L'un d'eux a pour coordonnées :
x = 0,1743 , y = 0,7071 ,
avec une tangente inflexionnelle à 450 sur les axes. La courbe a la forme indiquée dans la figure (10).
On déduit de (1) :
dR
— = sh2cp (1 + 3c chcp) . (4)
Seules donc ont des jarrets réels les chaînettes contractiles dont le paramètre c satisfait à la condition :
1
< c < o . 3
Si cette condition est remplie, le lieu des jarrets correspon dants a pour équations paramétriques :
2 2
x = cp thcp, y = — chcp.
3 3
dy 2shcp (sh2cp + 1) d /dy\ 6chcp (3sh4cp + 1)
dx~ =
3sh2cp + 1
' d^ \dx/ =
(3sh2cp + î)2
> ° '
La courbe, lieu des jarrets, est également symétrique par rapport à l'axe oy qu'elle coupe orthogonalement au sommet
2^
s = o, y = ^
Elle n'a pas de points d'inflexion.
De toutes ces considérations, résulte la discussion suivante :
i° c > o. — La chaînette élastique n'a ni jarret, ni points
de rebroussement. Elle a une allure générale intermédiaire entre
la chaînette ordinaire et la parabole. Le rayon de courbure croît constamment à partir du sommet.
2° - - < c < o. — Entre ces limites du paramètre c, la chaî
nette contractile admet à la fois des points de rebroussement
et des jarrets. Elle possède, en outre, un point double situé sur oy qui est donné par l'équation transcendante :
— IOO —
laquelle admet des racines réelles dans les mêmes conditions que celle relative aux points de rebroussement. Le rayon de
courbure part de la valeur minimum î -f 2c atteinte au som
met, croît jusqu'à la valeur aux jarrets pour :
27 c
décroît jusqu'à 0 aux rebroussements et finalement croît indéfi
niment en valeur absolue.
Pour illustrer ce cas, on peut prendre c = .Le sommet
4 3
aura pour coordonnées : x = o, y = - . Un des points de
4
rebroussement correspondra à :
chcp = 2,
cp = 1,317,
et aura pour coordonnées : x = 0,451, y = 1.L'un des jarrets correspond à :
4
chcp = - , cp = 0,795,
et a pour coordonnées :
x = 0,354, y = 0445.
Le point double correspond à : shcp
cp = —- >
T 2
équation transcendante dont on pourra déterminer approxima tivement les racines en employant la méthode qui sera indiquée ultérieurement pour la résolution de l'équation de Kepler. Ici le
calcul donne les valeurs :
cp == 2,1803, x = o, y = — 1,098. Le point de rencontre avec le demi-axe ox, correspond à :
chcp = 4, cp = 2,064,
et a pour coordonnées :
î 16
Le rayon de courbure prend la valeur - au sommet et —
2 27
aux jarrets.
Les pentes des tangentes aux points de rebroussement ont
pour valeurs
±
1/3.
Il est facile, avec ces résultats numériques, de tracer la chaî
nette contractile correspondante.
30 < c <- - . — Les jarrets disparaissent. Le rayon de
courbure décroît constamment de la valeur 1 -f- 2c à la valeur o
qu'il atteint aux rebroussements, puis augmente en valeur ab
solue jusqu'à l'infini. Il y a encore un point double sur oy.
2
Pour exemple de ce troisième cas , on peut prendre c = = —0,4 .
Dans ces conditions, le sommet a pour coordonnées :
x = o , y = 0,2 ,
les points de rebroussement :
x = d= 0,0971 , y = 0,625 > le point de rencontre avec ox :
x = 7,442 , y = 0 .
Le point double correspond à :
shcp
__
5cp 4
ce qui donne :
cp = 1,194,
shcp = 1,498,
chcp = 1,801, .
x = o, y = 0,404.
40 c < — - . — Ici il n'y a ni rebroussement ni jarrets.
Le rayon de courbure croît constamment à partir du sommet
en valeur absolue.
La courbe a la forme générale d'une chaînette renversée.
La discussion montre combien la forme même de la courbe
est affectée par la variation du paramètre spécifique, alors que le paramètre m est un simple paramètre de similitude.
— 102 —
Enveloppe des chainettes élastiques quand c varie.
En supposant toujours m égal à î, cherchons l'enveloppe de la famille des chaînettes élastiques définies par les équations (2).
Nous avons à écrire :
1 + 2c chcp shcp (1 -f 2c chcp) 2shcp ch2cp = o, D (x, y)
D (cp, c) =
ou : (1 + 2 c chcp) (sh2cp — 1) =0.Le premier facteur égalé à zéro nous ramène à l'équation (3) et par conséquent correspond au lieu des points de rebrousse ment qui fait partie analytiquement de l'enveloppe.
Le deuxième facteur donne :
shcp0 = ± 1 , cp0 = ± 0,8814,
et définit deux tangentes fixes communes à toutes les chaînettes, résultats conformes à ce que nous avons signalé antérieurement
pour les courbes de Ribaucour avec élasticité. Ces tangentes
fixes ont donc pour équations :
X — Y = - 0,5328 , X + Y = 0,5328 .
Développantes des chaînettes élastiques.
L'arc de la chaînette élastique compté à partir du sommet
est donné par :
da
dcp
o
1 ri
s= / R-r-d<?= 1^9 (1 + 2Cchcp)dcp =shcp+ -(Sh2cp+ 2cp).
Les coordonnées du point courant de la développante
partant du sommet sont donc définies par :
X — x _ Y — y _
cos a sin a '
On en déduit :
D0 {
x
(5)
y = -— + c (î— cpthcp).
chcp
Pour c = o on retrouve la tractrice ordinaire, développante
de la chaînette ordinaire.
La courbe D0 est de même le lieu géométrique du milieu d'un
segment rectiligne dont les extrémités décrivent une tractrice et une développante de la parabole ordinaire, de telle manière
que les pentes de ces deux courbes en ces points associés soient
égales.Les courbes D0 jouissent des mêmes propriétés que les chaî nettes élastiques elles-mêmes au point de vue des enveloppe ments. Leur enveloppe, quand c varie, se compose des tangentes
fixes et du lieu des rebroussements.
L'équation de la tangente au point courant de D0 peut s'écrire :
x cos a + y sin a = cp cos a + c (2th cp — cp) .
(5')
On voit alors que les tangentes fixes correspondent à l'équation transcendante :
cp = 2thcp .
Il est facile de voir que cette équation admet 2 racines op posées. Il est possible d'obtenir une valeur approchée des racines
shcp
en remplaçant le rapport —- par 1 expression :
2chcp + 3
chcp + 14*
qui n'en diffère qu'à partir des termes en cp6 (voir chapitre XIII).
On se ramène ainsi à une équation du 2e degré en chcp : 2chcp + 3
chcp = 6 — ,
chcp + 14
dont la racine positive est :
— 104 —
En étudiant le signe de cp — 2thcp au voisinage de cette valeur,
on constate qu'on peut prendre pour racine de l'équation
transcendante :
cp0 = 1,9150,
chcp0 = 3,467, shcpo = 3,320, thcp0 = 0,9575.
Les tangentes fixes sont donc la droite :
X + 3,320 Y = 1,9150,
et sa symétrique par rapport à oy.
Ces mêmes courbes possèdent aussi comme normales fixes les
tangentes fixes aux chaînettes élastiques (shcp = ±1).
Foyers. Directrice.
Les tangentes isotropes correspondent à :
dy
-=shf = ,
On en déduit pour les points de contact des tangentes iso
tropes :
chcp = 0, e? = i,