IR ΓA :D+(X) D+(X). SiF →(I•, d•) est une résolution injective, on a
IR ΓAF = (ΓAI•, ΓAd•).
1.4.1. Proposition. SoitA un sous-ensemble de X.
a) Soit0→ F−→ Gα −→ H →β 0 une suite exacte. SiF est flasque, la suite 0 // ΓAF ΓAα// ΓAG ΓAβ// ΓAH //0
est exacte, et de même, en remplaçant ΓA par γA.
b) Les faisceaux flasques sur X sont ΓA-acycliques (resp. γA-acycliques).
En particulier, si
0→ F −→ P0 −−−→ Pd0 1 −−−→ Pd1 2 −−−→ · · ·d2 est une résolution flasque de F, on a
IR ΓAF =
0→ ΓAP0 −−−→ΓAd0 ΓAP1 −−−→ΓAd1 ΓAP2 −−−→ · · ·ΓAd2 , et de même, en remplaçant ΓA par γA.
c) SoitF une partie ferméede X.
i) Si F est flasque, le faisceau ΓFF est ΓA-acyclique quel que soitA.
ii) On a
IR ΓA∩F =IR ΓA◦IR ΓF . (1) En particulier, si A∩F =∅, on a IR ΓA◦IR ΓF = 0.
d) SoitU une partieouverte deX. On a
IR ΓU∩A =IR ΓU ◦IR ΓA . (2) En particulier, si A∩U =∅, on a IR ΓU◦IR ΓA = 0.
5Tout comme nous l’avons remarqué pour (a), lorsqueF est flasque, on peut relaxer les hypothèses sur l’espaceXsi l’on supposeAlocalement fermé.
e) La suite exacte0→ ΓA(_)→(_)→iX\A∗(_ X\Z) de(1.3.1-(a))donne lieu à un triangle exact de D+(X)
IR ΓA(_)→(_)→IRiX\A∗(_ X\A)→ (3) f) On suppose l’espace X localement compact et dénombrable à l’infini.
i) Si W est un ouvert ou un fermé d’un localement fermé Z de X, la suite exacte 0→ ΓW(_) → ΓZ(_) → iX\W∗ΓZ\W(_ X\W) de (1.3.1-(b)) donne lieu à un triangle exact de D+(X)
IR ΓW(_)→IR ΓZ(_)→IRiX\W∗IR ΓZ\W(_ X\W)→ (4) ii) Si Z est un localement fermé deX. On a
IRΓZ(X,_) =IRΓ(X;IR ΓZ(_)). (5) Démonstration. (a). Supposons d’abord que A est un fermé F de X. Un germe de section locale σx ∈(ΓFH)x se relève en une sectionσ ∈ΓF(V,H) pour un certain voisinageV dex. Quitte à remplacerV par un sous-voisinage de x, nous pouvons supposer qu’il existeτ ∈Γ(V,G)tel que β(τ) =σ. Mais alors, la restrictionν=τ V\F appartient au noyauΓ(V\F,F)deβet comme F est supposé flasque, ν est restriction d’une certaine section ν˜∈Γ(V,F).
Alors, τ0 :=τ −α(˜ν)∈Γ(V,G) est, par construction, à support dans F et elle relève toujours σ.
LorsqueA est quelconque, on reprend les notations de paragraphe précé-dent oùσ∈ΓA(V,H). Notons alorsS:=|σ|X l’adhérence de|σ|dansX tout entier. On a tautologiquement que σ ∈ΓS(V,H). Nous avons déjà montré qu’il existe τ0 ∈ΓS(V,G) qui relève σ. La commutativité du diagramme
ΓS(V,G)3τ_0
//σ ∈ΓS(V,H)
_
ΓA(V,G)3τ0 //σ ∈ΓA(V,H) permet alors de conclure.
(b). L’assertion (a) pourG injectif montre queIR1ΓA(F) = 0 et que IRi+1ΓA(F) =IRiΓA(H), ∀i≥1. (∗) Lorsque F est flasque et que G est injectif, le faisceau H est de nouveau flasque et (∗) permet de voir que IRiΓA(F) = 0 pour tout i≥1 par récur-rence sur i. Les faisceaux flasques sont donc bien ΓA-acycliques et le reste de l’assertion en découle.
(c). Le faisceau ΓFF est flasque (1.2.1-(c-v)), donc ΓA-acyclique par (b).
(d). Le foncteur ΓU est exact (1.2.1-(c-iv)), on aIR ΓU= ΓU et l’assertion est évidente.
(e). Résulte de l’exactitude à droite de la suite pour les flasques (cf. (5)).
(f-i) On fait appel à 1.3.1-(b) pour les flasques, mais il faut en plus justi-fier que pourI injectif, le faisceauQ:= ΓZ\W(I X\W)estiX\W∗-acyclique.
Or, lorsque Z est localement fermé, Z\W l’est encore et le faisceau Q est c-mou sur X\W (1.2.1-(c-vi)). Ceci étant, une condition suffisante pour queQsoitiX\W∗-acyclique est qu’il soitΓ(V,_)-acyclique pour tout ouvert V ⊆X\W, ce pour quoi il suffit queV soit paracompact et dénombrable à l’infini (cf. [KS1] prop. 2.5.10, p.106). L’espaceX possède ces propriétés par hypothèse et une partieY localement compacte deX est alors automatique-ment paracompacte car métrisable. Pour voir qu’elle est aussi dénombrable à l’infini, il suffit de ne considérer que le cas oùY est un ouvert strictement contenu dans X. Soit d:X → R+ une distance. Comme X est localement compact, l’application d(_,Yc) :X → R+, «distance au complémentaire de Y », est bien définie et continue. Il s’ensuit que Y est la réunion dé-nombrable des parties Yn :={y∈X |d(y,Yc)≥1/n}, clairement fermées dansX donc dénombrables à l’infini. Par conséquent, tout sous-espace fermé Y0 ⊆Y est dénombrable à l’infini.
(f-ii). Soit F →(I•, d•) une résolution injective de F. Par définition, on a IR ΓZ F = ΓZI•,etQi := ΓZ Ii estc-mou, doncΓ(X,_)-acyclique, car X est localement compact dénombrable à l’infini (loc.cit.). On a donc
IRΓZ(X,F) =ΓZ(X,I•) =Γ(X, ΓZI•)
=IRΓ(X, ΓZI•) =IRΓ(X, IR ΓZF). 1.5. Un contrexemple. Dans les assertions (c) et (d) de la dernière pro-position 1.4.1, l’ordre des termes dans les égalités (1) et (2) est essentiel. Par exemple, il est faux en général que si F est flasque, le faisceau ΓUF soit
ΓA-acyclique. Il faut donc s’attendre à une inégalité IR ΓA◦IR ΓU 6=IR ΓA∩U .
Par exemple, pourX :=R,U :=R∗ etF :={0}. On a le triangle exact fondamental 1.4.1-(e) :
IR ΓUkX →kX →IRiF∗k→ . (∗) En appliquant IR ΓF à (∗), on obtient un nouveau triangle exact :
IR ΓFIR ΓUkX →IR ΓFkX →IRiF∗k→, puisque IR ΓF◦iF∗ =iF∗.
On remarque alors que si l’on avait
IR ΓF◦IR ΓU =IR ΓF∩U = 0, on en déduirait que H{0}1 (R) = 0, ce qui est faux.
Par contre, siG:={1}, et que l’on appliqueIR ΓG à (*), on a par 1.2.2-(a) IR ΓG◦iF∗ =iF∗◦IR ΓG∩F = 0,
et donc
IR ΓGIR ΓUkX 'IR ΓGkX , ce qui est compatible au fait que maintenant on a bien
IR ΓG◦IR ΓU =IR ΓG∩U =IR ΓG puisque Gest fermédans U.
2. Limites inductives de sections à support
On note (E,) un ensembleE muni d’un ordre partiel ‘’. On rappelle que (E,)est ditfiltrant supérieurementlorsque, étant donnésx, y∈E, il existe z∈E tel que xz etyz, autrement dit, lorsque toute partie finie deE admet un majorant.
2.1. Rappels sur les systèmes inductifs
Un système inductif de R-modules indexé par (E,) est la donnée une fa-mille deR-modules{Mx}x∈E et d’une famille de morphismes deR-modules {µy,x :Mx →My}xy tels que µz,x =µz,y◦µy,x pour tous xyz. On le notera M(E,).
. . . Mx µy,x **
µz,x
''. . . My µz,y **. . . Mz . . .
Soit E0 ⊆E. Un morphisme de systèmes inductifs α de M(E0,) vers N(E,)est une famille de morphismes deR-modules{αx :Mx→Nx}x∈E0 vérifiant νy,x ◦αx =αy ◦νy,x. On le notera α:M(E0,)→N(E,).
. . . Mx
αx
µy,x **
µz,x
''. . . My
αy
µz,y. . . **Mz
αz
. . .
. . . Nx
νy,x 55
νz,x
77. . . Ny
νz,y. . . 55Nz . . .
Unmorphismeα du système inductif M(E,) vers unR-moduleN est la donnée d’une famille de morphismes deR-modules{αx :Mx→N}x∈E telle
que αx =αy ◦µy,x pour tous xy. On le noteraα:M(E,)→N.
2.2. Rappel sur la limite d’un système inductif
Une limite inductive de M(E,) est la donnée d’un R-module L et d’un morphisme de système inductif λ :M(E,) → L tel que pour tout
La limite inductive L existe et est unique à isomorphisme canonique près.
Elle sera notée lim
−→M(E,).
SoitE0⊆E. Un morphisme de systèmes inductifsα:M(E0,)→N(E,) donne toujours lieu à un morphisme de limites inductives :
lim−→α:lim
−→M(E0,)→lim
−→N(E,).
Une construction classique de cette limite la réalise comme conoyau du morphisme ξ de la suite exacte à droite
M
−→M(E,) sont alors les composées des inclusions Mx,→L
x∈EMx est de la surjection ζ.
2.2.1. Remarque.Par cette construction tout élément de lim
−→M(E,) s’ex-prime par une somme finiede la formeP
xλx(mx) avecmx ∈Mx. En par-ticulier, si E0 ⊆E et si α:M(E0,)→N(E,) est un morphisme de sys-tèmes inductifs tel que pour tout x∈E et toutnx ∈Nx, il existex0 x et nx0 ∈im(αx0)⊆Nx0 vérifiant nx =νx,x0(nx0), soit schématiquement :
M(E0,)
Le lemme suivant énonce sans démonstration des propriétés très utiles des systèmes inductifs. On pourra consulter le chapitre 2 de [KS2] pour plus de détails sur les limites.
2.2.2. Lemme. Soit M(E,) un système inductif de R-modules et notons λ:M(E,)→L:=lim
−→M(E,) sa limite inductive.
a) Supposons(E,) filtrant supérieurement.
i) Pour tout x∈E, on a m∈ker(λx :Mx →L), si et seulement si, il existe yx tel que αy,x(m) = 0.
ii) Pour tout w∈L, il existe y∈E tel que w∈im(λy).
b) Soit C•(E,) est un système inductif de complexes différentiels. Pour chaquei∈Z, on a un système inductif de cohomologie Hi(C•(E,)) et un morphisme naturel
lim−→Hi(C•(E,))→Hi(lim−→C•(E,)).
Lorsque(E,) est filtrant supérieurement, ce morphisme est un isomor-phisme.
2.3. Limites inductives de supports localement fermés. Soit A un sous-ensemble de X. NotonsΦ(X,A) l’ensemble des partiesZ⊆Aqui sont localement fermées dansX. On munitΦ(X,A)de l’ordre partiel d’inclusion
‘⊆’. On prendra garde du fait que(Φ(X,A),⊆)n’est pasfiltrant supérieu-rement en général.
Les injections canoniques ΓZ1 ,→ ΓZ2, pourZ1 ⊆Z2 ∈Φ(X,A), donnent lieu à des systèmes inductifs de foncteurs
{ΓZ}Z∈Φ(X,A) et {ΓZ(U,_)}Z∈Φ(X,A),
et l’inclusion ΓZ,→ ΓA pour chaqueZ ∈Φ(X,A), donne à son tour lieu à des morphismes naturels
{ΓZ}Z∈Φ(X,A) → ΓA et {ΓZ(U,_)}Z∈Φ(X,A) →ΓA(X,_). Par passage aux limites inductives, on a donc des morphismes naturels :
limind
Z∈Φ(X,A)ΓZ → ΓA et limind
Z∈Φ(X,A)ΓZ(U,_)→ΓA(U,_).
2.3.1. Proposition. SoitF ∈Sh(X).
a) Pour tout ouvertU ⊆X, les inclusions ΓZ(U,F),→ΓA(U,F) pour Z ∈ Φ(X,A) donnent lieu à un morphisme naturel de système inductif
{ΓZ(U,F)}Z∈Φ(X,A) →ΓA(U,F), dont le passage à la limite inductive
limind
Z∈Φ(X,A)ΓZ(U,F)→ΓA(U,F) est un isomorphisme.
b) Pour tout ouvert U ⊆X et chaque i∈Z, le morphisme naturel limind
Z∈Φ(X,A)HZi(U,F)→HAi (U,F) est un isomorphisme.
c) Le morphisme naturel de faisceaux limind
Z∈Φ(X,A)ΓZF → ΓAF est un isomorphisme.
d) Pour chaque i∈Z, le morphisme naturel de faisceaux limind
Z∈Φ(X,A)IRiΓZF →IRiΓAF est un isomorphisme.
Indication. (a). Soit Φf(U,A)l’ensemble des fermésS deU tels queS ⊆A.
On aΦf(U,A)⊆Φ(X,A). L’ensemble partiellement ordonné (Φf(U,A),⊆) est filtrant supérieurement contrairement à (Φ(X,A),⊆).
Nous disposons alors de morphismes naturels limind
S∈Φf(U,A)ΓS(U,F) θ(U)// limind
Z∈Φ(X,A)ΓZ(U,F) (U) //ΓA(U,F) , (∗) où (U) est le morphisme de l’énoncé.
Montrons que le morphismeθ(U) est bijectif.
Un élément de limindZ∈Φ(X,A)ΓZ(U,F) provient d’une famille finie de sections σi ∈ΓZi(U,F). L’ensemble S :=∪i|σi|est un fermé de U contenu dans A, doncS ∈Φf(U,A) et σi ∈ΓS(U,F). Le morphisme θ(U) est donc bien surjectif (2.2.1). Maintenant, comme le système {ΓS(U,F)}S∈Φ
f(U,A)
est filtrant, un élément de ker(θ(U))se voit comme un élément du noyau de θ(U)S :ΓS(U,F)→limindZ∈Φ(U,A)ΓZ(U,F), pour un certainS (2.2.2). Or la composée (U)◦θ(U)S :ΓS(U,F)→ ΓA(U,F) est l’inclusion canonique ΓS(U,F)⊆ΓA(U,F), par conséquentker(θ(U)) = 0.
La surjectivité de(U) relève des même raisonnements que celle de θ(U), et la bijectivité de (U) s’ensuit.
(b). On reprend la suite(∗)de la question précédente en remplaçantF par une résolution injective(I•, d•). On a donc les isomorphismes de complexes
limind
S∈Φf(U,A)ΓS(U,I•) θ(U)' // limind
Z∈Φ(X,A)ΓZ(U,I•) (U)' //ΓA(U,I•), dont on déduit, pour chaque i∈Z, des isomorphismes en cohomologie
Hi limind On construit de même des morphismes naturels
limind
S∈Φf(U,A)HiΓS(U,I•) αi // limind
Z∈Φ(X,A)HiΓZ(U,I•) βi //HiΓA(U,I•). Le morphisme βi ◦ αi = Hiθ(U) ◦ Hi(U) est un isomorphisme puisque (Φf(U,A),⊆)est filtrant (cf.2.2.2-(b)). Le morphismeαi est donc injectif. Il s’en suit queβiest bijectif si, et seulement si,αi est surjectif. Or, une classe de cohomologie delimindZ∈Φ(X,A)HiΓZ(U,F)provient d’une famille finie de i-cochaînes{ωj ∈ΓZj(U,Ii)|d(ωj) = 0}j=1,...,r. Or, pour chaquej= 1, . . . , r, on sait que ωj ∈ Γ|ωj|U(U,Ii) avec, bien évidemment, |ωj|U ∈ Φf(U,A).
Comme, d’autre part, on a des injections Γ|ωj|U(U,Ii+1)⊆ΓZj(U,Ii+1), la famille dei-cochaînes {ωj ∈ΓSj(U,Ii)}j=1,...,r est une famille de i-cocycles.
La surjectivité de αi en découle (cf. 2.2.1) et l’assertion (b) est prouvée.
(c). Comme le germe d’une limite inductive de faisceaux est la limite in-ductive des germes des faisceaux, il suffit de montrer que le morphisme
limind
Z∈Φ(X,A)(ΓZF)x →(ΓAF)x (‡) est un isomorphisme quel que soit x∈X.
D’après (a), on a des diagrammes commutatifs pour tousU ⊇V limind
où les lignes sont des isomorphismes. On en déduit un isomorphisme des limites inductives des colonnes indexées par les ouverts U 3x :
limind
U3x limind
Z∈Φ(X,A)ΓZ(U,F) 'x //limind
U3x ΓA(U,F),
ce qui, grâce à commutation des opérateurs ‘limind’ (6), donne
l’isomor-6Cf.[KS2] chap2, prop. 2.1.7, p. 39.
phisme
limind
Z∈Φ(X,A)limind
U3x ΓZ(U,F) 'x //limind
U3x ΓA(U,F), soit, l’isomorphisme (‡) cherché.
(d). On rappelle que lei-ième faisceau de cohomologie d’un complexe de faisceaux (G•, d•) est par définition
Hi(G•) = kerdi
cokerdi−1
·
C’est donc aussi le faisceau engendré par le préfaisceau U 7→HiΓ(U,G•) := kerdi(U)
cokerdi−1(U)· En particulier, pour les germes en x∈X, on a
Hi(G•)x := limind
U3x HiΓ(U,G•).
Or, d’après (b), si F →(I•, d•) est une résolution injective, le morphisme limind
Z∈Φ(X,A)HiΓZ(U,I•)−→
' HiΓA(U,I•)
est un isomorphisme dont le passage à la limite inductive suivant le système filtrant {U 3x}donne l’isomorphisme de germes
limind
Z∈Φ(X,A)(HiΓZI•)x−→
' (HiΓAI•)x, et prouve que le morphisme de faisceaux
limind
Z∈Φ(X,A)IRiΓZF = limind
Z∈Φ(X,A)HiΓZI•−→ HiΓAI• =:IRiΓAF
est bien un isomorphisme.
2.3.2. Remarques
1) La proposition 2.3.1 réduit l’étude de la plupart des propriétés des fonc-teurs ΓA pour un A arbitraire, au cas où A est une partie localement fermée Z ⊆X. Cette réduction ne doit pas surprendre dans la mesure où les supports des sections des faisceaux sur les parties ouvertes sont toujours des parties localement fermées dans X. Un exemple de telle ré-duction est l’implication
(F estΓZ-acyclique pour tout Z)⇒ (F etΓA-acyclique pour tout A) corollaire immédiat de 2.3.1-(d).
Une application systématique de 2.3.1 aurait pu simplifier bien de pas-sages des démonstrations des sections précédentes.
2) La seule difficulté dans les énoncés de 2.3.1 vient de ce que les systèmes inductifs concernés ne sont pas filtrants. Par exemple, si (Φf(X,A),⊆)
dénote l’ensemble partiellement ordonné par inclusion des parties fermées F de X tels queF ⊆A. On a Φf(X,A)⊆Φ(X,A) et l’assertion 2.3.1-(b) peut être reformulée en disant que pour tout i ∈Z, le morphisme naturel
limind
F∈Φf(X,A)IRiΓF(U,F)→IRiΓA(U,F)
est bijectif. La preuve de cette nouvelle assertion est une application presque immédiate de 2.2.2-(b), possible puisque (Φf(X,A),⊆) est fil-trant supérieurement, ce qui n’était pas le cas de (Φ(X,A),⊆).
2.4. Cohomologie à supports compacts. PourF ∈Sh(X), on définit le foncteur des sections à support compact dans X par
Γc(X,F) :={σ ∈Γ(X,F)| |σ|est compact}.
2.4.1. Lemme. Notons (K(X),⊆) l’ensemble des parties compactes de X partiellement ordonné par inclusion. Pour K1 ⊆K2,K ∈ K(X) on dispose des inclusions naturelles
ΓK1(X,_)⊆ΓK2(X,_) et ΓK(X,_)⊆Γc(X,_), d’où un morphisme de foncteurs
limind
K∈K(X)ΓK(X,_)−→Γc(X,_) (6) qui est un isomorphisme et qui induit un isomorphisme en cohomologie
limind
K∈K(X)HKi (X,_)−→
' Hci(X,_) (7)
pour tout i∈Z.
Démonstration. L’égalité (6) est immédiate. Ensuite, si F → I• est une ré-solution injective de F ∈Sh(X), on a l’égalité des complexes
limind
K∈K(X)ΓK(X,I•)−→
' Γc(X,I•),
et l’on conclut par (7) en rappelant que la cohomologie d’une limite est à la limite des cohomologies dans le cas des systèmes inductifs supérieurement
filtrants ce qui est le cas de (K(X),⊆).
2.4.2. Remarque. On prendra garde du fait que silimindK∈K(X) ΓKF est un faisceau bien défini, ses sections au-dessus d’un ouvert U ⊆X n’ont à priori aucun rapport avec Γc(U,F). Par exemple, si X est localement com-pact, le morphisme naturel
limind
K∈K(X)ΓKF → F
est un isomorphisme. On a donc les égalités des foncteurs
Γ(U, limind
K∈K(X) ΓK(_)) =Γ(U,_) limind
K∈K(X)Γ(U, ΓK(_)) = Γφ(U,_) limind
K∈K(X)Γ(X, ΓK(_)) =Γc(X,_)
où Γφ(U,_) désigne le foncteur des sections surU dont le support est rela-tivement compact dans X.
En particulier, siX =R, on a, pour tout ouvertU ⊆R,
Γc(U,F) = 0, Γφ(U,F) =RΠ0( ˜U) mais Γ(U,F) =RΠ0(U), où U˜ est la réunion des composantes connexes de U qui sont relativement compactes dans X.
On remarquera pour terminer que le morphisme naturel limind
U∈K(X)Γ(X, ΓK(_))→Γ(U,limind
K∈K(X)ΓK(_)), toujours injectif, n’est pas nécessairement bijectif.
Références
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[Gr1] A. Grothendieck. Sur quelques points d’algèbre homologique. Tôhoku Math. J. (2) 9, 119–221, (1957).
[Gr2] A. Grothendieck. Les invariants cohomologiques globaux et locaux relatifs à un sous-espace fermé. Dans :“Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2)”, (1962).
[KS1] M. Kashiwara, P. Schapira. “Sheaves on manifolds”. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 292. Springer-Verlag, Berlin, (1994).
[KS2] M. Kashiwara, P. Schapira. “Categories and sheaves”. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathe-matical Sciences], 332. Springer-Verlag, Berlin, (2006).
ALBERTO ARABIA CNRS–IMJ Théorie des groupes
11 novembre 2015