5. Toute fonction convexe positive majorée par f+, est s.ci.
Commençons par quelques lemmes .
LEMME 2.2.1. - Soit g une fonction convexe sur un espace vectoriel E. Pour tout scalaire X#>[o,lJ et tout x^EjOn a : g(Xx)-g(o) ^ *[g(x)-g(o)J •
En effet, il suffit d'écrire l'inégalité de convexité aux points x et о affectés des coefficients X et (1-Х).
LEMME 2.2.2. - Soit f une fonction convexe sur un espace vectoriel E.
L'ensemble Q 'f = ( x c E / f(x)-f(o) ^ i } est convexe et absorbant.
En effet, la convexité de Q 'f est évidente et le lemme 2.2.1 prouve que Q1^ est absorbant dans J c'est un voisinage de 0 pour la topologie localement convexe la plus fine sur E? il est donc aussi absorbant dans le cas où К • С.
Précontinuité et topologie de Mackey • . •
LEMME 2.2.3. - Soit f une fonction convexe sur un e.V.t. E . Pour que f soit continuetil faut et il suffit que Q 'f soit un voisinage de u.
C'est immédiat.
Etablissons le théorème. Remarquons D'abord queysur Eyles formes linéaires qui sont continues pour L'une des trois topologies suivantes : celle de E ; o(E,Ef) 9 T(E,E')/sont exactement les mêmes [ i v ] .
La remarque 1.7.4 et les lemmes 2.2.2, 2.2.3 prouvent que 1 ^ 2, si l'on démontre que 1 entraine la propriété suivante :
Toute forme linéaire réelle DE E, majorée par 1 sur Q'^, est continue.
Soit donc 4>cE* telle QUE Stety soit majorée par 1 sur Q'^.
pour tout x € E ^ Q 'f on a f(x)-f(o) > 1 *, posons X. [f (x)-f (o)^ = 1 , C E qui définit Xc]0,lj ; L E lemme 2.2.1. prouve que f(Xx)-f(o) < I ,
c'est-à-dire QUE X x ^ Q ' ^ et donc áte<J>(x) ^ -y * f(x)-f(o), soit (!) f(o) + & > <t>(x) < f(x).
pour tout x ç Q 'f /o n a f(x)-l+ 3te <J>(x) * f(x).
Faisons provisoirement l'hypothèse supplémentaire que f est minorée.
Cela nous donne^pour tout x € Q ' ^ :
(2) a-1 • A E 4>(x) 4 f(x) / où a minore f.
Conme a f(o), les relations (1) et (2) montrent queypour tout x c E , o n a : A E <|>(x) ^ f(x) , c'est-à-dire que <J> p r2 ftf et donc <fr est continue, par définition de la précontinuité, si 1 est vrai.
Revenons maintenant au cas général (f non nécessairement minorée, mais précontinue).
Soit (a,<J>) é Çlç , donc <j> continue par hypothèse. Nous avons a f^où f - f - 3 U <t>. La fonction f, est une fonction convexe précontinue car on voit immédiatement que p r2 fl^ « p r2 Çl^ - 4> et donc que p r2 ft^ C E ' .
On en déduit que f^ est précontinue et minorée par a! on peut lui appliquer le résultat déjà établi; donc fj est continue pour la topologie de Mackey, ce qui entraine que f « f. • <j> l'est aussi. Donc 1 2.
Précontinuité et topologie de Mackey . . .
76
Soit g une fonction convexe sur E, majorée par f. Si 2 est vérifié, alors ft C E * E'; donc g est précontinue et à fortiori s . c i . Donc 2 ^ 3 . Par ailleurs 3 l^car une fonction linéaire affine réelle s . c i . est continue (parce que son opposée est une fonction convexe s . e s . ) .
Donc 1,2,3 sont équivalents entre eux. De plus/si f est convexe^ il en est de même de f* ; comme la continuité de f+ pour î<E,Ef) est équivalente à celle de f, on en déduit que 4 est équivalent aux énoncés précédents.
En appliquant maintenant l'équivalence de 1 et 3 à la fonction f* , on voit que 4 *=d^ 5. Nous établirons que 5 ^ > 1 au moyen du :
LEMME 2.2.4. - Une fonction linéaire affine, réelle, sur un e.v.t. E est continue dès que sa partie positive est s.ci.
En effet, on peut se limiter au cas où K = R ; soit g = a+<f> ,<J> € E * , une fonction linéaire affine sur E réel. On suppose (a+$)+ s . c i . Posons Q = { x € E / g*(x) > o} =* { x * E / g ( x ) » 0} » { x « E / - (j,(x) < a) Puisque g* est s.c.i; l'ensemble Çl est un ouvert de E.
Si Çl * 0; c'est que | ^ - a et la fonction convexe $ est continue (d'ailleurs cela entraine ici <J> = 0)
Si ft ^ 0 y la fonction convexe - 4 est majorée par a sur Q, elle est donc continue (II p. 60). D'où la conclusion.
Achevons alors la démonstration du théorème. Si 5 est vérifié, pour tout (a,<}>)e ftj nous avons :
a+ &e<f> f, donc (a+ &e<j>)* < f* > ce qui entraine (a+ J l e $ )+ s.c.i%
et donc «frCeE', d'après le lemme 2.2.4.«
REMARQUE 2.2.5. - Le théorème 2-2 étend aux fonctions convexes en général 1 * propriété des sous-normes (Exemple 2.1.1). Ainsi un espace de Mackey est u n e l c sur lequel toute semi-norme (resp. : 'fonction convexe) précontinue est continue. Propriété caractéristique.
Précontinuité et topologie de Mackey • • •
REMARQUE 2 . 2 . 6 . - Le lemme 2 . 2 . 4 peut être complété par la propriété suivante : Une fonction linéaire affine sur un e.v.t. E, est continue dès
que son module est s . c i . En effet, si l'on pose g * a+ 4> , < J > * E * A * g- ,( o ) , on a A « { x € E / |g|(x) 0 } = {XC E / 4>(x) « -a) .
REMARQUE 2 . 2 . 7 . - Si f est une forme sous-linéaire (resp. sous-norme) (resp. semi-norme), on peut remplacer dans l'énoncé du théorème 2 - 2 , au
point 3 , l'expression "toute fonction convexe" par "toute forme sous-linéaire"
(resp. "toute sous-norme") (resp. "toute semi-norme").
En effet, il suffit de prouver que 3 implique toujours 1; pour cela on remarque que, si a + <j, <: f, ^ c ^ o n a aussi <i < 6F et « ( 6F) * .
Si f est sous-linéaire alors f = ef (Remarque 1 , 3 . 6 ) , comme <|> est une forme sous-linéaire, 3 implique \l> s . c . iv donc continue. Si f est une sous-norme, on a f * f * ( 6f) et, comme est une sous-norme, 3 implique i>* s.ci.%
On conclut dans ce cas avec le lemme 2 . 2 . 4 . Enfin, si f est une semi-norme, si a • Sie <f> f, avec M Ef on a |*| « f (définition de f et remarque 1-6) e^comme f =• f dans le cas où f est une semi-norme, on voit que |<J>| , qui est aussi une semi-norme, est s< f. On conclut dans ce dernier cas avec
la remarque 2 . 2 . 6 .
PROPOSITION 2 . 3 . - Pour qu'une forme sous-linéaire t sur un e.v.t. E y
le préoontinuité de f et de f sont équivalentes.
En effet, il suffit d'appliquer le théorème 2-2 et la propriété 1-6-3 (si E est réel f « f1*) en remarquaunt qu'ici f « 6F •
REMARQUE 2 . 3 . 1 . - La forme sous-linéaire s et la sous-norme r de l'exemple 2 . 1 . 2 ne sont pas précontinues puisque r - s n'est pas précontinue, conme il a été prouvé dans cet exemple.
Précontinuité et topologie de Mackey . • .
REMARQUE 2.3.2. - Il existe des fonctions convexes f qui ne sont pas des s/
formes sous-linéaires et pour lesquelles la fonction f associée est partout V
finie y f est alors une semi-norme (Corollaire 1.5.1). La proposition 2-3 ne s'étend pas à ces fonctions, comme le prouve l'exemple suivant . EXEMPLE 12.3.3.- Soit E un espace vectoriel norme, réel, sur lequel il
existe une semi-norme p qui est s . c i . et non continue (par exemple, 2.1.2), On a :
p = 0p = p = sup<}> = sup|<j>| pour <J>«pr2 ft'p (Remarque 1.2.2,, Proposition 1-3, remarque 1.3.2).
Pour tout <j>*E', posons | | <j> | | = sup|<j>(x)| pour x appartenant à la boule unité de E. A tout <|>€E' associons alors la fonction linéaire affine
= $ "||*'|| qui est négative ou nulle sur la boule unité B de E.
Considérons alors l'enveloppe supérieure f de la dfamille des L pour
2 P
Sur B, f est majorée par 0. Donc la fonction convexe f est continue (VI p. 60).
s/
La proposition 1-3 appliquée à f montre que f = p. Mais p n'est pas continue par hypothèse; elle n'est donc pas non plus précontinue
(Remarque 2-2-5)y car E est un espace de Mackey (III p. 7 1 ) .
CONCLUSION. - Nous avons construit une fonction convexe continue f (donc v
précontinue) pour laquelle f est une semi-norme qui n'est pas précontinue.
Cependant nous avons la :
v
REMARQUE 2.3.4. - Soit f une fonction convexe sur un e.v.t. E telle que f soit une semi-norme (corollaire 1.5.1.) Montrons que^si f est s.ci.,il en est de même de 8- et f •
La relation f(x) » sup 8^(Àx), qui est valable dans tous les cas (remarques 1.3.2. et 1-6), mon qu'il suffit d'étudier le cas de 8f. Or la proposition
Pré continuité et topologie de Mackey • • .
S III. E S P A C E S P R E T O N N E L E S .
PROPOSITION 3.1. - Soit E un e.v.t. Les énoncés suivants sont équivalents : 1. Toute semi-norme s.c.i. est précontinue .
2. Toute fonction convexe s.c.i; est précontinue .
3. Toute fonction convexe majorée par une fonction convexe s.c.i. est elle mêftie s.c.i. *
4. Toute semi-norme majorée par une semi-norme s.c.i. est elle-même s.c.i..
En effet, d'une part 2 et 3 sont équivalents (Théorème 2-2) et d'autre part 1 et 4 sont équivalents (Remarque 2.2.7)*Comme il est évident que 2 = ^ 1 , il reste à prouver que 1 = ^ 2. Soit f une fonction convexe s.c.i.«L'ensemble Q1^ « {x eE/f (x)-f (o) 4 1} est convexe, absorbant (lemme 2.2.2) -et fermé dans E. On en déduit que Qf = Q 'fA ( - Q ' ^ ) est un tonneau de E^', sa jauge p est une semi-norme s.c.i. de E^, donc une sous-norme s.c.i. de E. La fonction
$ est donc une semi-norme de E (si E est réel p = p) et elle est s.c.i.•
(Remarques 2.3.4 et 1.7.2) par hypothèse,^,est donc précontinue; il en est donc de même de p qui est ainsi continue pour £(E,E') (théorème 2.2); de sorte que et Q'^ sont des voisinages de o pour T(E,E'). On en déduit que f est continue pour cette topologie (lemme 2.2.3), donc précontinue
(Théorème 2!2).
REMARQUE 3.1.1.- Si E est un e.l.c.yles énonces de la proposition 3-1 sont encore équivalents à la propriété suivante :
Les conditions (A) et (B) du préambule du § II sont équivalentes entre elles (pour toute fonction convexe f ) .
DEFINITION 3.2. - On dit qu'un e.v.t.E est prétonnelé si l'un des énoncés de la proposition 3.1 est vrai.
REMARQUE 3.2;1. . - Il est clair qufun espace tonnelé est prétonnelé.
Pré continuité et topologie de Mackey • • .
80
REMARQUE 3.2.2. - Un espace prétonnelé est un e.v.t. sur lequel la s . c i . est héréditaire à gauche pour la relation entre les fonctions convexes
(Propriété caractéristique).
PROPOSITION 3.3. - Un espace de Mackey est prétonnelé si et seulement
±'il est tonne lé.
En effet, c'est une conséquence de la définition et de la remarque 2.2.5, REMARQUE 3.3.1. - La proposition 3-3 s'applique en particulier aux espaces localement convexes métrisables ainsi qu'aux espaces infratonnelês qui sont toujours des espaces de Mackey (III p. 71 et IV p. 142).
EXEMPLE 3.4. - Soit C o l'espace de Banach des suites infinies de complexes qui tendent vers zéro, muni de la norme de t : ||(x ) | | = sup |x | . O n
sait que le dual de C0 s'identifie à l'espace des suites infinies de complexes (a I 1)n €| q telles que la série Z an soit absolument convergente
(III, p. 5 6 , exercice 1 ) . La norme de Co est s.c.i. pour la topologie dfaible o(Co,^j) de C o , elle est même précontinue pour cette topologie faible, puisque la topologie de C0 est évidemment la topologie de Mackey de o(Co,^j) (Parce que C0 est un Banach, donc un espace de Mackey ; C 0 est
d'ailleurs tonnelé et o(Co,-/j) est une topologie prétonnelée). Définissons unt une fonction convexe f sur C o par :
f [ Un ) ] = l l (x n) | | " 2 î cette fonction convexe est précontinue pour o ( C0» ^ j K montrons que |f| n'est pas s.c.i. pour cette topologie
(elle est continue sur C o ) . Il suffit de prouver que
A « { ( x ^ ) « C0 / |||(x )||-2| ^ 1} n'est pas fermé pour la topologie
faible (ce qui prouvera d'ailleurs que cetre topologie faible est distincte de celle de Cc et donc que la topologie a ( C0, ^ j ) est une topologie prêtonneltt non tonnelée). On a évidemment A « { ( xn) * C0/ l | | ( Xr) | | ^ 3 } et o (k x#
Montrons que 0 est faiblement adhérent à A.
Précontinuité et topologie de Mackey • • .
Soient e > 0 et Y.,...,Y des éléments Jt^ il existe
un entier mc tel que si l'on pose « ^а£ ^П4 Ц > on an > nc | a? | ч< e pour tout i = 1,2,...,p. Définissons maintenant l'élément (x^) de c0 par x « о si n ^ mc et x 8 I. On a pour tout Y. , i « 1,2,.,. p et cet
П ШО X
élément X = (xn>. < X , Y ^ = e xRa ? = a?° (III p. 56 exercice 1) et donc
|<ХД£>| ч< e pour tout i . Ce qui suffit, puisque X S A , la norme de X étant égale à 1 .
CONCLUSION. - On a construit sur un espace localement convexe prétonnelé (et non tonnelé) une fonction convexe précontinue f (et non continue) telle que |f| ne soit pas s . c i .
Par contre nous avons :
PROPOSITION 3.5. - Soit f une fonction convexe sur un espace prétonnelé E. Si |f| est s.ci. alors f est précontinue (en particulier f est 8. C.i.) .
Mous utiliserons deux lemmes.
L O M E 3.5. К - Soit f une fonction convexe sur un espace vectoriel E . On pose : Q£ = {xC E/| f (x)-f (о) | « 1} • Alors on a
Q^ r t( - Q P - Q J A ( - Q F ) (Lemme 2.2.2).
Ep. effet, l'inégalité de convexité prouve que pour tout x с E on a : 2 f(o) « f(x)+f(-x) et donc -|f(-x)-f(o)| <f(x)-f(o). On en déduit que
rt(-Qf)CQf C Q £ . D'où la conclusion.
LEMME 3.5.2. - Si une fonction convexe non constante3 f, définie sur un espace vectoriel E , ne prend pas la valeur a, alors a minore t.
En effet, on peut toujours se ramener au cas où a « o. Si f ne prend pas la valeur 0, f ne peut prendre à la fois des valeurs positives et des valeurs négatives car si cela était le cas, la continuité de f sur le
aegpent formé par deux points de E où f prend des valeurs de Bignes
contraires prouverait que f s'annule sur ce segment. Si le lemne n'était pas vrai, c'est donc que f serait partout négative.
Précontinuité et topologie de Mackey . . .
82
Le lemme 2.2.1 montre alors que pour tout A c] o , l ] on a : f(x) - f(o) X[f(y) - f(o)] VxerE
Ce qui entraine que f(x) - f(o) 4: 0 pour tout x £ E . Mais l'inégalité de convexité entraine que pour tout x :
-[f(-x)-f(o)] 4: f(x)-f(o) et donc f(x).f(o) * o.
On aurait donc f(x) = f(o) et f serait constante, contrairement à l'hypothèse.
Venons-en à la proposition elle-même. Si f ne prend pas la valeur o, le lemme 3.5.2. prouve que, ou bien f est constante, ou bien f = |f| J dans les deux cas f est s.c.i., donc précontinue^puisque l'espace est prétonnelé.
Si f prend la valeur 0, à une translation d'argument près, on peut supposer que f(o) = 0 . Dans ce cas, on a « {xeE/|f(x)| 4 1} et,par hypothèse Q'^ est fermé dans E. Le lemme 3.5.1 prouve alors que = Q £ ^ ( ~ Q p est
fermé dans E et le lemme 2.2.2^que c'est un tonneau de E^. La jauge de Q est donc une semi-norme s.c.i. de E^ ; c'est une sous-norme s.c.i. de E ^ elle est donc précontinue (E prétonnelé) et est par conséquent un voisinage de o pour x(E,E') (Théorème 2.2). On en déduit que Q£ est un voisinage de 0 pour T ( E , E' ) et le lemme 2.2.3 permet de conclure (avec
le théorème 2.2).
REMARQUE 3.5.3. - Si E est tonnelé, alors |f| s.c.i. entraine que f est continue,puisque E est alors un espace de Mackey (Remarque 3.3.1).
REMARQUE 3.5.4. - Sur un espace tonnelé une fonction convexe f est continue dès que f (resp. f*) (resp. |f|) est s.c.i. En effet pour |f|/cela résulte de la remarque 3.5.3.I pour f et f* cela résulte de la remarque 3.2.1, du théorème 2.2 et des remarques 2.2.5 et 3.3.1. On remarquera ainsi que sur un tonnelé les fonctions convexes possèdent cette même propriété que les
fonctions affines réelles sur un e.v.t. quelconque (lemme 2.2.4 et remarque 2.2.6). Sur les prétonnelésyon a la propriété analogue obtenue en remplaçant continuité par précontinuité.
Précontinuité et topologie de Mackey • . .
PROPOSITION 3 . 6 . - Soit E un e.l.c. Les énoncés suivants sont équivalents : 1. L'espace E est prétonnelé ;
2. Tout convexe fermé et borné de E^ est compact ; 3. Tout disque fermé et borné de Ef est compact ;
4. Tout enveloppe supérieure, partout finie, de formes linéaires réelles continues sur E est précontinue.
5. Toute enveloppe supérieure, partout finie, de fonctions convexes précontinues (resp : s.ci.) est précontinue.
En effet, soit B un convexe fermé et borné de E' ; il définit une o
semi-norme s.c.i. de E : p = sup|<f>| pour <f>*B. On a de plus BC p r2 Çl . Si 1 est vrai, alors p est précontinue,% donc p r2 ftpC Ef par définition 2.1.
Mais la remarque 1.7.5 montre que p r9 Q est compact dans E * , donc dans Ef , puisque E induit sa topologie sur E1 . Comme B est fermé dans E1 ,
C o o O
on voit que 1 = ^ 2 , Mais 2 c±> 3 trivialement. Montrons que 3 =5> 1 .
Soit p une semi-norme s.c.i. de E ; l'ensemble p r2 ft1 « {<j> € E ' /Sie<j> ^ p}
est un disque fermé et borné de E ^ ; il est donc compact. Mais p « sup & e * pour + • p r2 n1 (Remarque 1 . 2 . 4 ) et donc on a aussi p « p « sup|t|9 pour
• C P *2 n'p- (Remarque 1.6 ou 1.3.2 suivant le cas). On en déduit que p est continue pour T ( E , E' ) (IV p. 9 4 ) ; donc que E est prétonnelé., (Définition 3-2 et Théorème 2 . 2 ) . Comme une fonction convexe précontinue est s.c.i., la
définition 3-2 prouve que 1 = ^ 5 ; mais 5 « * 4 trivialement et la remarque 1.2.2 prouve que 5 1. Ce qui achève la démonstration.
REMARQUE 3 . 6 . 1 . Les énoncés 2 et 3 de la proposition 3-6 montrent que la qualité de prétonnelé pour un e.l.c. est une propriété du dual faible E ' .
o Dégageons-la. Remarquons que dans tout e.l.c. les convexes fermés et bornés
(et même les disques fermés et bornés) forment une base des bornés parce (parce que l'enveloppe convexe, l'enveloppe équilibrée, l'adhérence, de tout borné est un borné). On en déduit que dans tout e.l.c- séparé, les énoncés suivants sont équivalents :
Précontimiité et topologie de Mackey . • .
84
a) toute partie bornée est relativement compacte ; b) toute partie fermée et bornée est compacte ; c) tout convexe fermé et borné est compact ; d) tout disque fermé et borné est compact.
Mais les e.l.c. séparés qui vérifient a) sont par définition les y-espaces (IV p. 124). Ainsi les e.l.c. prétonnelés sont caractérisés par
la condition suivante : E1 est un /J--espace.
a
Mais E? n'est pas un e.l.c. séparé quelconque«puisque c'est un
0 4 '
espace faible, il est induit par E^ sur E', de sorte qu'une partie complète de E' est aussi complète dans E* ; on en déduit que dans E' il y a
a o o J
équivalence entre partie ocompacte et partie bornée et complète. Ainsi pour E' , les énoncés a) , b ) , c ) , d) précédents sont encore équivalents au
suivant-a') toute partie fermée et bornée est complète.
Or,cette condition caractérise les espaces quasi-complets (IV p. 138). Mais comme E' est un espace faible, E' est quasi-complet si et seulement si il est semi-réflexif (V p. 299) (c'est-à-dire si la topologie forte du dual est compatible avec la dualité, autrement dit si l'espace E^ coïncide avec son bidual).
TH20R7ME 3-7. - Soit E un e.l.c. Les énoncés suivants sont équivalents : 1. L'espace E est prétonnelé ;