Fonctions de distribution des paramètres d’entrée

Les distributions de probabilité des paramètres d’entrée P(X) peuvent être définies à l’aide de la littérature scientifique, de l’expertise, de séries de mesures ou de diverses méthodes d’es-timation qui ont été mentionnées en section 1.4.3.1. Quelle que soit la méthode retenue, cette étape délicate inclut presque toujours une part de subjectivité où des choix arbitraires sont nécessairement effectués.

Le principe de maximum d’entropie permet d’attribuer une distribution de probabilité à un paramètre dont on a une connaissance imparfaite. Cette méthode consiste à identifier les contraintes connues (par exemple par expertise) auxquelles cette distribution doit répondre (étendue, moyenne, écart-type, etc), et de choisir ensuite, parmi toutes les distributions qui répondent à ces contraintes, celle qui possède la plus grande entropie au sens de Shannon, i.e celle qui apporte le maximum d’information. Ainsi, la distribution retenue est la moins arbitraire (la plus vraisemblable) de toutes celles que l’on pourrait utiliser.

Le principe du maximum d’entropie préconise l’utilisation de la loi (i) gaussienne si la moyenne et l’écart-type du paramètre sont connus et que sa plage de variation est non bor-née, (ii) exponentielle si la moyenne du paramètre est connue et si sa plage de variation est bornée ou semi-bornée, (iii) uniforme si la plage de variation du paramètre étudié est bornée et qu’il n’y a pas de valeurs jugées plus vraisemblables que d’autres (pour ne pas «favoriser» ou «défavoriser» une zone de l’intervalle de variations sans raison physique explicite).

À titre d’illustration, la figure 3.25 présente des exemples de distributions couramment ren-contrées dans la littérature.

Figure 3.25 – Exemple de distributions couramment rencontrées.

L’analyse d’incertitude réalisée ici fait intervenir les 6 paramètres afr, T0, aT, au, hv et ◊, déterminés comme influents lors de l’analyse de sensibilité (voir section 2.3). Le contexte de l’analyse d’incertitude est le même que celui de l’analyse de sensibilité, à savoir étudier l’émis-sion et la propagation du bruit d’une éolienne moderne, dans des conditions de vent portant (downwind), et en présence d’un sol dont les propriétés d’absorption acoustique sont représenta-tives des sols usuellement rencontrés dans le cadre éolien, cadre pour lequel le métamodèle a été construit et validé (voir section 3.1). Les distributions choisies pour les 6 paramètres considérés sont présentées ci après.

La résistivité du sol afr

La valeur minimale et la valeur maximale de la résistivité du sol (ou résistance au passage de l’air) a_fr sont définies pour couvrir la plage d’absorption acoustique des sols usuellement rencontrés dans le contexte éolien ; dans ces travaux elles sont respectivement 50 kN·s·m≠4 et 5000 kN·s·m≠4 (voir section 2.3.2).

Par ailleurs, les plages de valeurs caractéristiques du paramètre afr pour les différentes typo-logies de sols présentes dans la littérature possèdent toutes une dispersion importante [Embleton

et al., 1983; Nicolas et Berry, 1984; Carpinello et al., 2004; Attenborough et al., 2006], avec une

distribution qui n’est pas uniforme dans un intervalle donné, traduisant les variabilités spa-tiale et temporelle de ce paramètre, ainsi que les incertitudes expérimentales (métrologiques et méthodologiques) relatives à sa mesure [Ecotière et al., 2015; Attal, 2016; Attal et al., 2019].

L’expérience acquise par l’UMRAE au cours de ses travaux passés concernant le dévelop-pement d’un matériel de mesure in situ d’absorption acoustique de sols de l’environnement

[Bérengier et Garai, 2001] et dans la caractérisation acoustique de ces sols [Gauvreau, 2013; Faure, 2014; Guillaume et al., 2015], notamment au cours d’études récentes [Ecotière et al., 2018 ; Kayser et al., 2018], a permis d’identifier la bande de valeurs [200 ; 1000] kN·s·m≠4 comme étant des valeurs plus fréquentes dans le contexte éolien, ce qui correspond à des sols allant

de la typologie «champ fraîchement labouré» (¥ 200 kN·s·m≠4) à des sols de typologie «terre

compactée» (¥ 1000 kN·s·m≠4). Le lecteur pourra se référer au tableau 2.2 pour plus de détails quant aux valeurs de résistivité du sol (ou résistance au passage de l’air) caractéristiques des différentes typologies de sol.

En outre, peu d’informations sont disponibles dans la littérature sur la forme de la distribu-tion recommandée pour la résistivité du sol. On peut citer l’ouvrage [Ostashev et Wilson, 2015] qui préconise une distribution lognormale, ou les travaux de [Hart et al., 2016] qui utilisent une distribution beta.

Dans ces travaux, une distribution lognormale est utilisée dans l’intervalle [50 ; 5000] kN·s·m≠4,

où davantage d’importance est ainsi donnée aux valeurs [200 ; 1000] kN·s·m≠4. Les paramètres

de la distribution lognormale ont été ajustés empiriquement pour obtenir les caractéristiques dé-crites ci-dessus. La distribution ainsi obtenue pour le paramètre a_fr est présentée en figure 3.26 pour lesquels les paramètres sont µ = 6.3 et ‡ = 2.3.

La température atmosphérique de surface T0

La propagation d’incertitude se veut représentative des conditions de température rencon-trées dans les pays à climat tempéré, quelle que soit la saison. La valeur minimale et la valeur

maximale de la température atmosphérique de surface T0 retenues sont respectivement de 0¶C

et 30¶C (section 2.3.2), et la distribution est choisie uniforme dans cet intervalle, afin de ne pri-vilégier aucune condition particulière et de ne pas se limiter au climat d’une région spécifique. Ceci peut cependant conduire à une surestimation des incertitudes concernant ce paramètre. La figure 3.26 présente la distribution finalement obtenue pour le paramètre T0.

Le coefficient du gradient vertical thermique aT

L’intervalle de variation du coefficient du gradient vertical thermique aT est choisi pour être représentatif des conditions présentes aux latitudes européennes. Les bornes minimale et maximale de l’intervalle sont définies à l’aide des valeurs caractéristiques du flux de chaleur sensible et de la vitesse de friction qui sont accessibles à la mesure, et entrent en jeu dans le

calcul du coefficient aT [Heimann et al., 2007]. La distribution retenue est uniforme pour ne

privilégier aucune condition particulière. La figure 3.26 présente la distribution ainsi obtenue pour le paramètre aT.

Le coefficient du gradient vertical aérodynamique au

La plage de variation du coefficient du gradient vertical aérodynamique au a été choisie

précise reviendrait à considérer la distribution des vitesses de vent d’un site pour évaluer la distribution de ce paramètre. Cependant, l’approche adoptée dans ce travail ne se limitant pas à un site particulier, une distribution uniforme est retenue, afin de ne privilégier aucune condition d’émission acoustique ou de propagation acoustique en termes d’influence du vent. La figure 3.26 présente la distribution retenue pour le paramètre au.

La hauteur de végétation hv

Les hauteurs de végétation hv retenues sont représentatives des faibles hauteurs de végéta-tion, à savoir la présence de champs en jachère, de champs cultivés ou de végétation de taille modérée. Les bornes minimale et maximale de la hauteur de végétation ont été choisies en conséquence et sont respectivement 0 m et 1 m (section 2.3.2). Enfin, la distribution retenue est uniforme dans cet intervalle car aucune valeur de hauteur de végétation n’a été jugée plus vraisemblable qu’une autre. La figure 3.26 présente la distribution retenue pour le paramètre

hv.

L’angle de propagation ◊

L’angle de propagation ◊ est l’angle entre la direction du vent et la direction source-récepteur. Bien qu’il y ait parfois des directions de vent dominantes sur certains sites éoliens, l’approche adoptée ici ne se veut pas représentative d’un site en particulier. De plus, étant donné que ces travaux considèrent les conditions de vents portants (section 2.3.2), et compte tenu des conditions de symétrie autour de la direction principale de vent portant, la distribution de l’angle ◊ retenue est uniforme entre 0¶ et 90¶. La distribution de ◊ est présentée en figure 3.26.

Résumé

La figure 3.26 présente un récapitulatif des bornes et des distributions finalement obtenues pour les 6 paramètres de l’analyse d’incertitude.

Figure 3.26 – Bornes et lois de distributions obtenues pour les 6 paramètres de l’analyse d’in-certitude.

L’étape suivante de l’analyse d’incertitude consiste à propager l’incertitude des entrées X pour caractériser la variabilité des sorties y du modèle, approchées par le métamodèle (sec-tion 3.1). La sec(sec-tion 3.2.3.2 détaille la technique d’échantillonnage utilisée dans cet objectif.