4.1 Formalisation d’un SMA auto-organisateur
4.1.3 Formalisation du niveau macro
Au niveau macro, le focus est mis sur la modélisation de l’observation de l’évolution de l’état macroscopique du système en fonction des actions locales des agents, de leurs interac- tions et des changements de l’environnement. Cette modélisation est une base pour prouver
formellement des propriétés globales. L’état macroscopique du système est décrit à l’aide d’un agrégat des états de ses éléments (les agents et l’environnement). Ainsi, le nombre d’agent se trouvant dans un état particulier ou le nombre d’agent exhibant un comporte- ment bien déterminé peuvent décrire l’état macroscopique du système.
Le système peut être soit dans un état fonctionnellement adéquat qui qualifie une situation dans laquelle il assure la fonction pour laquelle il a été conçu, soit dans un état qui nécessite l’emploi de ses mécanismes d’auto-organisation pour faire face aux perturbations et se re- mettre à nouveau dans un état fonctionnellement adéquat. La figure 4.3 résume les états du cycle de vie d’un SMA auto-organisateur observé par un observateur externe.
Figure 4.3 — Représentation abstraite du comportement du système au niveau macro
On note par Sadequateun état fonctionnellement adéquat dans lequel le système peut se trou- ver dès son initialisation ou auquel il doit converger lorsqu’il n’est soumis à aucune pertur- bation. On note par FA(macroState)le prédicat défini en fonction de l’état macroscopique du système macroState et décrivant un état fonctionnellement adéquat. Dés que la fonc- tionnalité du système est perturbée, il passe à l’état Ssel f Organising dans lequel il emploie ses mécanismes d’auto-organisation pour assurer à nouveau sa fonction.
Dans le cadre de ce travail, nous nous intéressons aux SMA se basant sur la coopéra- tion comme un moyen pour l’auto-organisation. Par conséquent, en se référant au théo- rème de l’adéquation fonctionnelle de la théorie des AMAS, le système se trouve dans un état fonctionnellement adéquat lorsque tous les agents sont coopératifs. Ainsi, les états
Sadequate et Ssel f Organising peuvent être décrits en fonction du nombre d’agents se trouvant
dans une situation non coopérative. Si on dénote par AgentsNCS l’ensemble des agents se trouvant dans une SNC et par card(AgentsNCS)le nombre d’agents dans cet ensemble, on a
Sadequate ≡card(AgentsNCS) =0 et Ssel f Organising ≡card(AgentsNCS) >0
Les transitions observées entre ces différents états sont dues à des changements pouvant être classés parmi les ensembles de changements suivants :
3 MaintainGF est formé par les changements n’ayant aucun effet sur la fonctionnalité adéquate du système.
3 Perturbations est l’ensemble des changements qui perturbent le fonctionnement du sys- tème et l’empêchent d’assurer sa fonction.
3 Sel f Organising regroupe les actions que le système peut entreprendre afin de retrouver un état fonctionnellement adéquat.
4.1. Formalisation d'un SMA auto-organisateur
Formellement, le SMA auto-organisateur vu par un observateur externe peut être défini comme suit :
Définition 8. Un système multi-agent observé au niveau macro est un automate SYSTEMMACRO = (GS, GSinit, GT, Gδ)avec
• GS=Sadequate∪Ssel f Organising
avec Sadequate∩Ssel f Organising = ∅
• GSinitest l’état initial du système. GSinit ∈GS
• GT= MaintainGF∪Perturbations∪Sel f Organising avec MaintainGF∩Perturbations∩Sel f Organising= ∅
• Gδ⊆ GS×GT×GS
Nous supposons que les transitions MaintainGF et Perturbations peuvent être définies aussi bien à partir des actions des agents que celles de l’environnement. Ainsi, ces deux transitions vérifient les propriétés suivantes : MaintainGF ⊆ T et Perturbations ⊆ T. Les actions d’auto-organisation doivent résulter des seules actions des agents. Ainsi, les transitions Sel f Organising vérifient la proposition Sel f Organising ⊆T\TE.
Le comportement observé du système est défini par une séquence (pouvant être infinie) alternant des états et des actions gs0
gt1
−→ gs1 gt2
−→ gs2... où pour tout i > 0, gti ∈ GT tel que(gsi−1,
gti
−→, gsi) ∈ Gδ. On note par ε(GS)l’ensemble de toutes les traces observables du système. On note par state(e, i) l’état observable du système à l’instant i dans la trace e ∈ ε(GS).
Les définitions données ci-dessus vont servir de base pour spécifier formellement les pro- priétés de convergence et de résilience. Nous adoptons les définitions données par G. de Marzo Serugendo dans [Serugendo, 2009] pour la convergence et la résilience dans le cadre des systèmes auto-organisateurs.
Au niveau macro, nous nous intéressons à prouver les propriétés de convergence et de rési- lience du SMA conçu. Ces deux propriétés sont définies dans les paragraphes qui suivent.
La convergence du SMA La convergence ([Serugendo, 2009]) indique la capacité du sys- tème à atteindre son objectif en l’absence de perturbations. Le système converge soit lorsque dès l’initialisation il se trouve dans un état fonctionnellement adéquat soit on garantit qu’il arrive à atteindre un état fonctionnellement adéquat après un certain nombre de transitions. Formellement, la convergence du système SYSTEMMACRO se traduit par la formule sui- vante :
La résilience du SMA La résilience ([Serugendo, 2009]) décrit la capacité du système à s’adapter aux changements et aux perturbations qui peuvent avoir lieu. L’analyse de la rési- lience permet d’évaluer la capacité des mécanismes d’auto-organisation à rétablir l’état du système après des perturbations sans détecter explicitement une erreur.
On note par p une perturbation provenant de l’environnement ou des agents et provoquant un ensemble ψ de transitions (ψ ⊆ GS×p×GS). Cette perturbation fait passer le système d’un état fonctionnellement adéquat vers un état d’auto-organisation. Le système est dit ré- silient à la perturbation p s’il est capable de retrouver un état fonctionnellement adéquat après cette perturbation. On note par ε(SYSTEMMACRO, gs)les traces observables du sys- tème à partir de l’état gs.
Formellement, le système SYSTEMMACRO = (GS, GSinit, GT, Gδ)est dit résilient par rap- port à la perturbation p si pour toute trace e∈ε(SYSTEMMACRO)tel qu’il existe i>0 pour lequel state(e, i) = gs et pour tout état d’auto-organisation gs0 vérifiant (gs, p, gs0) ∈ ψ, il
vérifie la formule suivante :
∀e0 ∈ε(SYSTEMMACRO, gs0) · ∃j>0·state(e0, j) ∈Sadequate.