A oitava atividade da terceira fase da sequência didática teve por objetivo construir um losango a partir da congruência de seus lados, mobilizando também a ideia de circunferência. Nesse sentido, inicialmente, a atividade solicitou que os estudantes estabelecessem uma reta a e dois pontos G e A, fora dessa reta. Em seguida, eles deveriam construir o losango GABI, de forma que o ponto I esteja sobre a reta a. A atividade pediu ainda que os estudantes movessem os pontos da figura, analisando se ela (a figura) permanecia um losango, e em caso negativo, deveriam refazer a construção. Por fim, os estudantes deveriam explicar como produziram o losango.
Podemos observar as possibilidades de resposta para essa atividade no GeoGebra acerca dos níveis vanhielianos no capítulo V desse trabalho, item 5.5.3.
Analisando as produções dos estudantes realizadas no GeoGebra, evidenciamos que apenas uma dupla (D04) de alunos demostrou na construção o pensamento geométrico característico do segundo nível de Van-Hiele, isto é, fazendo uso das propriedades das diagonais do losango (que cortam-se ao meio e
são perpendiculares entre si). No entanto, essa dupla construiu o losango GBAI, ao
invés do GABI, para isso, apresentou um tipo de solução diferente do que tínhamos antecipado no capítulo V para esse nível de pensamento geométrico, pois D04 não fez uso da noção de circunferência, mas sim o uso do paralelismo e do perpendicularismo (Figura 77).
Em sua construção no software, após estabelecer a reta a por meio do recurso “Reta”, D04 cria os pontos G e A, com o recurso “Reflexão em Relação a uma Reta”, que constrói dois pontos a partir de dada uma reta, sendo que esses pontos ficam à mesma distância em relação a essa reta. Logo, se traçarmos um segmento de reta GA, poderíamos verificar que a reta a corta GA no seu ponto médio, estabelecendo ainda a relação de perpendicularidade.
Em seguida, com o recurso “Reta”, a dupla traçou duas retas, sendo a primeira passando entre o ponto G e o ponto I (na reta a), e a segunda entre A e I.
Nesse momento da construção, os estudantes consideraram a congruência dos lados do losango, assim, os segmentos de reta GI e AI são congruentes entre si.
Figura 77 – Losango GBAI construído pela dupla D04
Fonte: Dados da pesquisa
Por meio do recurso “Reta Paralela”, D04 construiu uma reta paralela ao segmento de reta GI, passando por A e B (na reta a), e em seguida, traçou outra reta paralela ao segmento de reta AI, passando entre B e G. Os segmentos de reta
GB e BA também são congruentes entre si e com GI e AI (GB=BA=AI=GI). O
resultado dessas construções foi o losango GBAI.
Na atividade anterior, também referente à construção de um losango, D04 produziu um losango a partir de sua aparência global, dessa forma, notamos que essa dupla avançou significativamente em seu pensamento geométrico por meio da sequência didática.
Quatro duplas (D01, D10, D12 e D14) fizeram uso da definição usual do losango em sua construção, como podemos observar na Figura 78, com a produção da dupla D14.
Figura 78 – Losango GABI construído pela dupla D14
Fonte: Dados da pesquisa
Pela Figura 78, notamos que D14 fez uso da definição do losango em sua construção, compreendendo-o como uma figura que possui todos os lados
congruentes entre si. Na atividade anterior, essas duplas também apelaram à
definição usual do losango na construção.
Oito duplas (D02, D03, D06, D07, D09, D11, D13 e D15) se basearam apenas no aspecto global da figura para construir o losango GABI, que é uma característica do primeiro nível vanhieliano. Na Figura 79, encontramos uma ilustração para esse caso, com a produção da dupla D09. Em comparação com a Atividade 07, entre essas duplas, apenas D07 que não fez uso da aparência física usual do losango em sua construção, pois produziu um paralelogramo (não losango). Então, esses
indícios parecem mostrar que essa dupla avançou em seu pensamento geométrico (comparando suas produções nas duas atividades referentes à construção de um losango).
Figura 79 – Losango GABI construído pela dupla D09
Fonte: Dados da pesquisa
Além disso, identificamos duas duplas (D05 e D08) que produziram outros tipos de quadriláteros notáveis que não se configuram como losangos. D05 construiu um paralelogramo (Figura 80) e D08 fez um trapezoide (Figura 81).
Na atividade anterior, D05 construiu um losango a partir de sua definição usual, enquanto que D08 construiu um losango com base em sua aparência global.
Agora, analisando as explicações das duplas de estudantes referentes ao modo como produziram o losango, constatamos que dez duplas (D01, D03, D05, D08, D09, D10, D12, D13, D14 e D15) inicialmente construíram a reta a, na qual, traçaram o ponto I, e em seguida, por meio do recurso “Polígono Regular” ou do recurso “Polígono” estabeleceram o losango GABI: “Fizemos uma reta e os pontos
a reta, colocando a reta em posição diagonal” (D01); “Foi fácil. Fizemos a reta e os pontos. Depois fizemos um polígono rígido” (D03); “Nós criamos a reta “a” e lá criamos o ponto “I” e depois fizemos um polígono rígido a partir desse ponto e no polígono, colocamos os pontos G, A e B, de forma que obtemos um losango com o ponto I na reta “a”” (D05); “Criando a reta a, colocando o ponto I nessa reta, e posicionamos os pontos formando um losango” (D08); “Utilizamos a reta como apoio para os pontos I e B e utilizamos a ferramenta de polígono” (D09); “Construir fazendo 1 reta e depois os polígonos” (D10); “Fizemos a reta a passando pelos pontos B e I, depois fizemos o lango GABI” (D12); “Nós utilizamos a opção polígono rígido” (D13); “Fizemos uma reta, e colocamos o ponto I na reta, e fizemos um lozango GABI, de modo que ele seja regular” (D14); “Apenas ligamos os pontos até formar um losango” (D15).
Figura 80 – Paralelogramo GABI considerado losango pela dupla D05
Figura 81 – Trapezoide GABI considerado losango pela dupla D08
Fonte: Dados da pesquisa
Três duplas (D02, D06 e D07) disseram que estabeleceram primeiramente o losango, para em depois traçar a reta a: “Primeiro criamos os pontos, logo após
usamos o poligono e depois fizemos a reta” (D02); “Nós usamos a ferramenta poligono regular e criamos 2 pontos que seria GA e automaticamente se criou mas 2 pontos que foram o que nós fizemos a reta no caso BI” (D06);“Selecionamos: polígono rígido. Fizemos o losango, e depois fizemos a reta “a”” (D07).
Esses registros apresentam que nenhuma dessas treze duplas mencionou que fez uso das propriedades das diagonais do losango, nem das noções de circunferência, de perpendicularismo e de paralelismo.
Além disso, cinco duplas registraram o comportamento da figura, quando seus pontos eram deslocados. Desse total, quatro (D01, D02, D11 e D14) verificaram que a figura continua losango, provavelmente por terem utilizado o recurso “Polígono Rígido” do GeoGebra: “Movemos os pontos e a figura continuou
um lôsangulo” (D01), “Permanece, mas ao mover o ponto “I” a reta “a” também se move” (D02), “A figura permanece um losângulo” (D11), “E assim ele permanece um
losango em quando movemos seus vértices” (D14); e uma dupla (D10) observou o
contrário, que a figura não permanece losango, possivelmente, por ter trabalhado com o recurso “Polígono”: “Que quando movemos os pontos I e B eles continuam na
reta, porém não continuam sendo um losango” (D10).