la conception robuste
La conception robuste vise `a d´efinir la variabilit´e admissible des param`etres du produit (espace de solution) afin de garantir la capacit´e du produit `a maintenir ses performances, malgr´e des changements dans les conditions d’utilisation ou la pr´esence de variations li´ees `a ses param`etres ou `a ses composants. La d´efinition g´en´erale de la robustesse, prise dans cette th`ese, est celle propos´ee par Chen et al.
(1996). Suivant cette d´efinition, une solution est consid´er´ee robuste si elle int`egre la gestion de variation de type I et type II simultan´ement dans la conception du produit.
3.4 Formalisation de l’approche ensembliste de la conception robuste
Pour d´efinir la formalisation de l’approche ensembliste de la conception ro- buste, nous fournissons les d´efinitions fondamentales pour le mod`ele bas´ees sur la logique formelle et la conception bas´ee sur les ensembles. V repr´esente l’ensemble de toutes les variables dans la probl´ematique de la conception. V contient l’en- semble des variables de conception DV ainsi que des variables de bruit ∆. Donc V peut ˆetre repr´esent´e comme V = DV ∪ ∆. D repr´esente l’espace initial de la recherche de V . D est repr´esent´e par D = DDV ∪ D∆. C repr´esente l’ensemble des contraintes du mod`ele. Les contraintes pourront ˆetre de type continu, discret, complexe ou relationnel, si un mod`ele contient n contraintes, l’ensemble C pourra ˆetre ´ecrit comme C = {c1, ...cn}.
Une solution si est consid´er´ee valide si il existe des affectations pour toutes les variables de conception en V telle que toutes les contraintes soient satisfaites. De la mˆeme fa¸con, une solution est consid´er´ee robuste, si et seulement si, les contraintes sont satisfaites pour toutes les affectations sous forme d’ensembles pour toutes les variables de conception ainsi que pour les ensembles d’´ecarts pour toutes les variables de bruit.
Les d´efinitions ci-dessus oblige l’utilisation des quantificateurs et alors le mod`ele math´ematique g´en´eral du syst`eme devient {QV, D, C}, o`u QV est l’en- semble des variables quantifi´ees. Le syst`eme ´emergeant est un probl`eme de sa- tisfaction des contraintes quantifi´ees. Les d´efinitions des solutions pourront ˆetre traduites par les expressions logiques qui exigent l’existence d’une solution et d’existence d’une solution robuste :
Existence d’une solution La condition peut ˆetre ´ecrite comme :
≪Il existe une solution appartenant `a l’ensemble des solutions telle
que pour au moins une affectation des variables de conception appar- tenant `a leurs domaines, les exigences fonctionnelles sont satisfaites ≫
Cela se traduit par :
∃si ∈ S : si = Di |= (D, C) si |= ∃¯vC(¯v, ¯a)
≪Il existe une solution appartenant `a l’ensemble des solutions telle
que pour toutes les affectations des variables de conception et toutes les affectations des variables de bruit, appartenant `a leur propres do- maines, les exigences fonctionnelles sont satisfaites ≫
Cela se traduit par :
∃si ∈ S : si = Di |= (D, C) si |= ∀¯v∀ ¯δvC(¯¯ v, ¯δv, ¯a)¯
Une solution qui remplie les deux conditions est une solution robuste et elle est insensible aux variations des param`etres de conception ainsi qu’aux variables des bruits.
3.5
Formalisation de l’analyse des tol´erances
Le travail sur le tol´erancement dans cette th`ese est bas´e sur les travaux de re- cherche dans le domaine de sp´ecification des tol´erances suivant : Dantan et al.
(2003a); Dantan & Ballu (2002). Ces travaux proposent les expressions quan- tifi´ees pour simuler l’influence des ´ecarts g´eom´etriques sur le comportement d’un m´ecanisme en prenant en compte les ´ecarts g´eom´etriques ainsi que l’influence des types de contacts. Leur approche stipule que la condition fonctionnelle doit ˆetre respect´ee dans au moins une configuration de jeux (le quantificateur ≪il existe≫)
ou que, la condition fonctionnelle doit ˆetre r´ep´et´ee dans toutes les configurations acceptables des jeux (le quantificateur ≪quelque soit≫). Cette th`ese harmonise
et g´en´eralise cette expression dans le paradigme de la logique formelle et pr´esente une formalisation de l’analyse de tol´erances pour les m´ecanismes. Pour ¸ca, d’une mani`ere similaire `a la formalisation de la conception robuste, nous proposons dans un premier temps, les d´efinitions de base.
V repr´esente l’ensemble de toutes les variables de la probl´ematique de l’ana- lyse de tol´erances. Les d´efinitions g´eom´etriques donn´ees par Dantan & Ballu
(2002) sont retenues pour cette formalisation. A partir de ces d´efinitions, le mod`ele g´eom´etrique doit mod´eliser les ´ecarts des surfaces de chaque pi`ece (´ecart
3.5 Formalisation de l’analyse des tol´erances
de situation et ´ecart intrins`eque) et les d´eplacements relatifs entre pi`eces selon les variations des jeux (les jeux et conditions fonctionnelles). Le comportement g´eom´etrique est mod´elis´e dans quatre espaces affines :
• l’espace des ´ecarts de situation d´ecrit les d´eviations angulaires et lin´eaires des ´el´ements de la g´eom´etrie de substitution, par rapport `a la g´eom´etrie nominale. Le vecteur Sd, exprim´e dans l’espace≪Situation≫, est d´efini par
tous les param`etres des ´ecarts de situation : un composant de Sd est donc un ´ecart de situation.
• l’espace des ´ecarts intrins`eques caract´erise les variations de forme des ´el´ements g´eom´etriques. Ils repr´esentent les variations des param`etres intrins`eques des ´el´ements de substitution, comme la variation du diam`etre d’un cylindre, par exemple. Le vecteur I, exprim´e dans l’espace≪Intrins`eque≫, est d´efini par
l’ensemble des ´ecarts intrins`eques.
• l’espace des jeux d´ecrit les d´eplacements relatifs entre les ´el´ements de si- tuation des surfaces de substitution qui sont nominalement en contact. Le vecteur G, exprim´e dans l’espace≪Jeu≫, est d´efini par l’ensemble des jeux.
• l’espace des jeux fonctionnels caract´erise les d´eplacements relatifs entre les ´el´ements de situation des surfaces de substitution fonctionnellement en re- lation. Le vecteur F c, exprim´e dans l’espace ≪Jeu Fonctionnel≫, est d´efini
par l’ensemble des jeux fonctionnels. Alors l’ensemble V est ´ecrit comme :
V = DV ∪ Sd ∪ I ∪ G ∪ F c
D pour la formalisation de l’analyse de tol´erances contient les possibles af- fectations pour les variables dans V . L’ensemble des contraintes C contient les contraintes qui mod´elisent le comportement g´eom´etrique d’un assemblage en pr´esence d’´ecarts. Ces contraintes peuvent ˆetre group´ees en trois type :
bilit´e entre les ´ecarts et les jeux. L’ensemble des ´equations de compatibilit´e, obtenues en appliquant la relation de composition des d´eplacements aux diverses ≪ chaˆınes≫ (chaˆınes de cotes - cycles topologiques), r´ealise un
syst`eme d’´equations lin´eaires. Afin que le syst`eme d’´equations lin´eaires ad- mette une solution, il est essentiel que les ´equations de compatibilit´e soient v´erifi´ees. Ces ´equations d´ecrivent un domaine de compatibilit´e d´efini dans l’espace de description (Sd, G, F c).
• Hull d’interface (HInterf ace). Il contient des in´equations et ´equations d’inter- face qui contraignent les jeux. Les contraintes de non interp´en´etration entre les diff´erents composants se traduisent par l’expression d’in´egalit´es entre les d´eplacements des surfaces de substitution en contact. Les contraintes d’association, qui mod´elisent le comportement attendu par une liaison cin´ematique (fixe ou glissante par exemple), se traduisent par des rela- tions de d´ependance entre les d´eplacements des surfaces de substitution. Ces ´equations et in´equations d´ecrivent un domaine d’interface d´efini dans l’espace de description (G, I).
• Hull fonctionnel (HF unctional). Il contient les in´equations qui contraignent les jeux. Les contraintes fonctionnelles limitent l’orientation et la position relative des surfaces en relation fonctionnelle. Cette condition peut ˆetre ex- prim´ee par des contraintes, qui sont des in´equations. Ces derni`eres d´ecrivent un domaine fonctionnel d´efini dans l’espace (F c, I)
La formulation math´ematique de l’analyse des tol´erances est alors bas´ee sur une expression du comportement g´eom´etrique du m´ecanisme ; plusieurs ´equations et in´equations qui mod´elisent le comportement g´eom´etrique du m´ecanisme sont d´efinies. L’ensemble des contraintes C pourra ˆetre, alors, ´ecrit comme :
C = {HCompatibility, Hinterf ace, Hf unctional}.
Afin d’exprimer l’analyse des tol´erances `a partir des expressions d´evelopp´ees au dessus avec la syntaxe de la logique formelle, les relations relatives aux contraintes d’assemblage et aux conditions fonctionnelles peuvent ˆetre exprim´ees de la fa¸con suivante :