3.5 Lien entre cinétique et dynamique
3.5.2 Force dérivée de l'énergie libre
Dans l'approche basée sur le modèle de gaz sur réseau à plusieurs espèces, nous pouvons aussi dé nir une équation dynamique dérivant de l'énergie libre
Figure 3.31 Diagramme dynamique pour un seul complexe de partition et pour trois valeurs de α plaçant le système dans un régime stable de positionnement (α < αc, en bleu et en orange) et un régime instable d'oscillations (α > αc en vert). La source S est initialement positionnée en x = 0, 3 µm. La courbe en orange correspond à la valeur biologique α = αbio du couplage α : le positionnement est dans ce cas plus rapide que dans le cas sur-amorti en bleu.
FABS du système ParABS :
FABS = Z V JAA 2 l2 m[∇AT]2− qA2 T + JBB 2 l2 m[∇B]2 − qB2 + JABm2[∇AT∇B] − qATB + B + kBT ATln AT + kBT [B ln B + (1 − AT− B) ln(1 − AT− B)]d Dr0 lD m (3.115) Néanmoins, il ne s'agit pas d'équations dynamiques pour les complexes ParBS. Dans notre approche, un complexe ParBS est le résultat de la cinétique des protéines ParB sur l'ADN et n'est pas un objet que nous pouvons simplement repérer et contraindre dans l'espace comme dans l'approche précédente. Ces nouvelles équations dynamiques concernent les séquences parS. Les positions
ri des séquences parS deviennent dépendantes en temps et sont chacune
gou-vernées par une équation très similaire en forme à (3.112) : dri dt = DS kBTF i B/S (3.116)
Par souci de simplicité, nous négligeons la force brownienne agissant sur le
Figure 3.32 Diagramme dynamique pour deux complexes de partition et pour trois valeurs de α plaçant le système dans un régime stable de positionnement (en bleu et en orange) et un régime instable d'oscillations (en vert). Les courbes pour la première source S, initialement positionnée en x = 0, 3 µm, sont en trait plein et en trait discontinu pour la deuxième initialement située en x = 0, 2 µm. La courbe en bleu correspond à la valeur biologique α = αbio du couplage α : pour deux complexes, cette valeur correspond à une convergence sur-amortie vers les positions 1/4 et 3/4.
visqueuse agissant sur la séquence parS dans le milieu intracellulaire et de
la relation d'Einstein. La force FB/S correspond à la force exercée par les
protéines ParB sur la séquence parS. Il s'agit de l'attraction réciproque à celle des séquences parS sur les protéines ParB modélisée par l'énergie spéci que
d'adsorption (r − ri). Cette force dérive de l'énergie libre F2E, d'où :
FiB/S = −δFABS δri = 1 lD m Z V B(r, t)∇(r − ri)dDr (3.117)
Bien que similaire en forme à la force de protéophorèse introduite dans la sous-section précédente, elle ne possède pas la même fonction. Si la force de protéophorèse agit sur le complexe ParBS, notre force issue de l'énergie libre agit sur les séquences parS. De plus, la force de protéophorèse, alliée à l'hydro-lyse de l'ATP, amène les complexes ParBS à suivre le gradient le plus élevé en
protéines ParA-ATP. Dans notre cas, la force FB/S est liée à la formation de
phase haute occupation autour des séquences parS. Ainsi, contrairement à la force de protéophorèse pour laquelle le complexe ParBS creuse des gradients de
protéines ParA-ATP, la force FB/S mène à la formation de phases localement
inférieure à la taille de la phase haute occupation générée, alors il est simple de montrer que :
FB/Si = ~0 (3.118)
puisque , et par conséquent B(r, t) localement, sont pairs. Cette force n'a ainsi d'importance que lorsque le système est hors-équilibre thermodynamique, c'est-à-dire lorsque les phases haute occupation ou complexes ParBS sont per-turbés.
Nous avons résolu les équations (3.95), (3.96) et (3.97) liées à deux équa-tions dynamiques de la forme (3.117) pour deux séquences parS dans une géométrie d'intégration à deux dimensions identique à celle des dernières ex-périences de photoblanchiment in silico et des paramètres identiques à ceux
indiqués dans le tableau 3.2 si ce n'est l'occupation moyenne initiale ΦA= 4ΦB
des protéines ParA, ce qui revient à augmenter la force exercée par les
pro-téines ParA sur le complexe ParBS. En prenant la valeur DS = 1µm2s−1 du
coe cient de diusion d'une séquence parS, nous pouvons tracer le diagramme dynamique de deux séquences parS initialement positionnées en x = ±0, 1 µm (voir gure 3.33). Les deux complexes ParBS convergent vers les positions
Figure 3.33 Diagramme dynamique de deux séquences parS. Les deux séquences sont initialement positionnées en x = ±0, 1µm. Elles convergent vers les positions x = ±0, 25µm ou 1/4 et 3/4 de l'espace d'intégration.
1/4 et 3/4 de l'espace d'intégration entraînant les séquences parS avec eux.
Le mécanisme de positionnement est contrôlé par les protéines ParA et l'hy-drolyse de l'ATP. A cause des interactions entre protéines ParA et ParB, les
protéines ParA-ATP occupent de manière relativement importante l'ADN au-tour des complexes ParBS. Or, la distribution des protéines ParA auau-tour des complexes ParBS est asymétrique lorsque les complexes n'occupent pas leurs positions d'équilibres grâce à l'hydrolyse de l'ATP. Dans la gure 3.30, avec une séquence parS immobile, nous pouvions déjà voir une asymétrie des protéines ParA-ATP autour des phases haute occupation en protéines ParB. Nous pou-vons constater la même asymétrie en gure 3.34 pour les deux séquences parS. Les protéines ParA déforment les complexes ParBS de manière asymétrique,
Figure 3.34 Pro l des occupations avec deux séquences parS hors équilibre dynamique des protéines ParB (en vert) et protéines ParA sous forme ATP (en rouge) et protéines ParA-ADP (en bleu) pour t = 2s, dans une situation dynamiquement instable. Les protéines ParA-ATP encerclent les complexes ParBS de manière asymétrique. Cette situation correspond à un déséquilibre des forces à gauche et à droite de chaque complexe et favorise un mouvement centripète des complexes.
dans le sens du plus grand gradient en protéines ParA-ATP. La déformation du complexe ParBS contraint la séquence parS à se repositionner grâce à la
force Fi
B/S dérivée de l'énergie libre. Ce mécanisme mène au positionnement
des complexes ParBS et donc des séquences parS aux positions 1/4 et 3/4 de l'espace d'intégration puisque ces positions correspondent à des distributions en protéines ParA-ATP symétriques autour des complexes ParBS. A trois di-mensions, l'interface entre protéines ParA et ParB étant plus importante, ce mécanisme devrait être plus performant et devrait nécessiter une occupation en protéines ParA plus faible que celle utilisée dans notre simulation à deux dimensions. Ainsi, notre approche fondamentale nous permet d'expliquer
l'ori-gine de la force de protéophorèse eective du précédent modèle et de formuler un scénario pour la ségrégation des complexes ParBS.
3.6 Conclusion
A partir des résultats des expériences de photoblanchiment des complexes ParBS, nous avons présenté un modèle de comptage dans l'espace
intracellu-laire pour déterminer les temps typiques d'existence τin et τout des protéines
ParB à l'intérieur et à l'extérieur des complexes. En comparant avec le temps typique de diusion des protéines ParB entre deux complexes, nous avons mon-tré qu'un mécanisme de pure diusion n'expliquait pas les temps de récupéra-tion de la uorescence de plusieurs minutes observés expérimentalement. Deux mécanismes pouvaient expliquer ces temps typiques : un coe cient de diusion faible dans la phase à haute densité en protéines ParB ou des barrières d'éner-gie à la frontière des complexes. Nous avons illustré ces deux scénarios grâce à un modèle phénoménologique basé sur la résolution d'une équation de Smolu-chowski permettant de mimer in silico l'expérience de photoblanchiment. Une modélisation plus audacieuse nous a mené à considérer un modèle de gaz sur réseau à plusieurs espèces. Cette approche de cinétique thermodynamique hors équilibre permet de montrer que l'existence de deux complexes ParBS stables était impossible sans l'activité d'hydrolyse de l'ATP des protéines ParA, sous l'hypothèse que les complexes ParBS résulte d'une séparation de phase. Nos si-mulations montrent un mécanisme d'équilibrage des complexes ParBS lorsque l'hydrolyse de l'ATP par les protéines ParA est activée. L'intégration de ce mécanisme de maintien de deux complexes ParBS nous a permis de retrouver les courbes expérimentales des transferts de uorescence pour un coe cient de diusion de la phase haute occupation faible. Nous avons nalement explicité les liens entre la cinétique des protéines ParA et ParB et la dynamique du système de partition, c'est-à-dire la ségrégation des séquences parS, et proposé un scénario pour cette ségrégation. Les protéines ParA et l'hydrolyse de l'ATP sont les ingrédients essentiels de l'existence de deux complexes ParBS stables et leur ségrégation dans l'espace. Les mécanismes d'inversion de la maturation d'Ostwald et du positionnement des complexes sont consubstantiels. Ils sont les résultats des interactions entre protéines ParA et ParB et de l'hydrolyse de l'ATP par les protéines ParA et accéléré par les protéines ParB.
Notre première approche, très simple, permet de juger si des temps de recouvrement de uorescence sont expliqués par de la pure diusion. Les ex-périences de photoblanchiment pourraient ainsi être un test pertinent pour caractériser les séparations de phases. La deuxième approche est une approche intermédiaire : facile à résoudre numériquement, elle possède un nombre mi-nimal de paramètres. Notre protocole de photoblanchiment in silico, correcte-ment calibré à l'aide de données expéricorrecte-mentales, doit permettre de véri er un
nombre conséquent d'hypothèse théorique. Notre dernière approche ore l'op-portunité d'étudier la cinétique des protéines sur l'ADN, qu'elles subissent des séparations de phase ou non. Nous avons montré que ces équations cinétiques sont une généralisation des équations de réaction-diusion : des eets de sépa-ration de phase et de réaction-diusion peuvent être intégrés dans une seule et même équation. Cette approche théorique, très détaillée, permet d'explorer complètement l'espace des paramètres d'un système biologique et de prédire les rôles des éléments impliqués. Ce type d'approche analytique résolue nu-mériquement permet de prédire de le comportement des systèmes mutants en modi ant les valeurs de paramètres bien choisis. Notre étude à deux dimensions pourrait s'avérer pertinente pour les systèmes de protéines membranaires tels que le système MinCDE. En n, ces travaux, loin de se restreindre à la biologie, pourraient s'avérer utiles dans l'étude des systèmes colloïdaux synthétiques.