5.2.1 Motivation
La limite de l'approche de sélection des règles non dominées résulte du caractère uni- quement statistique de la relation de dominance qui ne tient pas compte du caractère sémantique des règles. Cette limite nous a motivé à introduire le modèle des règles d'asso- ciation représentatives développé ci-après dont l'objectif est de produire un nombre réduit de règles véri ant les conditions suivantes :
"Consensus" : les règles représentatives doivent exprimer le meilleur compromis entre les diérentes évaluations des mesures choisies.
"Informativité" : le modèle des règles représentatives ne doit pas perdre trop d'in- formation par rapport à la donnée de l'ensemble des règles d'association. A cet eet, nous considérons qu'une règle r ne peut éliminer une règle r′ quand elles ne sont pas
comparables, même si r domine r′.
"Non-redondance" : la sélection d'un nombre raisonnable de règles d'association très pertinentes ne su t pas toujours à en donner une solution sans défaut à l'expert. Il se peut en eet que les informations véhiculées par les diérentes règles soient certes pertinentes mais se recoupent, ou soient identiques. Dans ce cas, les informations sont quali ées de redondantes. Il est alors nécessaire d'éliminer à partir d'un ensemble de règles structurellement comparables celles qui sont les moins intéressantes. Par exemple, considérons les règles suivantes : r2 : b → c , r9 : b → cd et r13 : bd
→ c extraites à partir du contexte T (c.f., Table 5.1 (a)). Les deux dernières règles
peuvent être éliminées puisqu'elles sont structurellement comparables à r2 et pour
toutes les mesures, les valeurs qui leur correspondent sont inférieures à celles de r2
(i.e., r2 domine r10 et r13 ). En fait, nous pouvons déduire que l'ajout de l'item d
soit à l'antécédent soit à la conclusion de r2 a un "eet négatif" sur la qualité de la
appelons une règle r redondante s'il existe une règle r′ qui lui est comparable et tel
que r′ ≻ r. Le modèle des règles représentatives ne doit pas ainsi contenir des règles
redondantes.
Ainsi, la sélection des règles d'association représentatives est nécessairement un pro- blème d'optimisation qui détermine les règles exprimant le meilleur compromis entre leurs évaluations par l'ensemble des mesures choisies et l'information contenue dans leur des- cription qui doit être simultanément informative et peu redondante. Elle retient donc l'idée de l'utilisation de la relation de dominance adoptée par la sélection des règles non dominées pour exprimer ce compromis. La principale diérence est de sélectionner en plus, les règles ayant une plus-value dans l'information présentée à l'expert.
5.2.2 Règles d'association représentatives
Dans ce qui suit, nous introduisons l'ensemble des règles représentatives qui satisfait au plus près les critères évoqués précédemment. La dé nition de cet ensemble est basée sur les notions de dominance et de similarité structurelle (ou comparabilité) entre les règles : 5.2.2.1 Comparabilité entre règles d'association
A n d'exprimer une relation de dépendance sémantique entre deux règles (i.e., qui véhi- culent une même information), plusieurs dé nitions ont été proposées [CVMC08], [RF07]. Ces dé nitions reposent essentiellement sur une comparaison au niveau des structures des règles. Par exemple, des règles liées sémantiquement peuvent avoir des items com- muns, ou des antécédents communs, ou des conclusions communes, etc. Formellement, la dépendance sémantique ou la comparabilité entre deux règles est dé nie comme suit : Dé nition 36 (comparabilité) :
Une règle r est comparable à une règle r′, noté comp(r, r′) = vrai, si et seulement si r
est structurellement similaire à r′.
Évidemment, toute relation de comparabilité est re exive, i.e., ∀ r ∈ AR, comp(r, r) =
vrai. Toutefois, une relation de comparabilité peut être soit :
Transitive : ∀ r, r′, r′′ ∈ AR tels que comp(r, r′) = vrai et comp(r′, r′′) = vrai,
alors comp(r, r′′) = vrai
Non-Transitive : ∃ r, r′, r′′ ∈ AR tels que comp(r, r′) = vrai et comp(r′, r′′) =
Cette distinction est très importante dans la mesure où la procédure de sélection des règles représentatives basée sur une comparabilité transitive dière de celle d'une sélection des règles représentatives basée sur une comparabilité non-transitive. Cette diérence fera l'objet d'une discussion dans la section 5.3.
5.2.2.2 Règles d'association représentatives
Dans ce qui suit, nous montrons que l'utilisation conjointe de la relation de dominance et la relation de comparabilité entre les règles réalise un compromis acceptable entre "consensus" et "informativité" des règles.
Dé nition 37 (règle représentative)
Soit une table relationnelle Ω = (AR, M). Une règle r ∈ AR est dite représentative d'une règle r′ ∈ AR, noté repres(r, r′)= vrai si et seulement si :
• r et r′ sont structurellement comparable (i.e., comp(r, r′)= vrai),
• r domine r′ (i.e., r ≻ r′).
A partir de la dé nition précédente, nous pouvons déduire que : 1. aucune règle ne peut être représentative d'une règle non dominée.
2. une règle ne peut être représentative d'une autre règle qui ne lui est pas compa- rable, même si elle la domine. Il serait, alors, intéressant de sélectionner toutes les règles - qu'elles soient dominées ou non dominées - qui n'ont aucune règle représen- tative, augmentant ainsi les connaissances présentées à l'expert. Bien évidemment, ces règles sont représentatives de toutes les règles qu'elles dominent et qui leur sont comparables.
Nous dé nissons l'ensemble des règles d'association représentatives comme suit : Dé nition 38 (Ensemble de règles d'association représentatives)
Soit la table relationnelle Ω = (AR, M). L'ensemble RR ⊆ AR représente les règles représentatives selon M si et seulement si :
1. toute règle r ∈ AR\RR a au moins une règle représentative r′ ∈ RR, i.e.,
repres(r′, r) = vrai,
2. toute règle r ∈ RR ne peut être représentative d'une autre règle r′ ∈ RR, i.e., ∀
Remarque 2 La première condition de la dé nition 38 garantit une "informativité" maximale des règles présentées à l'expert (i.e., elles véhiculent le maximum de connais- sances utiles). En eet, toutes les règles de l'ensemble RR sont représentatives des règles qui n'appartiennent pas à RR, la perte d'information étant alors nulle.
Remarque 3 La deuxième condition de la dé nition 38 garantit une "concision" opti- male de l'ensemble des règles représentatives. En eet, pour toute paire de règles (r, r′)
∈ RR, r ne peut être représentative de r′ et vice versa. Cette condition permet de réduire
au maximum le nombre des règles présentées à l'expert et d'éliminer une grande partie de la redondance entre règles.
Proposition 1 Soit la relation Ω = (AR, M) et RR ⊆ AR l'ensemble des règles repré- sentatives selon M. Alors :
Sky (Ω) ⊆ RR
Preuve 7 Par l'absurde s'il existe une règle non dominée r qui n'appartient pas à RR, alors il existe une règle r′ ∈ RR qui lui est représentative. On obtient la contradiction r′
domine r.