8.2
Formalisme DWBA et CRC
La mod´elisation des r´eactions de transfert, et notamment l’approximation dite ”DWBA” (Distorted Wave Born Approximation), a ´et´e d´etaill´ee dans de nombreux trait´es et articles. Nous nous contentons ici d’en donner une description succincte afin de donner les approxi- mations et les param`etres d’entr´ee de tels calculs.
L’approche DWBA part de l’hypoth`ese que l’essentiel de la r´eaction est port´e par la diffusion ´elastique dans les voies d’entr´ee et de sortie. Les autres voies de r´eaction sont trait´ees comme une pertubation de la voie ´elastique. Prenons l’exemple de la r´eaction A(d,t)B. En symbolisant le noyau initial A comme B+n, la r´eaction peut s’´ecrire :
(B + n) + d → B + (d + n) (8.5) Avec ces notations, la section efficace diff´erentielle de la r´eaction de transfert d’un nucl´eon (d,t) pour former B est donn´ee par :
dσ dΩ = µAµB (2π~2)2 kA kB 1 (2SA+ 1)(2Sd+ 1) X ms B,t,A,d |TmsBmstmsAmsd f i |2 (8.6)
o`u Tf i est l’´el´ement de matrice de transition de la r´eaction consid´er´ee, µA et µB sont les
masses r´eduites des voies d’entr´ee et de sortie, kA et kB les impulsions respectives. SA,d sont
les spins de A et du deuton et les ms sont les projections de spin des diff´erentes particules de
la r´eaction. L’Hamiltonien de la voie d’entr´ee de la r´eaction s’´ecrit :
H = Hd+ HA+ KAd+ VAd (8.7)
o`u HA et Hd sont les hamiltoniens intrins`eques du noyau A et du deuton, K est l’op´erateur
cin´etique et VAd est le potentiel d’interaction entre A et le deuton. Ce potentiel se d´ecompose
en une partie ´elastique et in´elastique comme :
VAd = UAd+ WAd (8.8)
o`u UAd est le potentiel optique d´ecrivant la diffusion ´elastique de A sur deuton et WAd le po-
tentiel r´esiduel correspondant. On appelle Ondes Distordues les solutions χ±Ad correspondant `a la diffusion ´elastique v´erifiant :
(KAd+ UAd)|χ±Adi = ǫAd|χ±Adi (8.9)
Des ondes distordues |χ±
Bti pour la voie de sortie sont d´efinies de la mˆeme mani`ere. L’´el´ement
de matrice de transition est alors d´efini par :
Tf i= hΨ−Bt|WAd|χ+AdΦAΦdi (8.10)
o`u ΦA et Φd sont les fonctions d’ondes propres des hamiltoniens intrins`eques HA et Hd,
respectivement. Ψ−Btest ´etat propre de l’Hamiltonien total en voie de sortie. Enfin, le potentiel r´esiduel est couramment r´eduit au potentiel d’interaction deuton-neutron qui s’exprime :
WAd = VAd− UAd = Vnd+ (VBd− UAd) ∼ Vnd (8.11)
Finalement, Tf i s’´ecrit :
Tf iDW BA = hχ−
soit, en explicitant les int´egrales dans l’espace des coordonn´ees : Tf iDW BA = Z d3rAdd3rBtχ†Bt(−→rBt, −→ kB) hΦB|ΦAihΦt|Vdn(rdn)|Φdi χAd(−→rAd, −→ kA) (8.13)
Dans cette int´egrale, le recouvrement hΦB|ΦAi fait intervenir la fonction d’onde du nucl´eon
transf´er´e aussi appel´ee facteur de forme.
8.2.1
Voies de r´eaction coupl´ees CRC
Pour utiliser une approche DWBA, il faut que la voie de r´eaction ´etudi´ee contribue peu par rapport `a la diffusion ´elastique et puisse ˆetre trait´ee en perturbation. Pour les noyaux exotiques notamment, la probabilit´e de transfert d’un nucl´eon est parfois plus grande que pour les noyaux stables et il devient n´ecessaire de prendre en compte les couplages vers ces voies. On utilise dans ce cas une approche dite en voies de r´eaction coupl´ees. Prenons un exemple ou trois voies de r´eaction sont envisag´ees :
14O + d −→ 14O + d (α) 13O + t (β) 13N +3He (γ)
Dans notre cas, ces trois voies correspondent respectivement `a la diffusion ´elastique, au trans- fert d’un neutron et au transfert d’un proton. La fonction d’onde totale ψ est alors d´evelopp´ee sur ces diff´erentes partitions dans chacune desquelles plusieurs ´etats peuvent ˆetre accessibles :
ψ =X i φαiχαi+ X j φβjχβj + X k φγkχγk (8.14) Elle v´erifie : (H − E) ψ = 0 (8.15)
Prenons l’exemple de la partition α, l’hamiltonien H peut se d´ecomposer, comme pour l’ap- proche DWBA, de la fa¸con suivante :
H = Hα+ Kα+ Uα+ Wα
Hαφαi = ǫαiφαi
En rempla¸cant cet hamiltonien H dans l’´equation 8.15 et en la projetant sur un ´etat m de la partition α, on obtient : (ǫαm+ Kα+ Uα− E) χαm = − X i6=m h φαm| Wα| φαiχαii − X j h φαm| Wα| φβjχβji − X k h φαm| Wα| φγkχγki − (ǫαm+ Kα+ Uα− E) X j h φαm|φβjχβji − (ǫαm+ Kα+ Uα− E) X k h φαm|φγkχγki (8.16)
8.2 Formalisme DWBA et CRC
14O + d
13O + t
13N +3He 15O + p
Fig. 8.1– Sch´ema des couplages du calcul en voies de r´eaction coupl´ees CRC+CDCC utilis´es pour l’´etude de l’14O.
On retrouve dans le premier terme le couplage des ´etats de la partition α entre eux correspon- dant `a la diffusion in´elastique de l’´etat m. Les deux termes suivants repr´esentent le couplage de la partition α `a β et γ qui sont reli´es `a des r´eactions de transfert `a partir de l’´etat m. Enfin les deux derniers termes proviennent de la non-orthogonalit´e des diff´erentes partitions. En r´ep´etant cette proc´edure pour chaque ´etat de chaque partition, on obtient un syst`eme d’´equations qui permet de calculer les fonctions d’ondes χ. La r´esolution de ces ´equations fait intervenir des m´ethodes num´eriques complexes et a ´et´e effectu´ee `a partir du programme FRESCO [85].
8.2.2
Param`etres d’entr´ee des calculs
Les potentiels optiques sont les ingr´edients de base du calcul car ils d´ecrivent les interac- tions entre les particules dans les voies d’entr´ee et de sortie. Ils doivent reproduire correcte- ment les sections efficaces des r´eactions de diffusion ´elastique de la voie d’entr´ee (14O + d)
et de sortie (14O + t) par exemple. Pour les analyses qui suivent, nous pr´ecisons ici quelles
sont les principales param´etrisations de potentiel optique que nous avons consid´er´ees.
Pour la voie d’entr´ee, le potentiel deuton-projectile a ´et´e obtenu en convoluant le potentiel optique nucl´eon-noyau de A. J. Koning et J. P. Delaroche [86] avec les composantes s et d de la fonction d’onde du deuton. Pour les voies de sortie des r´eactions de transfert d’un nucl´eon (d,t) et (d,3He), des potentiels globaux (t+noyau) et (3He+noyau) existent pour des
´energies et des syst`emes proches de notre exp´erience. Nous avons principalement utilis´e deux prescriptions : (i) la param´etrisation de F. D. Beccheti and G. W. Greenless [87] (not´ee B&G) obtenue sur une syst´ematique de noyaux A=40-208 entre 1 et 40 MeV d’´energie incidente ; (ii) la param´etrisation r´ecente GDP08 [88] pour les projectiles de masse trois ajust´ee sur des donn´ees de diffusion ´elastique d’3He sur une gamme d’´energie entre 30 et 217 MeV et sur
des cibles de masse A=40-209. Pour chaque r´eaction, l’effet du choix de ces potentiels sur le facteur spectroscopique extrait est ´etudi´e.
Par ailleurs, pour une r´eaction de transfert d’un nucl´eon, le facteur de forme est un ingr´edient du calcul qui influe fortement sur l’extraction du facteur spectroscopique. Il peut ˆetre calcul´e `a partir d’approches de type champ moyen mais il est ici obtenu en d´eterminant les ´etats propres d’un potentiel de liaison de type Woods-Saxon dont la profondeur est ajust´ee pour reproduire l’´energie de s´eparation du nucl´eon. Son rayon r0 et sa diffusivit´e a0 sont
g´en´eralement arbitrairement fix´es `a 1.25 fm et 0.65 fm, respectivement. Pour plus de pr´ecision, le rayon de ce potentiel de liaison peut ˆetre ajust´e pour reproduire le rayon carr´e moyen du projectile, s’il a ´et´e mesur´e exp´erimentalement. Le changement de ces param`etres (r0, a0)
modifie peu la forme des distributions angulaires mais influe sensiblement sur leur norma- lisation et donc sur l’extraction du facteur spectroscopique. Pour les donn´ees existantes sur l’16O et nos donn´ees sur l’14O, nous ´evaluerons l’ordre de grandeur de telles variations.
Enfin, tous les calculs CRC ont ´et´e r´ealis´es en port´ee finie et prennent en compte via une approche CDCC1 les couplages en voie d’entr´ee vers la cassure du deuton avec le neutron et le
proton dans des ondes relatives S ou D. Le continuum du deuton a pour cela ´et´e discr´etis´e en 6 ´etats jusqu’`a 22 MeV d’´energie d’excitation. Un sch´ema de l’ensemble des voies de r´eaction ainsi que des couplages consid´er´es pour l’´etude de l’14O est pr´esent´e sur la figure 8.1.