4.2 Étude de la novation dans le cas de traceurs passifs
4.2.1 Filtrage non-linéaire avec un traceur passif
Notre objectif est de reprendre le formalisme du chapitre 3 en ajoutant un traceur passif au vecteur d’état. Pour cela il va falloir dans un premier temps définir ce qu’est un traceur passif d’un point de vue mathématique. Il va aussi falloir montrer que le fait d’augmenter le vecteur d’état de cette manière améliore quantitativement l’estimation de la loi du processus. Enfin on montrera que notre méthode s’applique encore dans ce nouveau cadre.
On dispose donc d’un processus de Markov (Xn)n. On suppose que celui-ci peut être
filtré seul dans le cadre du sous-espace aveugle du chapitre 3 et qu’il vérifie donc toutes les hypothèses nécessaires pour cela. On suppose que l’on a un système d’évolution pour le processus Xn. X0 = x0 ∀n > 0, Xn= FnX(Xn−1) + WnX
où x0 est la condition initiale, FnX la fonction d’évolution et (WnX) une famille de bruits
centrés et indépendants.
On définit alors un traceur passif (Θn)n de (Xn)n de la manière suivante.
Définition 12. Un traceur passif de Xn est un processus Θn dont l’évolution est influencée
par le processus Xn. De plus le traceur passif ne doit pas influencer l’évolution du processus
Xn. Cela correspond à deux propriétés que le couple doit vérifier.
— (Xn, Θn) est un processus de Markov avec pour noyau d’évolution Mn, définit pour
tout n > 0 par Mn (xn−1, θn−1), d(xn, θn) = P(Xn, Θn) ∈ d(xn, θn)|(Xn−1, Θn−1) = (xn−1, θn−1)
et pour distribution initiale η0.
— Le processus Xn est un processus de Markov. De plus Θn est passif pour Xn au
sens où, pour tout n > 0,
P Xn|(Xn−1, Θn−1) = PXn|Xn−1 On notera alors Xn → q θn.
Puisque (Xn, Θn) est, par hypothèse, un processus de Markov, on peut donner une
équation d’évolution du processus Θn. On définit le système dynamique suivant :
Θ0 = θ0 ∀n > 0, Θn= Fn,XΘ n−1(Θn−1) + W Θ n
où θ0 est la condition initiale, Fn,XΘ n−1 est la fonction d’évolution du processus dépendante
de Xn−1 et (WnΘ)n est une famille de bruits centrés et indépendants.
On suppose que l’on dispose d’observations pour les deux processus. Le système d’ob- servation est alors définit de la manière suivante, pour tout n ∈ N,
YX n = HnX(Xn) + VnX YnΘ = HnΘ(Θn) + VnΘ
où les fonctions HX
n et HnΘ sont les fonctions d’observation respectivement des processus
Xn et Θn et les familles de bruits centrés, à densité, (VnX)n et (VnΘ)n sont indépendantes.
On peut donc décrire l’évolution du couple (Xn, Θn). Le but est maintenant de montrer
qu’il est possible de le filtrer et que le fait d’avoir ajouté le filtrage du processus Θnaméliore
l’estimation du processus Xn.
Cas simplifiés
On peut se placer dans un cas simplifié du problème en supposant que la distribution initiale η0Θ est invariante pour le noyau d’évolution. On peut alors utiliser des méthodes telles que l’estimateur de Metropolis-Hasting ou les pMCMC (particule Markov Chain Monte Carlo). On pourra ainsi estimer la mesure de Θnau cours du temps. Supposer que
la distribution est invariante au cours du temps entraîne deux sous cas.
Le cas le plus simple où l’on sait que la distribution de Θn est constante, c’est-à-
dire FΘ
n,x est constante. Xn n’influence donc pas Θn et la connaissance du traceur passif
n’améliorera pas l’estimation de Xn.
Le deuxième cas correspond à celui où la distribution initiale ηΘ
0 est laissée invariante mais n’est pas constante. Dans ce cas on peut espérer obtenir des informations sur Xn en
filtrant Θn. Ces informations émaneront du fait que les dynamiques des deux processus
sont liées.
Cas général
Dans le cas plus général où la distribution de θn évolue au cours du temps, il va falloir
en donner une estimation de manière séquentielle. Pour cela nous allons poser les mêmes hypothèses sur (Xn, Θn) que celles que l’on a utilisées dans la théorie du filtrage non-
linéaire. On sait, par définition, que Θnn’est pas un processus de Markov seul. Cependant
on a supposé que le processus Xn = (Xn, Θn) l’est.
On peut, comme on l’a vu dans le chapitre 2, donner, dans ce cas, une estimation de la loi de θn au cours du temps, par exemple à l’aide d’un système de particules. Dans ce
cas, il faut encore montrer que le fait d’estimer la loi de Θn améliore la vraisemblance
du processus Xn. Pour cela on effectue une Rao-Blackwellisation de Xn. Étant donné le
caractère passif de Θn vis-à-vis de Xn, la décomposition de la probabilité sera exacte,
contrairement à ce que l’on a pu voir dans le cas général de la Rao-Blackwellisation. Une fois cette décomposition faite, on peut mettre en place l’un des filtres du chapitre 2 (IKF,
RBPF, SMC2), suivant le cadre, pour filtrer les deux processus simultanément. La fonction de vraisemblance du couple (Xn, Θn) peut s’écrire pour tout n ∈ N,
Gn (xn, θn), (ynX, y Θ n) = P (YnX, YnΘ) = (yXn, yΘn)|(Xn, Θn) = (xn, θn) = P YnΘ = ynΘ|Xn= xn, Θn= θn P YnX = yXn|Xn = xn = GΘn,xn(θn, yΘn)GXn(xn, ynX) avec GX
n la fonction de vraisemblance de Xn classique et GΘn,xn la vraisemblance de Θn
conditionnée à Xn= xn.
Conclusion
On peut alors conclure qu’augmenter le vecteur d’état a amélioré l’estimation de Xn.
On pourra donc mettre en place un filtre plus performant pour le processus Xnsi l’on uti-
lise le couple (Xn, Θn) plutôt que le processus Xnseul. En effet, on suppose que l’on dispose
d’un procédé de filtrage qui, quelque soit le processus qu’il étudie, échantillonne toujours avec la même précision la fonction de vraisemblance. On aura ainsi que la fonction GX
n,
dans le cas du processus seul, et la fonction Gn, dans le cas du couple processus/traceur
passif, seront toutes les deux aussi bien échantillonnées par le filtre. On voit alors dans le cas du couple que, à moins que la fonction de vraisemblance du traceur passif GΘ
n,Xn soit
estimée exactement à chaque pas temps (c’est-à-dire GΘ
n,Xn(Θn, θn) = 1 pour tout n), la
valeur de GX
n sera plus grande dans le cas du couple que dans celui du processus seul. Il
faut noter que le cas où la fonction GΘ
n,Xn est à exclure car elle correspond à un traceur
passif toujours égal à son observation, que l’on est en train d’essayer de débruiter.
On voit donc que filtrer en augmentant le vecteur d’état avec un traceur passif permet d’améliorer l’estimation du processus de base. On va, à partir de maintenant, étudier le couple et nous noterons Xn = (Xn, Θn) pour simplifier les écritures. On va maintenant
reprendre le formalisme du chapitre 3 dans ce nouveau cadre.