B. Principe des pinces optiques
1. Forces de gradients vs forces de pression de radiation
Il y a deux types de forces radiatives qui entrent en compétition dans la réalisation d’une pince optique [figure 2.2].
La première est la force de gradient, due au gradient d’intensité lumineuse au voisinage du point focal. Celle-ci tend à amener la particule à piéger dans la région de plus haute intensité lumineuse.
Est-il alors possible, en tenant compte de ces considérations, de créer un piège optique stable ?
Figure 2.2 : Représentation schématique des contributions respectives des forces de gradient et des forces de pression de radiation
Pour répondre à cette question nous considérerons deux cas limites suivant la taille de l’objet piégé. Ces deux cas dépendent du rapport de taille entre le rayon r de la particule et la longueur d’onde λ du faisceau.
Le premier cas où d = 2r << λ est appelé régime de Rayleigh ; dans ce cas le champ électrique est considéré comme uniforme autour de la particule. Ainsi le calcul de force s’exerçant sur l’objet piégé est calculable analytiquement par une description électromagnétique [Feynman ,
2000][Pérez & coll., 1990].
Le deuxième cas où d = 2r >> λ est appelé régime de Mie ; dans ce cas il est possible pour décrire les forces appliquées à des particules de grande taille d’adopter un raisonnement d’optique géométrique.
En pratique, pour des particules de taille intermédiaire (d≈λ), la connaissance des forces appliquées ne peut être obtenue analytiquement et doit donc faire l’objet, pour des expériences quantitatives, d’un étalonnage.
a)
Description éléctromagnétique, Régime de Rayleigh
(2r <<λ)
Dans ce régime, il est raisonnable d’opter pour une description électromagnétique. En effet, la particule ayant des dimensions très inférieures à λ, le champ électrique est constant sur la
taille de la particule. Celle-ci acquiert un moment dipolaire induit pr . La particule est alors considérée comme un dipôle induit ponctuel. Son moment est donné par la relation suivante qui définit la polarisabilité α :
E
pr
=
α
r
pour une sphère de rayon r on peut montrer que
3 2 2 2 0 2 1 4 r m m nmilieu ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = πε α Où Er le champ électrique, milieu
n
l’indice optique du milieu environnant la particule,0
ε la permittivité diélectrique du vide,
m =
milieu
nn , où n est l'indice de la particule
r est le rayon de la particule piégée.
Il est à noter que la polarisabilité α de la bille est proportionnelle à la différence des carrés des indices de réfraction entre la bille et le milieu environnant (ici l’eau, nmilieu=1.3).
(1) Force de gradient
La force de gradient Fg r
qui s’exerce sur la bille est donnée par :
( )
p E E I Frg= r.∇r r≈α∇r 2∝ α∇r où 2 2 0 2 1 n cEI = ε milieu , c étant la célérité de la lumière dans le vide
Cette expression montre que i) la force de gradient est orientée dans le sens du gradient, et que le ii) le piégeage n’est possible que si m est supérieur à 1, autrement dit que si l’indice de la particule est supérieur à celui du milieu environnant.
focalisation du laser.
(2) Force de pression de radiation
La force due à la pression de radiation Frpr est donnée par la relation suivante :
u P nc F pr milieu pr r r =
Cette force est dirigée axialement selon un vecteur unitaire ur donnant le sens de propagation de la lumière. Elle dépend de la puissance diffusée par la sphère Ppr, donnée par la relation suivante : 2 2 3 0 12 n p k P milieu pr r πεω = d’où u I m m n c r Frpr milieu r 2 2 2 4 6 5 2 1 3 128 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = λπ k est le nombre d’onde et ω la pulsation.
La puissance P est donc proportionnelle à pr p , d’où : 2 I
E Fpr∝ 2∝
La pression de radiation dépend donc linéairement de l’intensité lumineuse et varie en 14 λ . Pour faire léviter une particule il faut donc lutter contre la pression de radiation et contre le poids apparent de la particule. Cette force de pression de radiation dirigée selon l’axe optique va entrer en compétition avec la partie axiale des forces de gradient. On peut alors séparer la force de gradient Frgen ses deux composantes : radiale et axiale, dont nous comparerons la dernière avec la force de pression de radiation [Lebedev, 1901]. C’est là qu’apparaît l’importance
de l’ouverture numérique de l’objectif. Typiquement, pour créer un piège stable il faut que la force de gradient compense la force de pression de radiation (diffusion Rayleigh). Or la force de gradient Frgdépend de la focalisation du faisceau et donc de l’ouverture numérique de l’objectif. Ceci signifie que le gradient d’intensité suivant l’axe z du faisceau doit être important. Il faut donc diminuer la largeur du faisceau au point de focalisation, d’où l’utilisation d’un objectif a grande ouverture numérique. La pression de radiation, dépend linéairement de l’intensité lumineuse et varie en 14
λ .Pour limiter son effet, il est donc nécessaire d’utiliser un laser de grande longueur
d’onde (proche infrarouge). Ainsi, la force de gradient suivant z peut compenser la force due à la pression de radiation en utilisant un objectif d’ouverture numérique assez grande (ON>1)et un laser de grande longueur d’onde.
b)
Description d’optique géométrique, régime de Mie
(2r>>λ) et cas intermédiaire
Dans le régime de Mie, le phénomène de piégeage peut être expliqué simplement à l’aide de l’optique géométrique [figure 2.3]. En effet, dans ce cas la taille de la particule est grande devant la longueur d’onde, les effets de la diffraction ne sont donc pas applicables à cette échelle. On peut interpréter les mêmes forces Frg et Frpr en considérant le faisceau comme une somme de i rayons, dont chacun transporte un moment lumineux qu’il va transférer à la sphère. Chaque rayon i transporte une impulsion pi dont l’expression est :
k h n pi= i
où ni est le nombre de photons dans le rayon i sur un intervalle de temps dt,
Figure 2.3 : Schéma de l’interaction d’un faisceau lumineux i avec une sphère de verre.
Lorsque le rayon traverse la sphère, il change de direction. Son moment initial Pi change après réfraction et devient P . Le théorème de conservation de la quantité de mouvement f implique cependant la conservation du moment total du système. Lors de la réfraction le faisceau lumineux a donc transféré un moment P à la sphère : s
P
Ps = − ∆ où ∆P =Pf−Pi
On peut ainsi calculer la force totale exercée par un faisceau incident en sommant les contributions dues aux réflexions et réfractions successives sur la particule diélectrique.
Voyons à présent de façon qualitative ce qui se passe lorsque la particule est sur l’axe du laser et lorsqu’elle est décalée, en considérant les trajets de deux faisceaux différents.
Dans le cas centré, c’est à dire le cas où les deux rayons sont symétriques par rapport à l’axe, les composantes radiales des deux moments initiaux se compensent et le piège est stable dans cette direction. Cependant l’impulsion due à la pression de radiation le décale légèrement vers le bas.
En revanche, si la sphère est décalée par rapport à l’axe, le rayon le plus intense transmet un moment plus grand à la sphère. Ce moment tend alors à ramener la sphère vers l’axe, où l’intensité est maximale et où le piège est stable.
Un résumé de cette explication est présenté sur le schéma suivant [figure 2.4].
Figure 2.4 : Schéma des résultantes des forces radiatives 1) force de pression de radiation 2) force de gradient radiale
3) Force de gradient axial.
Il existe également un cas intermédiaire où la taille de la bille est de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde du faisceau incident (ou encore de la taille du piège), c’est à dire une particule de taille r≈ ω 0. Dans le cas des expériences de biophysique effectuées par pinces optiques, les
lasers utilisés ont des longueurs d’ondes avoisinant le proche infrarouge et les objets piégés sont des sphères diélectriques de silice ou de latex de taille micrométrique. Nous nous trouvons donc dans le régime de Mie intermédiaire (d ≈λ). La force de gradient s’exprime dans ce cas de la manière suivante :
(
n
n
)
I
A
Fr
=
2milieu−
2∇r
Dans cette expression le facteur A (dépendant entre autre de facteurs géométriques liés à l’objet piégé) est non calculable analytiquement. Pour pouvoir effectuer des mesures quantitatives il sera alors nécessaire de procéder à des étalonnages de forces.