Flot de la chaleur laminé : convergence faible

Ξune lamination à courbure négative ou nulle, d’après Li et Tam [29], le flot de la chaleur laminé est bien défini :

Proposition 3.6 (Existence du flot de la chaleur) .

Soit Λ une lamination riemannienne de courbure de Ricci minorée : R icΛ ≥ −κ²gΛ;Ξ une lamination riemannienne à courbure négative ou nulle. Soit f :

Λ→Ξ, d’énergie et de tension borné. L’équation de la chaleur laminée : ^{d f}t

dt = τ( ft) admet une unique solutionft|t≥0telle quef0= f .

3.3. FLOT DE LA CHALEUR LAMINÉ : CONVERGENCE FAIBLE

— sup(e_ft) ≤ sup(ef0)e^κ2tet sup(e_{τ(f )t}) ≤ sup(eτ(f )0), — L’estimées en moyenne de Li et Tam [29] : sup_B

x,Re^p_f

t+1≤_{V ol(B}^Cp_x,R)^RBx,Re^p_f

t, De plus, si Λet Ξ sont régulières, le flot de la chaleur vérifie des estimées de Schauder sur les dérivées d’ordre supérieur : |∇^kf_t+1|²≤ Cksup_Bx,Re_ft. Ainsi, si (Λ, g,ν) est une lamination riemannienne mesurée régulière etΞune lamination riemannienne régulière à courbure négative ou nulle, le flot de la chaleur est borné en temps fini pour la topologieC∞:

sup

t≤T|∇^kf_t|L∞≤ Ck,T

Corollaire 3.6.1 (Régularité transverse du flot de la chaleur) .

SiΛetΞsont des laminations riemanniennes régulières transversalement conti-nûmentC∞, le flot de la chaleur est transversalement continûmentC∞.

Preuve Si xn→ x, d’après les estimées a priori, les flots de la chaleur sur les feuilles : f_t,xn :Lxn→ Lf (x_n) sontC∞ équicontinus. On peut donc supposer (à extraction près) qu’ils convergent pour la topologieC∞ vers : f∞

t,x:Lx→ Lf (x)

, qui est solution de l’équation de la chaleur sur le revêtement d’holonomie de Lx, avec f pour condition initiale. Par unicité des solutions de l’équation de la chaleur, on en déduit : lim_n→∞f_t,xn= ft,x , c’est-à-dire : le flot de la chaleur et toute ses dérivées est transversalement continu. ä Lorsque (Λ, g,µ) est une lamination riemannienne mesurée,Λest naturelle-ment munie d’une mesure, induite par la mesure transverse et par la mesure de volume riemannienne sur les feuilles. Le volume de (Λ, gµ) est alors : V ol(Λ) = R

Λ^{1. Si}Λest de volume fini et f :Λ→Ξest transversalement mesurablementC1

d’énergie bornée, on peut définir l’énergie totale de f : E( f ) =R

Λ^ef(x)dx D’après Gromov [19] :

Proposition 3.7 (Décroissance de l’énergie) .

SoitΛune lamination riemannienne mesurée de volume fini etΞune lamination riemannienne. Soit f :Λ→Ξune application transversalement mesurablement C∞, d’énergie et de tension bornée. L’énergie totale du flot de la chaleur est dé-croissante :

∂Eft

∂t ^{= −2Eτ(f}t)= − Z

Λ|τ( ft)|²

De plus, siΛest une lamination riemannienne mesurée régulière etΞune lami-nation riemannienne régulière, l’énergie de tension def_test décroissante :

∂E_τ(ft) ∂t ^{≤ 0}

Rappelons sans démonstration le lemme de divergence de Gromov [19, Lemme 4.C1] :

Lemme 3.8 SoitΛune lamination riemannienne mesurée. SiX est un champ de vecteur surΛtel queX ∈ L¹etd iv(X ) ∈ L¹, alors :

Z

CHAPITRE 3. APPLICATIONS HARMONIQUES LAMINÉES

Preuve On sait :

d e_ft

dt = d iv〈τ(f ) | d ft〉 − |τ( f )|²

² étant fixé, T étant fixé, définissons : V²=©x|∃t ∈ [1

2T, ≤ 2T]/|∇τ(ft)| ≥¹_²ª et po-sons : p_²(x) = min(1, dist(x,V²^{). On sait que (quitte à régulariser p}²) : |d p²| ≤ 1. Par le théorème de convergence dominée : E = lim²→0^E² ^{où : E}²=¹₂^R_Λp_²|d f |². De plus : d e_{² ft} dt = d iv(p_²(τ(f ).d f )∗) − 〈d p²|(τ( f ).d f )^∗〉 − p²|τ( f )|² dE_{² ft} dt = − Z Λ〈d p²|(τ( f ).d f )^∗〉 − 2E²τ(ft)

car p_²et d iv(p_²(τ(f ).d f )∗) sont intégrables. Par le théorème de convergence do-minée, on conclut :

lim ²→0

dE_{² ft}

dt = −2Eτ(ft)

uniformément en t ∈ [^T₂, 2T]. On en déduit : E_ft est dérivable, de dérivée :

∂Ef_t

∂t ^{= −2Eτ(f}t)

Si (Λ, g,ν) et (Ξ, g) sont régulières, on conclut à la décroissance de E_{τ(f )}par inté-gration de la formule de Bochner :

∆e_{τ(f )}= |∇τ( f )|²+^{d e}_dt^{τ(f )}− R^Ξf_tf_i( f_t, f_i)

car on sait que tous les termes de la formule sont bornés (donc intégrables). Par contre, siΛetΞne sont pas régulières, l’argument de troncature ne se généralise pas. On peut démontrer :

dE²τ(ft)

dt ≤ Z

Λ∥ d p²〈∇τ( f )|τ( f )〉 ∥ +¹₂∥∆p_²τ(f ) ∥2

mais on ne sait pas si ∇τ(f ) et∆p_²sont intégrables. ä Corollaire 3.8.1 (Convergence deτ(ft)) .

Sous les hypothèses de la proposition3.7, en supposant de plus la lamination rie-manienne mesurée (Λ, g,ν) et la lamination riemannienneΞrégulières le champ de tensionτ(ft) converge vers 0 pour la norme L²: lim

t→∞E_τ(ft)= 0

On sait qu’en général il y a un phénomène de décohérence transverse pour le flot de la chaleur. L’exemple du feuilletage horosphérique prouve que, même si l’énergie et toutes les dérivées du flot de la chaleur décroissent exponentiellement sur toutes les feuilles deΛ, le flot de la chaleur ne converge pas. Cependant, il y a un phénomène de convergence faible pour le flot de la chaleur.

SiΛest une lamination riemannienne mesurée etM est le revêtement d’ho-lonomie de l’espace des applications laminées :

M =ⁿ(λ,ϕ)|λ ∈Λ,ϕ :Lλ→ Lξ o

3.3. FLOT DE LA CHALEUR LAMINÉ : CONVERGENCE FAIBLE

toute application laminée f :Λ→Ξdéfinit une section de la projection naturelle M →Λ. Siπ est la projection surLλ^deLλ^{, le revêtement d’holonomie de}Lλ^{, on} associe àλ ∈Λle point deM , que l’on notera abusivement f (λ) : f (λ) = (λ, f |Lλ◦

π). En particulier, f induit une mesure transverse f∗ν surM . LorsqueΛest un feuilletage riemannienC∞muni d’une mesure transverseν de volume fini etΞ

une variété riemannienne à courbure K ≤ 0, Gromov [19] a démontré que ( f_t)_∗ν

converge faiblement. Plus généralement :

Théorème 3.9 (Convergence vers une mesureF -harmonique) .

Soit (Λ, g;ν) une lamination riemannienne mesurée régulière de volume fini et

Ξune lamination riemannienne compacte à courbure négative ou nulle. Soitf₀:

Λ→Ξune application d’énergie e_f et de tensionτ(f ) bornés. Les mesures µt= ( f_t)_∗ν convergent faiblement (à extraction près) vers une mesure µF -harmonique, c’est-à-dire à support dans l’espace des applications harmoniques laminées

H =ⁿ(x,ϕ) ∈ M |τ(ϕ) = 0^o

La démonstration utilise deux faits essentiels : d’une part, les propriétés de compacité de l’espaceM des applications laminées, qui permet de conclure à la convergence faible deµt, d’autre part l’interprétation des mesures transverses surM comme sections d’un fibré en espace de Banach, qui permet de conclure à la convergence des intégrales de la formeR

Λ^{S( f}t)(x)dx : Z M^{S( f )d}µ(f ) ≤ lim t→∞ Z Λ^{S( ft)(x)dx}

lorsque S est une fonctionelleC∞sur les feuilles, transversalement mesurable. Preuve La preuve se décompose en trois parties :

— Les mesuresµt= ( ft)_∗ν sont précompactes pour la topologie faible : Λétant muni d’une métrique sur les feuilles, la mesure de volume riemannienne sur les feuilles et la mesure transverseν induisent une mesure sur l’espace

totalΛ, que l’on notera également ν. De même,M est une lamination riemannienne -les feuilles deM s’identifient aux feuilles deΛ, et on peut considérerµt= ( ft)_∗ν comme étant une mesure surM .

SupposonsΛcompact. Soient e^r_f

t(x) =R

Bx,2re_ftet E^r_ft=^R_Λe_ft.Λétant com-pact, E_ft et E^r_ft sont équivalents :

1 Kr≤^E r ft Ef_t ≤ K^r En particulier, E^r_f

t est uniformément borné. SiΛn

t = {x ∈Λ|∀r ∈ N, e^r_ft(x) ≥ 2^n+rK^r}, on a donc : lim_n→∞[sup_t(ν(Λn

t))] = 0. On en déduit que µt est presque à support compact. En effet, d’après les estimées a priori : e^r_f

t≤ 2^n+r ⇒ supBx,r | ∇^kf_t+1 |≤ f^k(n, r) . Posons Kn = {(x, ϕ)|∀(k, r) | ∇^kϕ |≤

f^k(n, r)}. D’après le théorème d’Arzéla-Ascoli - proposition 2.16-Kn est compact dansM . Or : µ_t+1est presque à support dansKn:

lim n→∞ µ sup t (µ_t+1(M \ Kn)) ¶ = 0

CHAPITRE 3. APPLICATIONS HARMONIQUES LAMINÉES

µ_t+1 restreinte au compactKn est précompacte pour la topologie faible : par un procédé diagonal, on en déduit que µ_t+1 converge faiblement, à extraction près, vers une mesure transversµ.

SiΛn’est pas compact, en choisissant une suite exhaustive de compacts K_ppourΛ, on démontre queµtest presque à support dans un compact de la forme :

Kn= n

(x,ϕ)|x ∈ Knet ∀k, R,| ∇^kϕ |≤ fk(n, R)^o

d’où l’on conclut à la convergence ( à extraction près ) deµtvers une me-sure transverse surM : µ, qui se projette sur ν,

— La mesure limite est harmonique lorsque les métriques sont transversale-ment continûtransversale-mentC2 : On sait que lim

t→∞E_τ(ft)= 0. Les métriques étant transversalementC2, (x, f ) → |τ(f )|(x) est continue. On en déduit que :

Z

M|τ( f )(x)|²dµ(x, f ) ≤ lim

t→∞E_τ(ft)= 0

Donc :µ est à support dans les applications harmoniques laminées,

— La mesure limite est harmonique lorsque les métriques sont transversale-ment mesurabletransversale-mentC2: On a vu à la fin du chapitre 2 queµt= ( ft)_∗ν

peut se réinterpréter comme une section L^∞de TZ∗, où TZ est le fibré en espace de Banach, de fibre TZλ= C_b⁰[C∞(T_λΛ,Ξ),R]. De plus, d’après Ionescu-Tulcea [25] : L^∞(TZ∗) = L¹(TZ )∗.µtconverge -à extraction près-pour la topologie faible versµ ∈ L∞(TZ∗). f → inf(|τ(f )|,1) étant une sec-tion L¹de TZ , on déduit comme précédemment que : R_M|τ( f )(x)|dµ(x, f ) =

0. ä

Corollaire 3.9.1 Soit s une fonction intégrable positive surM , c’est-à-dire telle ques(λ,ϕ) dépend de façon continue de ϕ ∈ C∞(Lλ^,Ξ) et de façon mesurable de

λ ∈Λ. On définit :

S(µ) = lim n→∞

Z

M^{inf(s( f ), n)d}µ(f )

Sous les hypothèses du théorème, la mesureF -harmonique µ = lim_n→∞( f_tn)_∗ν est

une mesure transverse surM , qui se projette sur ν et telle que :

— sis est une fonction intégrable positive surM , S(µ) ≤ limt→∞S(µt), — S(µt) converge vers S(µ) si s(µt) vérifie une estimée L^p, dire

c’est-à-dire s’il existep > 1 tel que :R

M^{sp( f )d}µt( f ) est borné. Corollaire 3.9.2 Sous les hypothèses du théorème :

— La longueur du flot de la chaleur converge (à extraction près) vers la lon-gueur deµ :

L(µ) :=

Z

M|d f |dµ( f ) = lim

t→∞L( ft)

— LorsqueΞest de rang géométrique 1 : K ≤ −κ², l’aire et le 3-volume du flot de la chaleur convergent vers l’aire et le 3-volume deµ.

Remarque 3.9.3 (Le feuilletage horosphérique) .

Soit Λ= UΞ le fibré unitaire tangent d’une variété hyperbolique compacte Ξ

muni du feuilletage horosphérique. La mesure de Liouville sur UΞ définit une mesure transverse surΛ. Siπ :Λ= UΞ→Ξest la projection naturelle, le flot de la chaleurπtconverge faiblement vers la mesure de Liouville normalisée surΞ.

3.3. FLOT DE LA CHALEUR LAMINÉ : CONVERGENCE FAIBLE

Preuve (Corollaires) Le corollaire3.9.1se déduit des propriétés élémentaires de la convergence faible. Soit`(f ) = |d f |. On sait que E(ft) est borné, donc que

`(ft) vérifie une estimée L². On en conclut que L(µ) = limt→∞L( f_t). LorsqueΞest de rang 1 : KΞ≤ −κ²< 0, l’énergie vérifie la formule de Bochner :

∆e = ^{d e}

dt+ R ic(d f , d f ) − R^Ξ_{d f (Xi),d f (Xj)}(d f (Xi), d f (Xj)) ≥ ^{d e}

dt+ R ic(d f , d f ) + κ²aire²( f ) On en déduit que aire( ft) vérifie une estimée L²:

κ2^Z Λ^aire

2( f_t) ≤ 2Eτ(ft)+ sup(−R ic)Ef

Comme vol₃( f ) ≤ (aire²( f ))³4, vol₃( f_t) vérifie également une estimée L⁴3 et on en déduit que l’aire et le 3-volume de f_tnconvergent vers l’aire et le 3-volume deµ.ä

Preuve |d ft| converge exponentiellement vers 0. µ = limt→∞( ft)_∗ν est donc à

support dans les applications constantesLλ→Ξ. On peut donc réinterpréterµ

comme une mesure surΞ×Λ, puis vérifier queµ = dξ × dλ où dξ est la mesure

de Liouville normalisée surΞ. ä

Un cas particulier et particulièrement agréable du théorème de convergence faible pour le flot de la chaleur est celui où f_t :Λ→Ξ convergeν presque

sû-rement vers f :Λ→Ξ. Dans ce cas, la mesure limiteµ est : µ = f∗ν et on peut

démontrer un lemme qui nous sera utile dans l’étude de la convergence forte du flot de la chaleur :

Lemme 3.10 .

Soient (Λ, g,ν) une lamination riemannienne mesurée régulière de volume fini etΞ

une lamination riemannienne régulière. Sif :Λ→Ξest une application laminée d’énergie et de tension bornée, telle que le flot de la chaleur associé f_tconvergeν

presque sûrement vers f_∞, alors ( f_t)_∗ν converge faiblement vers µ = (f∞)_∗ν. De

plus, sis est une fonction intégrable positive surM , telle que S(µ) = lim_n→∞S( f_n) alors :s( ft) converge ( à extraction près ) presque partout vers s( f_∞).

Preuve Puisque ( f_∞)_∗ν = limt→∞( f_t)_∗ν, pour toute fonction g bornée :

Z Λ^{s( f∞)} 1 2g = lim t→∞ Z Λ^{s( ft)} 1 2g

c’est-à-dire s( f_t)¹2 converge faiblement dans L²vers s( f_∞)¹2. Comme de plus :

|s( f∞)¹2|²= lim

t→∞|s( ft)¹2|²

la convergence faible implique la convergence L², donc à extraction près, la conver-gence presque partout de s( f_t) vers s( f_∞). ä

CHAPITRE 3. APPLICATIONS HARMONIQUES LAMINÉES

3.4. Flot de la chaleur laminé : convergence forte

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