L’observation du CMB, d`es ses d´ebuts, a montr´e que ce rayonnement ´etait d’une tr`es grande ho-mog´en´eit´e et d’une tr`es grande isotropie. En effet, 25 ann´ees ont pass´e entre la d´ecouverte du CMB par Penzias et Wilson et la premi`ere mesure des anisotropies primordiales par le satelliteCobeen 1992 [Smootet al.1992]. Ces anisotropies, cinq ordres de grandeurs plus faibles que la temp´era-ture moyenne, sont les empreintes des anisotropies du fluide primordial au niveau de la surface de derni`ere diffusion. De plus, le rayonnement du CMB est un rayonnement polaris´e. L’anisotropie de la polarisation des photons porte ´egalement en elle des informations sur la physique de l’Univers primordial. Nous allons introduire le formalisme n´ecessaire `a l’´etude des anisotropies du CMB, en temp´erature ainsi qu’en polarisation. Ces anisotropies r´esultent de processus physiques stochastiques dont seules les propri´et´es statistiques sont pr´evisibles. Ainsi, un formalisme efficace pour l’´etude des anisotropies du CMB sera un formalisme statistique. Pour cela nous allons construire des quantit´es contenant l’ensemble de l’information statistique dans le cas de variables gaussiennes, lesspectres de puissance l’espace des harmoniques sph´eriques d´ecrit par les fonctionsY`m(n). ∆T(n) T0 = ∞ X `=0 ` X m=−` aT`mY`m(n)≡X `,m aT`mY`m(n) (2.2) o`u lesaT `msont lescoefficients de la d´ecomposition en harmoniques sph´eriques, qui peuvent s’´ecrire par orthonormalit´e des fonctionsY`m(n) : aT `m= Z ∆T(n) T0 Y? `m(n)dn (2.3) Ce sera `a partir de ces coefficients, gaussiens dans le cas d’anisotropies distribu´ees de mani`ere gaussienne, que nous construirons ult´erieurement les spectres de puissance angulaire. 2.3.2 Anisotropies en polarisation Formalisme de Stokes Dans le cas le plus g´en´eral, quand une onde ´electromagn´etique est polaris´ee, elle poss`ede une polarisation elliptique. Dans ce cas, le champ ´electrique associ´e d´ecrit une ellipse dans le plan d’onde. Le but du formalisme de Stokes va ˆetre de d´efinir une telle ellipse `a partir de 4 param`etres, les param`etres de Stokes. Pour une onde monochromatique (ω= cte) se propageant le long d’un axez, le champ ´electrique ´evoluera au cours du temps de la mani`ere suivante : Ex(t) = Ax(t) cos(ωt) Ey(t) = Ay(t) cos(ωt+φ) (2.4) o`u les param`etres Ax(t) et Ay(t) sont les amplitudes selon les directions xet y et φ repr´esente la phase. Les 4 param`etres de Stokes sont d´efinis `a partir de ce champ ´electrique : I ≡ hA2xi+hA2yi Q ≡ hA2 xi − hA2 yi U ≡ h2AxAycos(φ)i V ≡ h2AxAysin(φ)i (2.5) o`uI d´ecrit l’intensit´e de la radiation,Qet U la polarisation lin´eaire etV la polarisation circulaire. Si une onde n’est pas polaris´ee, elle est d´efinie parQ=U =V = 0. Nous verrons que les processus physiques responsables de la polarisation du CMB ne peuvent pas g´en´erer de polarisationV. Pour cette raison, nous consid´ererons le CMB comme un rayonnementpolaris´e lin´eairement. Le degr´e de polarisation Π et l’angle de polarisation γ, dont nous nous servirons `a plusieurs reprises dans ce document, seront alors d´efinis par1 : Π≡ p Q2+U2 I , γ≡12arctan −UQ (2.6) 1L’angle de polarisationγest d´efini selon la conventionHEALPix[G´orskiet al.1999] dont nous nous servirons au Il est tr`es important de noter queQetU sont des param`etres qui d´ependent du r´ef´erentiel choisi pour leur observation. De ce fait, nous allons d´efinir l’alg`ebre des param`etres de Stokes. Afin de d´efinir cette alg`ebre nous supposerons la transformation des param`etresQet U lors d’une rotation du planxOyd’un angleψ. Les nouvelles valeurs des param`etres seront : Q0 = Qcos(2ψ) +Usin(2ψ) U0 = −Qsin(2ψ) +Ucos(2ψ) (2.7) La quantit´e (Q, U) se comporte alors comme un spinneur de spin 2, c’est-`a-dire que lors d’une rotation d’un angleψ, il faudra appliquer une rotation d’un angle 2ψ au doublet. Ainsi, il faudra toujours prendre soin de d´efinir le rep`ere choisi pour la qualification des param`etres de Stokes relatifs `a la polarisation lin´eaire. D´ecompositions en harmoniques sph´eriques ` A l’instar de ce que nous avons fait pour la temp´erature, nous allons effectuer la d´ecomposition en harmoniques sph´eriques deQetU sur le ciel. Pour ce faire, on d´efinira deux quantit´esEetB qui poss`edent l’avantage d’ˆetre ind´ependantes du rep`ere choisi, `a partir de Qet U [Zaldarriaga 1998]. E sera une quantit´e scalaire, tandis queB sera une quantit´e pseudo-scalaire. La quantit´e que nous d´ecomposerons en harmoniques sph´eriques sera le doublet form´e par Qet U. Ceci fera appel aux harmoniques sph´eriques spinn´eesd’ordre 2 [Newmann & Penrose 1966] : (Q±iU)(n) =X `,m a±2`m·±2Y`m(n) (2.8) Les coefficients relatifs aux quantit´esE etB seront alors d´efinies par : aE`m ≡ −a2`m+2a−2`m aE `m ≡ ia2`m−a−2`m 2 (2.9) ` A partir de cette d´efinition, nous pouvons construire les quantit´esEetBde la mani`ere suivante : E(n) ≡ X `,m aE`mY`m B(n) ≡ X `,m aB`mY`m (2.10) 2.3.3 Spectres de puissance angulaire Nous avons vu que pour ´etudier les anisotropies du CMB, en temp´erature et en polarisation, nous pourrons nous servir des trois variablesT,EetB, ind´ependantes du rep`ere choisi pour l’observation. Pour chacune de ces variables, nous avons d´efini les coefficients de d´ecomposition en harmonique sph´eriques,aX `m,X ∈ {T, E, B}. `A partir de ces coefficients, nous allons d´efinir lespectre de puissance angulaire,C`(`∈ {0,+∞}), pour les variablesX et X0 ({X, X0} ∈ {T, E, B}) : C`XX0 =haX`m·aX`m0?i (2.11) Les trois variablesT,E etB vont nous permettre de construire six de ces spectres de puissance angulaire. Trois d’entre eux sont desauto-corr´elations,CT T ` ,CEE ` etCBB ` et trois sont des corr´ela-tions crois´ees, CT E ` ,CT B ` et CEB ` . La variable `sera appel´ee multipˆole et sera dimensionnellement homog`ene `a l’inverse d’une ´echelle angulaire, de sorte que les bas multipˆoles correspondront aux grandes ´echelles et inversement. des anisotropies du CMB. Dans le cas d’anisotropies distribu´ees de mani`ere gaussienne, la distribution des coefficientsa`m sera ´egalement gaussienne, par construction. Les coefficientsa`mauront comme variance les spectres de puissance angulaire correspondant aux auto-corr´elations et ces derniers contiendront l’ensemble des informations sur les anisotropies. Ceci s’´ecrit : haX`mi = 0 haX`maX`0m0?0i = C`XX0δ``0δmm0 (2.12) ´ Etant donn´e que nous n’avons qu’un seul univers `a mesurer et par cons´equent un seul jeu d’a`m `a notre disposition, il faudra construire des estimateurs pour les spectres de puissance angulaire, `a partir des seuls 2`+ 1 modes mind´ependants disponibles pour chaque`: ˜ C`XX0 = 1 2`+ 1 ` X m=−` aX`maX`m0?, {X, X0} ∈ {T, E, B} (2.13) Cet estimateur, dans le cas d’exp´eriences destin´ees `a la mesure du CMB est biais´e par des effets instrumentaux. Nous pr´esenterons ces effets en 3.4 et nous proposerons deux m´ethodes que nous avons contribu´e `a d´evelopper aux chapitres 7 et 10. 2.3.5 Variance cosmique et variance d’´echantillonnage En supposant que les coefficients aX `m sont issus d’une distribution gaussienne, qu’ils sont de moyenne nulle et de varianceC`, on peut montrer que chaque coefficient a 2`+ 1 degr´es de libert´e, correspondant aux valeurs dempossibles. Les spectres de puissance angulaire poss`ederont donc une distribution de χ2 `a 2`+ 1 degr´es de libert´e. L’estimation des C` est donc entach´ee d’une erreur inversement proportionnelle `a √ 2`+ 1, inh´erente au fait que nous n’ayons acc`es qu’`a une seule r´ealisation d’univers. C’est ce que l’on appelle lavariance cosmique(Cvar pourcosmic variance. Elle s’´ecrit : Cvar(C`XX0) = r 2 2`+ 1·C`XX0 (2.14) Ceci traduit le fait qu’aux bas multipˆoles, aux grandes ´echelles angulaires, on ne dispose pas d’assez d’informations pour pouvoir estimer de mani`ere pr´ecise la valeur du spectre `a partir d’un seul univers. De plus, la mesure des anisotropies du CMB n’est pas r´ealis´ee sur tout le ciel. En effet, mˆeme si dans le cas de l’observation par un satellite la couverture du ciel est compl`ete, le plan galactique, tr`es fortement contamin´e par l’´emission de la Galaxie est masqu´e (au moins 15% du ciel). Ainsi, pour chaque multipˆole, le nombre de degr´es de libert´e et l’erreur associ´ee augmentent de fa¸con inversement proportionnelle `a la fraction du ciel observ´ee,fsky. La variance qui en r´esulte sera plus grande que la variance cosmique. C’est lavariance d’´echantillonage (Svar poursample variance) : Svar(C`XX0) = s 2 Dans le document Etude des différentes composantes de la polarisation du ciel en vue de l'observation du Fond Diffus Cosmologique avec le satellite Planck (Page 31-35)
