des graphes
2.2.3 Ferm´ es ´ el´ ementaires et ferm´ es minimaux
On appelera ferm´e ´el´ementaire et on notera Fx, la fermeture d’un singleton {x} de E. On note Fe(E, a) ou Fe, l’ensemble des ferm´es ´el´ementaires de E :
Fe(E, a) = {Fx, x∈ E}
L’algorithme (Alg. 2.2.3) permet le calcul de la famille des ferm´es ´el´ementaires , et si on prend comme op´eration de base l’adh´erence, la complexit´e de cet algorithme qui comprend deux boucles imbriqu´ees est, dans le pire des cas, en O(n2× coˆut d’une adh´erence). Ferm´es ´el´ementaires
M´ethode : Fe() Variables : E : espace pr´etopologique Fe : famille d’ensembles F : ensemble D´ebut Fe ← ∅
Pour tout {x} ∈ E Faire Fx ← a({x})
Tant que a(Fx)6= Fx Faire Fx ← a(Fx)
Fin Tant que Fe← Fe∪ {Fx} Fin Pour
Retourner Fe
Fin
On appelle ferm´e minimal de E, tout ´el´ement de F (E, a), minimal au sens de l’inclu-sion. L’ensemble des ferm´es minimaux est not´e : Fm(E, a) ou Fm.
Un r´esultat important est que tout ferm´e minimal est obligatoirement ´el´ement deFe, c’est `a dire un ferm´e ´el´ementaire. D´eterminer les ferm´es minimaux revient donc `a explorer les ´el´ements de Fe et en extraire les ´el´ements minimaux par la relation d’inclusion. L’algo-rithme [15] permettant le calcul de la famille des ferm´es minimaux (Alg. 2.2.3), comprend ´egalement deux boucles imbriqu´ees, donc la complexit´e dans le pire des cas est en O(n2) (l’adh´erence n’intervient pas dans ce cas).
2.2.4 Espace pr´etopologique de type V
Un espace pr´etopologique g´en´eral comme d´efini ult´erieurement ne pr´esente que peu d’int´erˆet en l’´etat, car il est difficile d’en faire une analyse. Il faut donc amener une nouvelle propri´et´e pour rendre cet espace pr´etopologique plus «int´eressant», d’o`u la d´efinition d’un nouvel espace pr´etopologique : le type V.
2.2. La th´eorie de la pr´etopologie Ferm´es minimaux M´ethode : Fm(F) Variables : E : espace pr´etopologique F, FT, Fm : famille d’ensembles F, G : ensembles minimal : bool´een D´ebut Fm ← ∅
Tant que F 6= ∅ Faire Prendre F tel que F ∈ F F ← F − {F }
minimal← vrai FT ← F
Tant que FT 6= ∅ et minimal = vrai Faire Prendre G tel que G∈ FT
Si G⊂ F Alors minimal← faux Sinon Si F ⊂ G Alors F ← F − {G} Fin Si FT ← FT − {G} Fin Si
Fin Tant que
Si minimal = vrai Alors Fm ← Fm∪ {F }
Fin Si Fin Tant que Retourner Fm
2.2. La th´eorie de la pr´etopologie
D´efinition 2.3 Un espace pr´etopologique de type V (E, i, a) est d´efini comme suit : ∀A, B, A ⊆ E, B ⊆ E et A ⊂ B avec a(A) ⊆ a(B)
∀A, B, A ⊆ E, B ⊆ E et A ⊂ B avec i(A) ⊆ i(B) D’autres types d’espaces existent :
Espace pr´etopologique de type Vd
D´efinition 2.4 Un espace pr´etopologique de type Vd (E, i, a) est d´efini comme suit : ∀A, B, A ⊆ E, B ⊆ E et A ⊂ B avec a(A ∪ B) = a(A) ∪ a(B)
∀A, B, A ⊆ E, B ⊆ E et A ⊂ B avec i(A ∩ B) = i(A) ∩ i(B) Tout espace de type Vd est de type V.
Espace pr´etopologique de type Vs
D´efinition 2.5 Un espace pr´etopologique de type Vs (E, i, a) est d´efini comme suit : ∀A, A ⊆ E, avec a(A) = [
∀ x∈A
a({x})
Un espace de type Vs est clairement de type Vd. Les applications a et i ne sont pas forc´ement idempotentes. On ne doit pas confondre une pr´etopologie de type Vs et une topologie. Les types d’espaces les plus utilis´es dans nos ´etudes sont les typesV et Vs .
2.2.5 Pr´efiltre et base de voisinage
Comme ´ecrit plus haut, le concept de proximit´e en pr´etopologie est fondamental, c’est pour cela qu’il nous faut d´efinir ce que l’on appelle «ˆetre proche » d’un ´el´ement, autrement dit ˆetre dans le voisinage de cet ´el´ement. Pour cela il faut d´efinir ce voisinage par un pr´efiltre et une base de voisinage.
Pr´efiltre
Une notion essentielle de la topologie est la notion de filtres, qui conduit `a celle de voisi-nage. En pr´etopologie, non seulement nous conservons cette notion, mais nous d´efinissons en outre celle de pr´efiltre.
2.3. Mod´elisation d’un r´eseau par la pr´etopologie
D´efinition 2.6 Une partie F de P(E) est un pr´efiltre sur E si elle v´erifie la propri´et´e de stabilit´e par passage `a tout sur-ensemble :
∀ F ∈ F, ∀ H ∈ P(E), F ⊂ H ⇒ H ∈ F
Soit (E,i,a) un espace pr´etopologique de type V. Pour tout x de E, on d´efinit le pr´efiltre V (x) de parties de E par :
V(x) = {V ⊆ E/x ∈ i(V )}
Les ´el´ements de V(x) sont appel´es voisinage de x. Pour comprendre la relation avec les applications adh´erence et int´erieur, on les d´efinit `a partir d’un pr´efiltre V(x) :
a(A) ={x ∈ E/ ∀ V, V ∈ V(x), V ∩ A 6= ∅} i(A) ={x ∈ E/ ∀ V, V ∈ V(x), V ⊆ A} Base de voisinage
D´efinition 2.7 Soit B(x) la base de V(x) d´efinie comme suit : ∀ V, V ∈ V(x), ∃B, B ∈ B(x), B ⊆ V On d´efinit ainsi l’adh´erence comme suit :
a(A) ={x ∈ E/∀ B, B ∈ B(x), B ∩ A 6= ∅}
Il existe plusieurs mani`eres de d´efinir la base de voisinage selon la probl´ematique ´etudi´ee.
Par exemple, dans [52], on d´efinit une population o`u les ´el´ements sont reli´es par une ou plusieurs relations binaires Ri r´eflexives, soit pour tout i, la partie Bi(x) ´etant construite pour chaque x appartenant `a E de la mani`ere suivante : Bi(x) ={y ∈ E/x Ri y}.
Un autre cas tir´e de [48] o`u E est dot´e d’une m´etrique d´efinie par une distance et o`u la base de voisinage pour chaque x appartenant `a E et r ∈ R+ est d´efinie comme suit : B(x, r) = {y ∈ E, d(x, y) ≤ r}
2.3 Mod´elisation d’un r´eseau par la pr´etopologie
Il y a plusieurs raisons pour utiliser la th´eorie de la pr´etopologie dans la mod´elisation des r´eseaux : les mod`eles utilisant la th´eorie des graphes ont certaines limites. Premi`erement, on ne peut pas dissocier les liens : orient´es ou non, ils sont tous de nature identique. Si l’on veut utiliser n diff´erentes relations entre les noeuds, il faut construire n graphes diff´erents ce qui semble peu pratique [54]. Deuxi`emement, tous les mod`eles utilisant la th´eorie des graphes pr´esent´es jusqu’alors dans les ´etudes r´ecentes ont au moins une propri´et´e qui ne correspond pas aux r´eseaux du r´eel [56]. Et troisi`emement, les relations se font par paires de noeuds, on ne peut donc pas avoir de relations entre un groupe de noeuds et un noeud
2.3. Mod´elisation d’un r´eseau par la pr´etopologie
par exemple. Les hypergraphes r´epondent `a ce probl`eme, mais sont un cas particulier d’espace pr´etopologique [7].
O`u les autres mod`eles ont ´echou´e, la th´eorie de la pr´etopologie peut apporter une r´eponse.