Fibré en droites (G × P/H)-linéarisé au dessus d’une variété homogène G/H

sous-groupe horosphérique G et on pose P = NG(H). Commençons par rappeler la définition d’un fibré linéarisé dans notre situation.

Définition 5.1.13 Soit Π : L → G/H un fibré en droites au dessus de G/H. On dit que L est (G × P/H)-linéarisé

s’il existe une action Θ : (G × P/H) × L → L notée (x, y) 7→ Θx(y)telle que • Π : L → M est un morphisme G-équivariant,

• pour tous les g ∈ G et p ∈ P , l’application induite par l’action de Θ(e,pH)entre les fibres LgHet Lgxp−1Hest linéaire.

Remarquons qu’à tout fibré en droites (G × P/H)-linéarisé, on peut associer un caractère de P . En effet, pour tout p ∈ P , l’action de (p, pH) ∈ diag(P ) est triviale sur la classe triviale dans G/H. Ainsi, Θ(p,pH)

induit un isomorphisme linéaire (d’inverse Θ(p−1,p−1H))entre LeHet LeHet donc une représentation linéaire de dimension 1 de diag(P ) ' P i.e. il existe un caractère χ ∈ X(P ) tel que

(p, ph) · ξ = χ(p)ξ, ∀ξ ∈ L_eH.

Considérons la projection π : G −→ G/H. On peut alors définir le fibré tiré-en-arrière π^∗Lau dessus de G, qui est un fibré en droites. De plus, comme π est G-équivariant, le fibré π^∗Ladmet une G-linérisation. En particulier, on peut alors définir une section globale s sur π^∗L. Pour cela, on choisit un élément s(e) ∈ (π^∗L)e

et on pose :

s : g ∈ G 7→ g · s(e) ∈ (π^∗L)g. (5.2) Maintenant considérons l’inclusion ι : P/H −→ G/H. On peut définir le fibré restriction ι∗L défini au dessus de P/H qui est un fibré en droites. De plus, comme ι est équivariant pour l’action de P × P/H, nous obtenons que ι∗Lest un fibré (P × P/H)-linéarisé. On peut alors aussi définir deux sections globales :

s_r: pH ∈ P/H 7→ (p, eH) · s⁰(e), (5.3) sl: pH ∈ P/H 7→ (e, p⁻¹H)s⁰(e), (5.4) où l’élément s⁰(e)appartenant à (ι^∗L)_eest tel que s⁰(e)et s(e) s’envoient sur le même élément de LeH par les applications canoniques π^∗L → Let ι^∗L → L. On remarque que ces sections sont reliées par la formule :

sr(pH) = χ(p)sl(pH).

Terminons cette section, en résumant ce que nous venons de définir avec un diagramme commutatif : π^∗L //  L  ι^∗L oo  G s AA π // G/H P/H s_r ]] s_l AA ι oo

5.1. LES VARIÉTÉS HOROSPHÉRIQUES 91

Métriques hermitiennes sur les fibrés (P × P/H)-linéarisés au dessus de G/H

Rappelons qu’une métrique hermitienne q sur une fibré vectoriel complexe L au dessus d’une variété complexe X est la donnée pour tout x ∈ X d’une métrique hermitienne qx sur la fibre Lxde L telle que l’application x 7→ qxest lisse. Prenons maintenant une trivialisation s de L au-dessus d’un ouvert U de X. Si L est un fibré en droites, cela revient à dire que pour tout x ∈ U le vecteur s(x) est une base de Lx et donc définir qxse résume à se donner un réel strictement positif axqui sera égal à la norme au carré de s(x) par rapport à la forme hermitienne qxi.e. ax= |s(x)|2

q. On définit alors le potentiel local de q (par rapport à la trivialisation s) par ϕ : x ∈ U 7→ − ln ax∈ R. Notons que la métrique h est entièrement déterminée par tous ses potentiels locaux et que q est lisse si et seulement si tous ses potentiels locaux sont lisses.

Finissons en rappelant que l’on peut associer, à toute métrique q hermitienne, une (1, 1)-forme ωqappelée courbure de q. Pour ce faire, nous définissons localement ωq|U =√

−1∂∂ϕ où ϕ est le potentiel local associé à une trivialisation au dessus de U . Nous vérifions que ωq|Une dépend pas de la trivialisation et donc définit une (1, 1) - forme globale. De plus, nous pouvons montrer que ωq ∈ 2π c1(L). On dira aussi que L est à courbure positive s’il existe une métrique q telle que ωq est une forme de Kähler. Il y a aussi une notion de potentiel global. Pour le définir, on définit une métrique hermitienne de référence q0 sur L et pour toute métrique hermitienne q, on définit la fonction lisse ψ sur X, appelée potentiel global de q par rapport à q0par la formule suivante :

∀ξ ∈ L_x, |ξ|²_q = e^−ψ(x)|ξ|2 q0.

Par définition des (1, 1)-formes ωqet ωq0et en faisant un calcul dans des cartes locales, on voit que la fonction ψsatisfait la relation suivante :

ω_q0 = ω_q+√

−1 ∂∂ ψ. On pourra consulter [17] pour plus de détails.

Soient G/H un espace homogène horosphérique, L un fibré en droites (G × P/H)-linéarisé sur G/H et qune métrique K-invariante hermitienne sur L. On peut alors considérer la métrique π∗qsur le fibré π∗Let définir le potentiel local (qui est en fait défini sur tout G) φ par rapport à la section s de l’équation (5.2) :

φ : g ∈ G 7→ −2 ln |s(g)|π∗q∈ R.

On peut aussi définir un autre potentiel u : a1→ R associé à la restriction à ι∗L:

u : x ∈ a₁7→ −2 ln |sr(exp(x)H)|_ι∗q ∈ R. (5.5) Nous avons la proposition suivante qui permet de relier les deux potentiels.

Proposition 5.1.14 ([16]) En gardant les notations précédentes, nous avons

φ(k exp(x) h) = u(x) − 2 ln |χ(exp(x)h)|, pour tous les k ∈ K, x ∈ a1, h ∈ H.

Courbure

Dans cette section, nous rappelons le calcul de la courbure de fibré en droite sur G/H dans une base adaptée. La première étape consiste à définir cette base. À cet effet, nous rappelons que nous pouvons identifier l’espace tangent de G/H en eH avec g/h ' ⊕_α∈Φ+

PCe−α⊕ a1⊕ J a1. On peut alors obtenir une base complexe de l’espace tangent TeH(G/H)comme concaténation d’une base (li)1≤i≤rsur a1et des (e−α)_α∈Φ+

P. Sur P/H, nous pouvons définir pour ξ ∈ TeH(G/H)le champ de vecteurs holomorphes réel :

Rξ : pH 7→ (H, p⁻¹H) · ξ. (5.6)

Nous avons alors une base complexe de T1,0(P/H)donnée par les (Rlj−^√−1J Rlj)/2pour 1 ≤ j ≤ r et (Re_−α−^√−1J Re_−α)/2pour tout α ∈ Φ_P⁺, et nous notons par (γj)1≤j≤r· (γα)_α∈Φ+

P la base duale. Avec cette base, nous pouvons calculer la courbure.

92CHAPITRE 5. EXISTENCES DE SOLITONS DE KÄHLER-RICCI DANS LES VARIÉTÉS HOROSPHÉRIQUES

Théorème 5.1.15 ([16]) Soit ω la (1, 1)-forme de courbure K-invariante d’une métrique K-invariante q sur un (G×

P/H)-linéarisé fibré en droites L sur G/H, dont on note χ le caractère associé. La forme ω est déterminée par sa restriction à P/H, donnée pour tout x ∈ a1par

ω_exp(x)H = ^X 1≤j₁,j₂≤r 1 4 ∂2u ∂l_j1∂l_j2^(x) √ −1 γ_j1∧ γ_j 2+ ^X α∈Φ⁺_P hα,¹ 2∇u(x) − t_χi^√−1 γ_α∧ γ_α,

où ∇u ∈ a1est le gradient de la fonction u sur a définie par l’équation (5.5) pour le produit scalaire (·, ·). De plus, on a, en posant MA_R(u) = det(Hess(u)),

ωⁿ_exp(x)H= ^MAR(u)(x) 4r2Card(Φ⁺_P) Y α∈Φ⁺_P hα, ∇u(x) + 4tχi Ω, où Ω :=^{ ^} 1≤j≤r γ_j∧ γ_j^∧^{ ^} α∈Φ⁺_P γ_α∧ γ_α^.

De plus, en choisissant convenablement s(e) pour la formule (5.3), nous obtenons la formule ωⁿ_exp(x)H= ^MAR(u)(x)

4r2Card(Φ⁺_P) Y

α∈Φ⁺_P

hα, ∇u(x) + 4tχis⁻¹_r ∧ sr−1. (5.7)

Pour cela, on pose

S :=^{ ^} 1≤j≤r γi  ∧^{ ^} α∈Φ⁺_P γα  ,

qui définit donc une section du fibré ι^∗K_G/H où KG/H est le fibré canonique de G/H. En particulier, on a S|eH ∈ (ι∗K)eH,et en utilisant les isomorphismes suivants

(K_{P /H})eH ' (ι^∗K_G/H)eH ' (K_G/H)eH ' (π^∗K_G/H)eH,

nous posons via ces isomorphisme s(e) := S|eH. Nous obtenons alors, par définition de Ω et sr (formules (5.6) et (5.3)), que

∀x ∈ a1, sr(exp(x)H) = s(exp(x)H),

et ceci permet de conclure. Nous utiliserons constamment par la suite ce choix de section .

Lien avec le polytope moment et conséquences

Dans cette section, on considère un plongement horosphérique, de groupe réductif G et de sous-groupe horosphérique H. On notera P = NG(H)le normalisateur de H dans G. Rappelons que P est un sous-groupe parabolique et qu’il existe un autre sous-sous-groupe parabolique Q tel qu’il existe un sous-sous-groupe de Levi L vérifiant P ∩ Q = L. Dans cette partie, on considère que le sous-groupe parabolique P contient le sous-groupe de Borel opposé B− i.e. Φ⁺_P = Φ⁻\ΦL = −(Φ⁺\ΦL). Rappelons que nous avons introduit le polytope moment ∆+de X par rapport au sous-groupe B de Borel. Maintenant, nous définissons

∆ := −2ρ_P− ∆+

où ρP = ^X

α∈Φ⁺_P

α (5.8)

et la fonction support v2∆par

v_2∆: 2∆ −→ _R

x 7−→ sup_p∈2∆(x, p). (5.9)

Cette fonction vérifie les propriétés suivantes qui découlent directement de la définition : • ∀x ∈ a∗ 1, ∀α ∈ R⁺∗, v(α x) = αv(x) • ∀(x, y) ∈ (a∗ 1)², v(x + y) ≤ v(x) + v(y) • ∀x ∈ a∗ 1, v(x) ≤ d kxkoù d = supp∈2∆kpk.

5.2. EXISTENCE DE SOLITONS DE KÄHLER-RICCI DANS LE CAS HOROSPHÉRIQUE 93