ↑) décrite par G0,↑(k) ou (−k, ↓) décrite par G0,↓(−k). Les blocs séparables en coupant une ligne (−k, ↓) sont présents dans la fonction de Green via le dernier terme dans l’équation (6.11). En effet, celui-ci décrit la destruction via ∆(k) d’une paire provenant du condensat dont le fermion (k, ↑) en entrée de Σ↑. La fonction de Green anormale F† créant deux particules, nous avons donc un fermion (k, ↑) se propageant en sortie, et une particule (−k, ↓) se propageant jusqu’au ∆ de droite à gauche (voir figure 4.4). Afin de s’affranchir de ce couplage avec la fonction de Green anormale F†(k), nous pouvons cependant réécrire ces équations d’une manière différente. Prenons l’exemple de la propagation d’une particule (k, ↑). Pour celle-ci, on définit la self-énergie généralisée S↑(k) par la somme de tous les diagrammes ayant une ligne (k, ↑) en entrée et une ligne (k, ↑) en sortie, ne pouvant pas être séparés en deux blocs en coupant une ligne (k, ↑). Celle-ci contient donc des diagrammes ayant des lignes (−k, ↓) provenant du condensat. On en déduit simplement que la fonction de Green s’écrit :
G↑(k) = G0,↑(k) + G0,↑(k) S↑(k) G↑(k) (6.13) Nous allons alors développer la self-énergie généralisée en puissance du paramètre d’ordre afin d’obtenir le développement de la fonction de Green (6.13). Nous aurons
6.3 Formalisme général du développement 121
alors accès aux densités des deux espèces en sommant la fonction de Green normale sur la quatre-impulsion. Nous pouvons également réécrire la deuxième équation de Dyson (6.12) qui devient :
F†(k) = −G↓(−k) ∆∗(k) G↑(k) (6.14)
où nous avons introduit une nouvelle fonction de Green “habillée” par la self-énergie diagonale et définie par l’équation (6.15) et représentée diagrammatiquement sur la figure (6.1). Nous la dessinerons par un trait épais plein, respectivement pointillé, pour un fermion ↑, respectivement ↓.
Gσ(k) = G0,σ(k) + G0,σ(k) Σσ(k) Gσ(k) (6.15)
Figure 6.1.: Définition diagrammatique de la fonction de Green “habillée” G↑(k). Nous rappelons que la self-énergie diagonale ne prend pas en compte les insertions divisibles en coupant une ligne (−k, ↓). Comme nous réinjectons cette self-énergie sur un propagateur (k, ↑), la fonction de Green “habillée” (6.15) ne prend pas en compte les diagrammes de type δ(k)G0,↓(−k)δ∗(k), où δ, respectivement δ∗, sont des blocs de diagrammes décrivant la destruction, respectivement la création de paires. Cependant, ceux-ci sont inclus dans la fonction de Green “complète”. On montre facilement que la fonction de Green de l’espèce ↑ est reliée à la fonction de Green “habillée” par la relation (6.16) et est représentée diagrammatiquement sur la figure (6.2).
G↑(k) = G↑(k) + G↑(k) [−∆ (k) G↓(−k) ∆∗(k)] G↑(k) (6.16)
Figure 6.2.: Représentation diagrammatique de l’équation (6.16)
On voit clairement sur la figure (6.2) que l’on prend en compte les insertions man- quantes dans le développement de la fonction de Green “habillée” en utilisant les self- énergies non diagonales. On retrouve également la nouvelle définition de la fonction de Green anormale (6.14) en sortie du second terme de la fonction de Green (6.16). Il est
à remarquer dans (6.14) que la particule ↓ créée correspond à un propagateur “habillé” alors que la particule ↑ se propage via la fonction de Green “complète”. On comprend alors que la fonction de Green “habillée” de l’espèce ↓ permet de ne pas compter deux fois les insertions manquantes dans celle-ci. Nous pouvons alors inverser les équations (6.16) et (6.15) afin d’identifier la fonction de Green généralisée dans (6.13). On en déduit facilement qu’elle s’écrit :
S↑(k) = Σ↑(k) − ∆ (k) G↓(−k) ∆∗(k) (6.17)
6.3.2. Développement des fonctions de Green normales
Nous avons vu à la section précédente comment réécrire la fonction de Green dans la phase superfluide afin de ne plus avoir de couplage avec la fonction de Green anormale. Dans le but d’obtenir les densités, il nous reste à évaluer les self-énergies généralisées. Nous avons dans le dernier terme de (6.17) une dépendance explicite en |∆|2 mais nous devons également développer les self-énergies diagonales en puissances de |∆|2. En nous limitant à l’ordre 2 en puissances de ∆ nous pouvons écrire ce développement1 :
Sσ(k) ' Sσ(0)(k) + |∆|
2
Sσ(2)(k) (6.18)
où nous avons introduit deux nouvelles fonctions S(0)
σ et Sσ(2). L’exposant donne l’ordre
du développement en puissance du paramètre d’ordre. La première fonction ne contient donc pas de paire provenant du condensat, c’est donc la fonction de Green dans l’état normal. La seconde prend en compte l’interaction avec une paire provenant du condensat créée par ∆∗ et détruite par ∆. En utilisant (6.17), nous obtenons, pour les particules ↑ :
S↑(0)(k) = Σ(0)↑ (k) (6.19)
S↑(2)(k) = Σ(2)↑ (k) − G(0)↓ (−k) (6.20)
où l’expression de la fonction de Green “habillée” à l’ordre 0 en puissance du paramètre d’ordre est obtenue en utilisant (6.15). Soit :
G(0)↓ (−k) =hG0,↓(−k) − Σ (0)
↓ (−k)
i−1
(6.21) Nous constatons qu’il nous suffit de connaître les expressions des self-énergies diago- nales à l’ordre 0 et à l’ordre 2 en puissance du paramètre d’ordre pour avoir accès à la self-énergie généralisée. Nous obtenons le développement de la fonction de Green :
1. Nous verrons par la suite, qu’à l’ordre du développement considéré, ∆ est indépendant de la quatre-impulsion k.
6.3 Formalisme général du développement 123 G↑(0)(k) =hG0,↑(k) − S (0) ↑ (k) i−1 = G(0)↑ (k) (6.22) G↑(2)(k) = G↑(0)(k) S↑(2)(k) G↑(0)(k) (6.23)
6.3.3. Développement des fonctions de Green anormales
Pour obtenir l’équivalent de l’équation du gap BCS, nous allons raisonner sur la fonc- tion de Green anormale F décrivant la destruction d’une paire. En partant de l’équation de Dyson (4.31) et en injectant l’expression de la fonction de Green “habillée” (6.15), nous obtenons le conjugué de l’équation (6.14) :
F (k) = −G↑(k) ∆ (k) G↓(−k) (6.24)
Nous développons l’équation (6.24) de la même façon que la fonction de Green, mais ici, aux ordres 1 et 3 en puissance du paramètre d’ordre. Nous obtenons ainsi :
F(1)(k) = − G(0) ↑ (k) ∆(1)(k) G (0) ↓ (−k) (6.25) F(3)(k) = − G(2)↑ (k) ∆(1)(k) G↓(0)(−k) − G(0)↑ (k) ∆(1)(k) G↓(2)(−k) − G(0)↑ (k) ∆(3)(k) G↓(0)(−k) (6.26)
où comme pour l’équation du gap BCS, nous écrirons pour ∆ un équation auto- cohérente. ∆(n)(k) représente la self-énergie non diagonale à l’ordre ∆|∆|2(n−1). Nous avons vu à la section précédente que les fonctions (6.21), (6.22) et (6.23) intervenant dans ce développement sont obtenues par la connaissance des self-énergies diagonales aux ordres 0 et 2 en puissance de ∆. De par leur connaissance, nous avons également accès à la nouvelle fonction intervenant dans (6.26) :
G(2)↑ (k) = G(0)↑ (k) Σ(2)↑ (k) G(0)↑ (k) (6.27) Nous verrons comment développer l’équation du gap d’une manière auto-cohérente comme dans la théorie BCS et utiliser les équations (6.25) et (6.26) pour éliminer les diagrammes réductibles. Nous allons maintenant présenter les expressions diagramma- tiques des self-énergies diagonales contribuant au développement de l’énergie dans la limite BEC.