Fonctions potentiel ` a support global

Ces fonctions potentiel, quand elles sont bien d´efinies, ont une valeur maximale au “centre” de l’objet et tendent vers −∞ lorsque l’on s’´eloigne `a l’ext´erieur de l’objet. Pour donner un exemple simple, la sph`ere de rayon r et de centre p0 peut ˆetre d´efinie par V = {p ∈ R3

\ f(p) = r2

−kp − p0k2 2

≥ 0} ou par V = {p ∈ R3

\f(p) = r −kp − p0k2 ≥ 0} si l’on peut payer le surcoˆut de calcul que demande l’´evaluation de la racine carr´ee. Beaucoup de primitives de ce type aux formes diff´erentes ont ´et´e propos´ees dans la litt´erature comme les superquadriques [Bar81], les ratioquadriques [BS96], les primitives d’extrusion [CBS96, Gri99] et les primitives `a squelette sous la forme V = {p ∈ R3

\ f(p) = r − dist(p − Q) ≥ 0} o`u dist est la distance euclidienne, Q est une primitive g´eom´etrique appel´ee squelette (point, segment de droite, courbe, polygone, etc) et r est la distance entre la surface et le squelette. Suivent des fonctions potentiel reconstruisant glo-balement ou localement des nuages de points. Les surfaces implicites variationnelles utilisant des fonctions de base `a support global (RBF) [TO99, Isk02], une variante interpolant des normales en compl´ement des points reconstruits [MGV09], les “point set surfaces” (PSS) [AA03, AK04] et une variante plus stable utilisant la projection sur des sph`eres (APSS) [GG07].

Ainsi, des surfaces aux formes tr`es vari´ees peuvent ˆetre cr´e´ees et pour mod´eliser des objets complexes, la puissance des surfaces implicites r´eside dans la capacit´e `a d´efinir des op´erateurs de composition bool´eenne avec ou sans m´elange de fa¸con fonctionnelle. Les propri´et´es fondamen-tales des op´erateurs de composition s’appliquant aux fonctions potentiel `a support global ont ´et´e pr´esent´ees par Rockwood [Roc89] en mˆeme temps qu’il pr´esentait une s´erie d’op´erateurs de m´elange binaire utiles en CAO. Plus tard, Pasko et al. [PASS95] introduit les “R-functions” [Rva63]

5.2. Fonctions potentiel `a support global

(a) (b) (c) (d) (e)

Fig. 5.2 – Illustration des iso-surfaces dans une coupe 2D apr`es l’application d’un op´erateur g (a,b,c) d’union et (d,e) de m´elange sur deux fonctions potentiel sph´eriques `a support global. La fonction r´esultante est positive dans la zone blanche et n´egative dans la zone bleue. (a) g = max(x, y) [Ric73], notons la discontinuit´e de d´eriv´ees premi`eres `a l’ext´erieur de la surface. (b) Union propre de Pasko et al. [PASS95]. Maintenant la fonction potentiel r´esultante est de continuit´e au moins C1

en dehors de la surface. (c) Union propre de Barthe et al. [BDS+

03]. En compl´ement les variations des iso-surfaces de la fonction potentiel sont bien plus r´eguli`eres. (d) M´elange de Pasko et al. [PASS95]. La fonction potentiel pr´esente de fortes distorsions. (e) M´elange de Barthe et al. [BDS+

03]. Les variations de la fonction potentiel sont r´eguli`eres et fid`eles `a la forme de la surface finale.

comme outil pour d´efinir des op´erateurs de composition sans m´elange (op´erateurs bool´eens clas-siques), mais produisant des fonctions potentiel de continuit´e au moins C1 partout en dehors de la surface (figure 5.2(b)). C’est l’occasion d’ouvrir une petite parenth`ese - une “R-function” n’est pas une fonction r´eelle ou encore de Rn → Rm. C’est une fonction de Rvashev (Rvashev function) qui est une fonction qui ne peut changer de signe que si et seulement si l’un de ses arguments change de signe. Par exemple g(x, y) = max(x, y) est une “R-function” - fermeture de la parenth`ese. Cette propri´et´e est n´ecessaire pour assurer que la nouvelle surface issue de la composition pourra par la suite ˆetre assembl´ee `a une autre surface avec un m´elange lisse (fi-gure 5.3(a)-bas). En effet, la continuit´e de f = g(g0(f1, f2), f3) sera C0

si le m´elange produit par g traverse la zone C0

de f4= g0(f1, f2). Ceci cr´ee une arˆete ind´esirable dans la surface correspon-dant au m´elange (figure 5.3(a)-haut). Les op´erateurs permettant d’´eviter cette arˆete ind´esirable sont appel´es “union (intersection ou diff´erence) propre”. Pasko et al. [PASS95] propose aussi une extension de leurs op´erateurs “propres” pour cr´eer un m´elange lors des compositions bool´eennes (figure 5.2(d)).

J’ai commenc´e `a travailler sur la composition des surfaces implicites en septembre 1996, en stage de Master deuxi`eme ann´ee sous la direction de V´eronique Gaildrat, en prenant la suite des travaux de Nilo Stolte qui venait de finir sa th`ese et de quitter Toulouse [Sto96]. Quand on mod´elise des objets complexes avec des surfaces implicites, on est amen´e `a effectuer un grand nombre de compositions et la qualit´e du contrˆole ainsi que la correspondance au r´esultat attendu par l’utilisateur d´epend ´enormement des propri´et´es des fonctions potentiel g´en´er´ees par les op´erateurs. Ce propos a par exemple ´et´e illustr´e figure 5.3(a). Durant ma th`ese, j’ai commenc´e `a ´etudier le fonctionnement th´eorique des op´erateurs de composition binaire et le lien qu’il y a entre la forme de l’op´erateur g :R2

→ R et la fonction potentiel obtenue lorsque l’on compose deux fonctions potentiel avec g : f = g(f1, f2). Suite `a ma soutenance de th`ese en septembre 2000, j’ai continu´e `a travailler sur ce domaine et j’ai finalis´e la premi`ere partie de cette recherche pendant mon post-doctorat `a Cambridge. Ce fut aussi l’occasion de commencer une collaboration avec Brian Wyvill [BDS+

03] (section 7.3.1). Une conclusion de ce premier travail th´eorique est que les op´erateurs tels qu’ils sont d´efinis de fa¸con g´en´erale permettent de

(a) (b)

Fig. 5.3 – (a) Une troisi`eme sph`ere est m´elang´ee `a l’union de 2 autres. En haut, si l’union est r´ealis´ee avec un op´erateur comme celui illustr´e figure 5.2(a), une arˆete ind´esirable est produite au milieu du m´elange. En bas, si un op´erateur comme celui illustr´e 5.2(b,c) est utilis´e, le m´elange est lisse, comme d´esir´e. (b) En blanc, l’int´erieur des objets et en bleu l’ext´erieur. Illustration de l’application de diff´erents op´erateurs g(x, y) sur deux fonctions potentiel cylindriques orthogo-nales. En haut, de gauche `a droite, l’union avec m´elange, l’intersection avec m´elange, et les deux diff´erences avec m´elange. En bas, des op´erations diff´erentes produites par des op´erateurs g aux formes plus exotiques.

produire des r´esultats bien plus vari´es que les simples op´erateurs de composition bool´eenne, avec ou sans m´elange (figure 5.3(b)). Plus int´eressant d’un point de vue th´eorique, ces travaux nous apportent une compr´ehension tr`es fine du lien qu’il existe entre op´erateurs et fonctions potentiel produites. Ils nous permettent de travailler sur la construction d’op´erateurs g, non pas `a partir d’´equations et du r´esultat qu’elles produisent, mais, dans un premier temps, `a partir du graphe des op´erateurs produisant les propri´et´es souhait´ees sur les fonctions potentiel compos´ees, puis dans un deuxi`eme temps, sur les ´equations qui vont permettre de se rapprocher au mieux du graphe ad´equat pour g. En compl´ement de curiosit´es th´eoriques (figure 5.3(b)-bas), nous avons cr´e´e des op´erateurs de composition bool´eenne avec et sans m´elange dont la taille et la forme du m´elange est facilement contrˆolable par un utilisateur. De plus, nos op´erateurs produisent des fonctions potentiel ayant peu de distorsions et des variations plus fid`eles `a la forme de la surface finale (figures 5.2(c),(e) et figure 5.3(b)-haut). Ces op´erateurs de m´elange sont ceux qui ont ´et´e utilis´es dans le logiciel de mod´elisation par esquisses `a base de fonctions implicites variationnelles propos´e par Karpenko et al. [KHR02].

En finissant ces travaux, j’ai aussi eu une r´eflexion personnelle sur l’int´erˆet de travailler sur les surfaces implicites `a support global. En effet, l’un des d´esavantages des surfaces implicites est la difficult´e que l’on a `a les visualiser en temps interactif lors de la mod´elisation surtout quand l’objet commence `a ˆetre complexe. Lorsque l’on visualise une surface implicite, la majeure partie des temps de calcul est consacr´ee `a l’´evaluation de la fonction potentiel repr´esentant l’objet final. Cette fonction est le r´esultat de la composition par les op´erateurs gi des primitives de base fi