3.3 Formalisme éléments finis
3.3.1 Description
Contrairement au cas précédent, les équations d’équilibre dans ce formalisme cor- respondent aux équations produites par la méthode des éléments finis. Généralement, la méthode des éléments finis est utilisée afin de calculer le champ de déplacements so- lution d’un problème mécanique. Ici, le champ de déplacements est connu car mesuré. Cela va donc introduire des efforts à l’intérieur de la structure et la déséquilibrer. En effet, les efforts des nœuds internes sont nuls dans le cas où les forces volumiques sont négligées, seuls ceux aux conditions limites subissent des efforts de chargement ou de réaction. Par conséquent, l’application du champ de déplacements mesuré déséquilibre la structure en ce sens que des efforts internes non nuls vont apparaître. Cela corres- pond à un résidu d’effort{Fres}au sein de la structure qu’il revient de minimiser afin de
rééquilibrer la structure : {Fres} = [K({θ})]{umes} − {F} (3.18) • • • • • • • • • • • • • • • • • {Fres} • • • • • • • • • • • • • • • • e i • • {F e i} • •
FIGURE3.5 – Vecteurs efforts élémentaires pour un nœud interne
La matrice de rigidité globale [K({θ})] dépend des valeurs des paramètres méca-
niques recherchés. Dans le formalisme précédent, nous avons pu factoriser par le mo- dule d’Young afin de l’identifier directement, ce qui n’est pas possible ici. Même s’il est en facteur, nous ne pouvons pas l’extraire de la matrice de rigidité élémentaire[Ke], nécessaire pour construire la matrice globale[K]. En effet, le module d’Young doit inter- venir dans le calcul de[Ke]sinon cette matrice n’est plus une matrice de rigidité et perd son sens physique. Par conséquent, nous considérons un matériau de référence dont les propriétés de référence{θre f}permettent de calculer une matrice de rigidité élémentaire
de référence[Ke({θre f})]. De cette manière, la matrice de rigidité élémentaire recherchée, dont le module d’Young n’est pas connu, s’exprime à une constante multiplicative près :
[Ke({θ})] =δe[Ke({θre f})] (3.19) Ce paramètre, noté δeet constant par élément, correspond à la différence de compor-
tement entre celui de référence et celui obtenu par la mesure. Les inconnues du problème
ne sont plus les modules d’Young mais les rapports des modules d’Young δe. L’avantage
de cette approche est que la matrice[Ke({θre f})]n’est calculée qu’une fois au début du processus puis reste constante.
Nous rappelons qu’il s’agit ici de minimiser les efforts internes de déséquilibre, il faut donc les déterminer. Nous considérons un nœud interne de la structure qui est le
déséquilibre vient du champ de déplacements mesuré qui crée des efforts internes qui ne s’annulent plus, en d’autres termes la somme des vecteurs d’efforts des quatre nœuds coïncidents ne s’annulent plus. Exprimons l’un d’eux :
{Fie} =
∑
j[Keij({θ})] {uej} (3.20) Or, d’après (3.19), nous pouvons réécrire l’équation précédente ainsi :
{Fie} =δe
∑
j[Kije({θre f})] {uej} (3.21) Nous remarquons alors que le vecteur d’effort au nœud i de l’élément e correspond au produit de la ligne i de la matrice de rigidité élémentaire de référence avec le vecteur déplacement des nœuds de l’élément e. Il vient que le résidu en effort {Fnres}pour un
nœud interne n s’écrit :
{Fnres} =
∑
e {Fie} (3.22)
ce qui correspond à la contribution des quatre nœuds, coïncidents au nœud n, de quatre éléments adjacents.
En considérant tous les nœuds internes n de la structure, nous pouvons alors expri- mer le vecteur résidu en effort total comme suit :
{Fres} =
∑
n {Fnres} (3.23)
Nous pouvons réécrire cette dernière équation en utilisant (3.21) et (3.22) :
{Fres} =
∑
n∑
e δe∑
j [Keij({θre f})] {uej} (3.24) Il s’agit maintenant de minimiser la norme du vecteur résidu d’effort totalk{Fres}k2afin d’identifier les rapports, ou contrastes, de modules d’Young δe. Cela revient à ré-
soudre un système linéaire construit à partir de (3.24) qui s’écrit :
[L]{δ} = {0} (3.25)
avec[L]la matrice s’exprimant Le i = ∑
j
[Keij({θre f})] {uej}.
Sur une structure 2D faite de nx×ny points, nous obtenons 2(nx−2)(ny−2)équa-
tions en considérant des éléments de Lagrange, voirTableau 2.1. Le nombre d’inconnues
est lui de(nx−1)(ny−1). Le système est donc surdéterminé comme pour le cas précé-
dent. L’opérateur pseudo-inverse est donc utiliser de nouveau pour résoudre le système au sens des moindres carrés :
[L]t[L]{δ} = [L]t{0} (3.26)
Nous remarquons alors de nouveau que le système contient des équations homo- gènes. La même stratégie que pour le formalisme en différences finies est utilisé. A sa- voir, ajouter une équation qui fixe une ou toutes les valeurs des inconnues, comme ex- pliqué plus haut, pour éviter la solution triviale{δ} = {0}.
3.3. Formalisme éléments finis 61
3.3.2 Implémentation
Cette méthode a été écrite dans la classe CMEQ, même classe que pour le formalisme
en différences finies, tel que décrite dansAlgorithme 7.
Algorithme 7 : Classe CMEQ
Entrée : Champ de déplacements{umes}, propriétés de référence{θre f} Sortie : Champ de contrastes de propriétés mécaniques{δ}
1 Calcul[Ke]
2 pour i←0 à Nnfaire 3 pour e←0 à Ni´elfaire
4 Calcul{Fie}
5 Assemblage[L] ← {Fe
i}
6 Ajout équation supplémentaire δi =1
7 Résolution système linéaire[L]t[L]{δ} = {S}
avec Nnle nombre de nœuds internes à la structure, Ni´el le nombre d’éléments coïn-
cidents avec le nœud i, en d’autres termes il s’agit du nombre d’éléments pris en compte par équation.
Là encore, l’algorithme du GCPC est utilisé pour la résolution du système linéaire car la matrice du système est creuse et symétrique.
Enfin, l’implémentation est faite de sorte que les éléments présentés enTableau 2.1
soient utilisables dans cette méthode.
3.3.3 Illustration sur un cas simulé
Afin d’illustrer la méthode, nous reprenons le même exemple que pour le formalisme en différences finies, voirFigure 3.3.
La même démarche est appliquée, nous faisons la somme de chaque ligne du sys- tème linéaire construit pour obtenir les efforts résiduels à chaque nœud interne, voir
Figure 3.6.
FIGURE3.6 – Résidu d’efforts aux nœuds internes de la structure
Nous observons que les résidus d’efforts sont très élevés aux nœuds correspondants aux gradients de propriétés mécaniques. Les mêmes remarques que pour le formalisme
en différences finies peuvent faites, à savoir que nous retrouvons la symétrie par rapport à la ligne verticale centrale de la structure, l’intensité des efforts résiduels est plus élevé suivant cette même direction. A ceci près que les grandeurs physiques mises en jeu sont différentes, dans le cas précédent, les résidus étaient homogènes à une contrainte, ici les résidus sont homogènes à une force. Néanmoins, nous voyons que pour identifier des propriétés mécaniques de rigidité, tels que les modules d’Young, la connaissance des contraintes ou des efforts est nécessaire.