Figure 3.3 Procédure numérique pour obtenir le nombre optimal de lot à produire et à retoucher avant d'eectuer une action de maintenance préventive (Horizon inni)

3

3.3. ETUDE DE LA PREMIÈRE STRATÉGIE "RETOUCHE APPLIQUÉE À TOUS LES

PRODUITS QUI NE SONT PAS DU PREMIER CHOIX" POUR LES DEUX HORIZONS

INFINI ET FINI

•Etude comparative entre les deux stratégies"sans et avec retouche" pour un horizon

inni

Lemme 4. La stratégie avec retouche est plus économique que la stratégie sans retouche si le meilleur prix de vente Pmax est plus grand que le coût unitaire de retouche Crku.

Preuve. Pour comparer ces deux stratégies, il sut de calculer la diérence entreP T1r−IH etP T1−IH.

P T1r−IH(N)−P T1−IH(N) =

PN

i=1Pmax×(1− λ_i

λ_N+1)−(Mp+Cpu×N)

N×P roc+µp+µc×(−Log(1−RN×P roc

0 (1−e^{−(N×P roc−x} )β )×η2×e−η₂×xdx)) − ^{Mc×(−Log(1−} RN×P roc 0 (1−e⁻(^{N×P roc−x} )β )×η₂×e⁻η₂×xdx))

N×P roc+µ_p+µ_c×(−Log(1−RN×P roc

0 (1−e−(^{N×P roc−x} )β

)×η₂×e−η₂×xdx))

−^{N×Pmax−(Mc×(−Log(1−}

RN×P roc

0 (1−e⁻(^{N×P roc−x} )^β)×η₂×e⁻η2×xdx)))

N×P roc+µp+µc×(−Log(1−RN×P roc

0 (1−e⁻(^{N×P roc−x} )β )×η2e−η₂×xdx)) + Mp+Cpu×N+PN i=1Crku×( ^λi λ_N+1)

N×P roc+µp+µc×(−Log(1−RN×P roc

0 (1−e⁻(^{N×P roc−x} )β )×η2×e−η₂×xdx)) = ^(Crku−Pmax)(PN i=1 λi λN+1)

N×P roc+µ_p+µ_c×(−Log(1−RN×P roc

0 (1−e−(^{N×P roc−x} )β

)×η₂×e−η₂xdx))

(3.21) Il est clair queN×P roc+µp+µc×(−Log(1−RN×P roc

0 (1−e^{−(N×P roc−x} )β )×η2×e^−η2×xdx))>0et PN i=1 λ_i λ_N+1 >0.

Donc pour étudier le signe deP T1r−IH(N)−P T1−IH(N), il sut d'étudier le signe de Pmax−Crku On distingue deux cas possibles :

- Cas 1 :P_max> C_rku : La stratégie avec retouche est plus économique. - Cas 2 :P_max< C_rku : La stratégie sans retouche est plus économique.

On rappelle queP_maxreprésente le meilleur prix de vente d'un lot etC_rkureprésente le coût unitaire de retouche. Inspiré d'une réalité industrielle, dans la majorité des cas, le prix de vente d'un lot est supérieur au coût de retouche. Donc, dans la majorité des cas, la stratégie de retouche est plus économique que la stratégie sans retouche.

• Cas de l'horizon ni

Le prot total par unité de temps de cette première stratégie pour un horizon ni (P T10r−F H) inclut : Le prix de vente total (SP)

Le coût total de la maintenance corrective (Ccm) Le coût total de la maintenance préventive (Cpm) Le coût de production (Cp)

Le coût de retouche (Crk) Le coût de setup (Csetup)

On rappelle que dans le cas d'un horizon ni, on ajoute un coût de setup, appelé aussi coût xe de production. C'est un coût qui ne dépend pas de la quantité produite. Il peut être un coût de changement de lot ou un coût de réglage. Cette activité est eectuée après l'action de maintenance préventive (après la production de N lot). Ces actions de maintenance préventive et de setup seront eectuées qu'à la n

3 ACTIONS DE RETOUCHE " REWORK ACTIVITIES".

d'un cycle complet T. AvecN₁ représente le nombre de lot à produire durant la période supplémentaire entre la n de dernière action de maintenance préventive et la n de l'horizon.

suivons le même raisonnement fait dans le chapitre 2 (section 2.3.2), on distingue alors deux cas possibles : 1) Cas 1 : La n de la dernière action de maintenance préventive est eectuée avant la n de l'ho-rizon H.

Formellement,T1=H−H T

×T 6= 0

Le prot total par unité de temps pour cette première stratégieP T1r−F H_cas1 est donnée par :

P T_{1−F Hcas1}(N) = (^SP−(C_pm+C_cm+C_p+C_rk+C_setup) T ⁾× H T +^SP1−(C_cm1+C_p1+C_rk) T1 (3.22) Nous utilisons les mêmes expressions analytiques du nombre de lot produit durant la période complémen-taireT1 (N1), du nombre moyen de panne durantT1 (N bf1), du prix de vente des lots produits durant

T1 (SPT1), du coût moyen des actions de maintenance corrective (Ccm1) et du coût de production des

N1 lots (Cp1) développées dans le chapitre 2 (section 2.3.2) et nous développons au dessous l'expression du coût de retoucheCrk1 durant la période complémentaireT1 .

•Le coût de retouche totalCrk1durant la période complémentaireT1

Crk1= N₁ X i=1 Crku×( ^λi λ_N1+1⁾ (3.23)

En utilisant les expressions de SP, C_cm, C_p, C_rk et T développées dans la section précédente (cas de l'horizon inni), et les expressions deSP₁,C_cm1,C_p1,T₁ etN₁développées dans le chapitre précédent, le prot de total par unité de temps pour ce premier casP T_{1r−F Hcas1} est donné par :

P T1r−F H_cas1(N) = (^N×P_max−(M_p+M_c×(−Log(1−RN∗P roc

0 F(N∗P roc−x)×g(x) dx))) N×P roc+µp+µc×N bf −^Cpu×N+ PN i=1Crku×( ^λi λ_N+1) +Csetup N×P roc+µp+µc×N bf )× H N×P roc+µp+µc×N bf

+^N1×P_max−(M_c×(−Log(1−RN₁∗P roc

0 F(N₁∗P roc−x)×g(x) dx)) N1×P roc+µc×N bf1 −^Cpu×N1+ PN₁ i=1Crku×( ^λi λ_N+1) N1×P roc+µc×N bf1 (3.24)

Avec N₁ représente le nombre de lot à produire durant la période complémentaire T₁ et donné par l'expression suivante (3.25) : N1= T1−µc×N bf1 P roc (3.25) 2) Cas 2 : La n de la dernière action de maintenance préventive coïncide avec la n de l'horizon H. Formellement,T1=H−H

T

×T = 0.

Le prot total par unité de temps pour ce deuxième casP T1r−F H_cas2 est donnée par :

P T_{1r−F Hcas2}(N) = (^N×Pmax−(Mp+Mc×(−Log(1−RN∗P roc

0 F(N∗P roc−x)×g(x) dx))) N×P roc+µ_p+µ_c×N b_f −^Cpu×N+ PN i=1C_rku×( ^λi λN+1) +C_setup N×P roc+µ_p+µ_c×N b_f ⁾× H N×P roc+µ_p+µ_c×N b_f (3.26)

3

3.3. ETUDE DE LA PREMIÈRE STRATÉGIE "RETOUCHE APPLIQUÉE À TOUS LES

PRODUITS QUI NE SONT PAS DU PREMIER CHOIX" POUR LES DEUX HORIZONS

INFINI ET FINI

En utilisant la fonction indicatrice, le prot total par unité de temps pour cette stratégie à horizon ni

P T_{1r−F H} peut être écrit sous la forme :

P T1r−F H=P T1r−F H_cas1×1_(H−bH Tc×T6=0)+P T1r−F H_cas2×1_(H−bH Tc×T=0) (3.27) Avec 1_(H−bH Tc×T=0)= 1siH−H T ×T = 0et 0 sinon. 1_(H−bH Tc×T6=0)= 1siH−H T ×T 6= 0et 0 sinon.

Ainsi, le prot total par unité de temps pour cette stratégieP T1r−F H est donné par :

P T1r−F H(N) = [(^N×P_max−(M_p+M_c×(−Log(1−RN∗P roc

0 F(N∗P roc−x)×g(x) dx))) N×P roc+µp+µc×N bf −^Cpu×N+ PN i=1Crku×( ^λi λ_N+1) +Csetup N×P roc+µp+µc×N bf )× H N×P roc+µp+µc×N bf

+^N1×P_max−(M_c×(−Log(1−RN₁∗P roc

0 F(N₁∗P roc−x)×g(x) dx))) N1×P roc+µc×N bf1 −^Cpu×N1+ PN₁ i=1Crku×( ^λi λ_N+1) N1×P roc+µc×N bf1 ]×(1_(H−bH Tc×T6=0))

+ [(^N×P_max−(M_p+M_c×(−Log(1−RN∗P roc

0 F(N∗P roc−x)×g(x) dx))) N×P roc+µp+µc×N bf −^Cpu×N+ PN i=1Crku×( ^λi λ_N+1) +Csetup N×P roc+µp+µc×N bf )× H N×P roc+µp+µc×N bf ]×1_(H−bH Tc×T=0) (3.28) Avec C_rku×( ^λi λN+1 ) +C_pu≤P_max ∀i∈1..N (3.29)

• Existence d'une solution optimale et résolution numérique

Pour cette politique, la seule variable de décision recherchée correspond au nombre de lot à produire avant d'eectuer une action de maintenance préventive. On obtient une fonction discrète à une seule variable de décision. Il est impossible, alors, de déterminer la solution optimale en utilisant la méthode traditionnelle qui consiste à déterminer les zéros du dérivé ([Khatab et al.2017]). Le nombre optimal de lot à produire et à retoucher avant d'eectuer l'action de maintenance préventive N sera obtenu, alors, à l'aide d'une procédure numérique. Le lemme suivant (Lemme 5) a été développé an de montrer l'existence d'un maximum global.

Lemme 5. Il existe une solution optimaleN1^0∗ maximisant le prot total par unité de temps P T1r−F H et0< N1^0∗≤Nmax.

Preuve. Puisque on a (Crku×ϕi+Cpu≤Pmax)∀i∈1..N etϕiest une fonction croissante. Par conséquent, le nombre de lot à produire avant d'eectuer l'action de maintenance préventive est délimité, d'une part, parN_max⁰ .N_max⁰ correspond à la dernière valeur satisfaisant la contrainte de qualité. Formellement,

C_rku×(^λNmax⁰ +1

λN0 max+2

3 ACTIONS DE RETOUCHE " REWORK ACTIVITIES".

D'autre part, cette problématique a été étudiée pour un horizon ni H. Par conséquent, le nombre de lot à produire est délimité parN_max⁰⁰ .N_max⁰⁰ correspond au nombre de lot qu'on peut produire durant un horizon H si on suppose qu'on a ni panne ni des actions de maintenance préventive. Formellement,

N_max⁰⁰ =

H

P roc

(3.31) Le nombre maximale à produire et limité, alors, d'une part par la contrainte de qualité et d'autre part par la longueur de l'horizon H. Le nombre de lot maximal qu'on peut produire avant d'eectuer une action de maintenance préventive est donné par :

Nmax=M in[N_max⁰ , N_max⁰⁰ ] (3.32) Il est important de mentionner que le domaine de dénition de notre fonction objectiveDf ={1..Nmax}. De plus on a,

-P T1r−F H[0] =−^Mp

µp -P T_{1r−F H}[1] =Constante -P T_{1r−F H}[N_max] =Constante

On distingue, alors, deux cas possibles :

- Cas 1 : Le nombre optimal de lot à produire avant d'eectuer l'action de maintenance préventive

N1^0∗coincide avec la valeur deNmax etP T₁^∗_{r−F H}[N2]=P T1r−F H[Nmax].

- Cas 2 : Le nombre optimal de lot à produire avant d'eectuer l'action de maintenance préventive 0< N1^0∗<Nmax etP T₁^∗_{−F H}[N2]> P T1−F H[Nmax].

Il existe, alors, une solution optimale N1^0∗ maximisant le prot total par unité de temps P T₁^∗_{−F H} et

0< N1^0∗≤Nmax

Procédure numérique itérative

La résolution de cette politique de maintenance à l'aide d'une procédure numérique s'eectue en incrémentant le nombre de lot de N=1 jusqu'à l'apparition de la relation suivante (C_rku×ϕ_i+C_pu > P_max). La dernière valeur satisfaisant la contrainte de qualité correspond à la valeur deN_max⁰ .

Puis, On détermineN_max⁰⁰ en calculant la partie entière du rapport entre la longueur du l'horizon H et la durée moyenne de la production d'un lot (P roc) (N_max⁰⁰ = H

P roc

).

Nmax correspond, alors, à la valeur minimale entre N_max⁰ et N_max⁰⁰ (Nmax = M in[N_max⁰ , N_max⁰⁰ ]). On calcule les diérents prots pour N=1 jusqu'à N=Nmaxet on détermine le prot maximal correspondant à N1^0∗. La procédure numérique utilisée pour déterminer le nombre optimal de lot à produire avant d'eectuer une action de maintenance préventiveN1^0∗ est présentée par la gure suivante (Figure 3.4)

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3.3. ETUDE DE LA PREMIÈRE STRATÉGIE "RETOUCHE APPLIQUÉE À TOUS LES

PRODUITS QUI NE SONT PAS DU PREMIER CHOIX" POUR LES DEUX HORIZONS

INFINI ET FINI

Figure 3.4 Procédure numérique pour obtenir le nombre optimal de lot à produire et à