Filtrage optimal

6.2.4.1 Mod`ele de d´etecteur de contour

Canny [21] a men´e en 1983 une ´etude th´eorique de la d´etection de contour, limit´ee

au cas monodimensionnel. Canny a d´efini une discontinuit´e comme une marche d’escalier noy´ee dans un bruit blanc gaussien. Si nous notons l’amplitude de la marche A et la variance du bruit blanc gaussien V, le signal peut ˆere d´ecompos´e de la fa¸con suivante :

I(x) = A.u(x) + V (x) avec u(x) = 1 si x > 0.

Il a ensuite suppos´e qu’il existait une fonction f antisym´etrique dont la convolution avec le signal fournissait une r´eponse maximale uniquement en pr´esence de la discontinuit´e. Trois crit`eres ont ´et´e d´efinis pour ´evaluer cette fonction :

1. une bonne d´etection des contours, 2. une bonne localisation des contours,

3. une faible multiplicit´e des maxima dus au bruit.

Bonne d´etection Plus le filtre lisse le bruit, meilleure est la d´etection. Ce crit`ere

s’exprime `a l’aide du rapport signal sur bruit, d´efini comme le rapport du maximum de la r´eponse due au signal seul sur la racine carr´ee de la puissance du bruit. Le filtre recherch´e est un d´erivateur, afin d’obtenir une r´eponse nulle pour un signal d’entr´ee constant.

Bonne localisation Moins le filtre lisse l’image, meilleure est la localisation. Ce crit`ere s’exprime par l’inverse de la variance de la distance entre le maximum de la r´eponse et la position r´eelle de la transition.

R´eponse unique Il existe des cas o`u il est d´elicat de discerner si on est en pr´esence

d’un seul contour bruit´e ou de deux contours distincts. Ce crit`ere fixe une limite maximale `a la distance entre deux maxima de la r´eponse.

6.2.4.2 R´esolution

Pour l’optimisation, Canny [21] propose de maximiser le produit ΣΛ en maintenant

constant le troisi`eme crit`ere qui est la minimisation de la densit´e de passages par z´ero de la r´eponse due au bruit. L’optimisation du syst`eme, par maximisation du produit ΣΛ sous la contrainte de non-multiplicit´e des r´eponses, conduit `a la r´esolution d’une ´equation diff´erentielle :

2h(x)− 2λ1h^′′(x) + 2λ2h^′′′(x) + λ3 = 0

Filtre de Canny En cherchant la solution sous la forme d’un filtre `a r´eponse impul-sionnelle finie, Canny aboutit `a la fonction ϕ :

o`u les coefficients ai et ω d´ependent du param`etre d’´echelle σ. L’op´erateur est complexe `a mettre en œuvre : Canny au vu de sa forme, propose une approximation par la fonction h d´eriv´ee premi`ere d’une gaussienne qui pr´esente un indice de performance ΣΛ = 0, 92, ce qui d´egrade les performances de 20 % par rapport `a l’op´erateur initial :

h(x)≈ −_σ^x₂e^−x

2 2σ2

Le passage `a un espace `a deux dimensions (une image) se fait simplement par s´eparation

des convolutions h(x, y) = h(x)·h(y). Le calcul du gradient sur une image se ram`ene donc

`a deux balayages.

(a) Tomographie A (b) Tomographie B

(c) Tomographie C (d) Tomographie D

Fig. 6.6 – Filtre de Canny `a σ = 16 appliqu´e aux images de Fig. 6.3

Filtre de Deriche En cherchant la solution de l’´equation diff´erentielle, sous la forme

d’un filtre `a r´eponse impulsionnelle infinie, Deriche [37] aboutit `a la fonction

ϕ(x) =−cxe−α|x|

Le param`etre α de Deriche est reliable au param`etre σ de Canny, tel que α =√

π/σ. Quand ω tend vers 0, l’op´erateur de Deriche s’approche de son meilleur indice de performance

ΣΛ = 2, 0 contre ΣΛ = 1, 12 pour la solution de Canny [21].

6.2.4.3 Limites du mod`ele

Ces deux filtres sont r´egl´es par un param`etre d’´echelle primordial, not´e σ ou α : il indique en de¸c`a de quelle distance deux contours parall`eles sont confondus en un seul.

La forme du mod`ele de Canny est relativement simple. Dans la plupart des images r´eelles, les discontinuit´es (le signal est souvent plus complexe) se pr´esentent souvent comme

des combinaisons de signaux en forme de “marche d’escalier”, de “toit”, de “rampes” ou de “pics”. De plus, le r´esultat est tr`es d´ependant du param`etre d’´echelles ; le r´eglage de sa valeur est l’objet d’un compromis entre bonne d´etection et pr´ecision. Pour ces multiples raisons, les transitions bruit´ees sont faiblement r´ev´el´ees. Appliqu´es `a nos cas test, le filtre

retourne des r´esultats pas forc´ement satisfaisants (cf. Fig. 6.6).

Ce mod`ele de d´etection de contour est insuffisant et n´ecessite des ´etapes suppl´emen-taires. La succession de ces ´etapes est souvent imparfaite et repose sur des d´ecisions arbitraires, heuristiques.

La mise en œuvre discr`ete en espace bidimensionnel rend ces filtres anisotropes : des

travaux [62] ont ´et´e consacr´es `a la r´eduction de cet effet ; Demigny [36] les a ´etendus `a

des profils en rampe et non plus en marche d’escalier.

6.2.5 Post-traitements

6.2.5.1 Seuillage par hyst´er´esis

Les fluctuations d’intensit´e g´en´er´ees par du bruit apparaissent `a l’op´erateur de d´etec-tion de contour comme des variad´etec-tions locales aussi valables que celles du signal. Bien que globalement l’amplitude des variations du signal soit plus forte que celle due au bruit, les valeurs m´edianes sont ambigues quant `a la nature de leur origine. L’application d’un seuil unique `a l’image des maxima locaux pour obtenir les contours ferait courir le risque d’obtenir des lacunes et de conserver des ´el´ements fallacieux dans la chaˆıne du contour.

Les maxima locaux dont la valeur est sup´erieure au seuil haut sont conserv´es, ainsi que ceux dont la valeur est sup´erieure au seuil bas et qui sont connexes `a au moins un point dont la valeur est sup´erieure au seuil haut. Le seuil bas est d´etermin´e de telle sorte que tous les contours sont d´etect´es, i.e. tous les points de contour sont au-dessus de ce seuil, mais il existe ´egalement d’autres points d´etect´es qui ne sont pas des points de contour, tandis que le seuil haut est d´etermin´e de telle sorte qu’aucun point qui n’est pas un point de contour ne peut ˆetre d´etect´e, i.e. on n’aura donc que des points de contour mais pas tous les points de contour.

L’id´ee est d’extraire les contours sˆurs en fixant un seuil suffisamment ´elev´e pour ne pas

d´etecter le bruit. Appliqu´e aux images 6.6, le seuillage r´ealise une s´election satisfaisante

au sens qu’il retient la majorit´e des ´el´ements attendus et rejette la plupart des ´el´ements correspondant `a du bruit. De l`a `a obtenir un contour d’un seul tenant, il faut absolu-ment une ´etape suppl´eabsolu-mentaire pour agglom´erer ces ´el´eabsolu-ments en morceaux de contour. En proc´edant ainsi, la chaˆıne de morceaux de contours form´ee poss`ede souvent encore des lacunes `a cause d’un rapport signal/bruit local trop faible pour le d´etecteur ou des occultations, en raison d’un seuillage trop s´electif. Pour cela, de nombreuses m´ethodes ont ´et´e propos´ees pour r´ealiser la fermeture de ces morceaux de contour.

6.2.5.2 Fermeture de contours

Except´e le passage par z´ero des laplaciens, la plupart des d´etecteurs de contours four-nissent des contours ouverts, c’est-`a-dire qu’ils ne regroupent pas les composantes dans des objets distincts de type topologique “contour”. Suit une ´etape de reconnaissance de forme : l’identification d’un contour continu coupant l’image de part en part se r´ev`ele p´erilleuse.

(a) Tomographie A (b) Tomographie B

(c) Tomographie C (d) Tomographie D

Fig. 6.7 – Rendu d’un seuillage par hyst´er´esis `a partir des images6.6

Les m´ethodes de fermeture de contour apportent des solutions, notamment la recherche de chemin optimal dans un graphe par programmation dynamique ou les m´ethodes d’ins-piration biologique (r´eseau de neurones). L’´ecueil de ces fermetures est qu’elles requi`erent l’injection d’hypoth`eses compl´ementaires pour combler le manque d’informations dans le but de traiter les cas particuliers.