L’int´erˆet pour les processus multifractals en finance est relativement r´ecent, la litt´erature dans ce domaine est encore peu abondante mais plusieurs ´etudes [VA98, PS99, PS00, SSL00, MDB00, CF01, CF02] ont d´ej`a mis en ´evidence les faits stylis´es multifractals dans plusieurs s´eries financi`eres `a l’aide de diff´erentes m´ethodes : ondelettes [AMS98] ou fonction de structure [FCM97, CF01, CF02].
2.3.1 H´et´erog´en´eit´e du march´e
Une hypoth`ese classique en ´economie est celle d’un march´e homog`ene, o`u tous les investisseurs se comportent de la mˆeme fa¸con, en investisseurs rationnels maximisant leur fonction d’utilit´e. Les investisseurs r´eagissent donc tous de la mˆeme fa¸con aux ´ev´enements. L’hypoth`ese de march´e h´et´erog`ene est une nouvelle id´ee en mod´elisation. Cette hypo- th`ese suppose que les agents ont des perceptions du march´e, des degr´es d’information et des r`egles de comportement diff´erents, ce qui peut expliquer l’absence de l’´echelle caract´eristique.
Pour le march´e des changes, il apparaˆıt que les agents ont des profils de risques, des localisations g´eographiques et des contraintes institutionnelles diff´erents. Il y a eu un certain nombre d’articles dans les ann´ees 1990 rejetant l’hypoth`ese traditionnelle d’agents rationnels interpr´etant toutes les informations de la mˆeme mani`ere et n’ayant aucune raison d’avoir des horizons de temps diff´erents, et ce, pas uniquement pour le march´e des devises.
Dans les travaux [MDD+95, MDD+97], il est montr´e que c’est l’horizon de temps sur lequel les investisseurs influencent le march´e qui est l’aspect le plus important des diff´erences de comportement et de perception du march´e. Pour eux, les diff´erences entre agents vont essentiellement se traduire par des horizons de temps diff´erents. Ils tentent d’observer cela pour le march´e des devises. L’id´ee est que les agents agissant `a court terme ´evaluent le march´e `a de plus hautes fr´equences et ont une plus courte m´emoire que ceux travaillant `a plus long terme. Une augmentation rapide de 0.5% suivie par une baisse rapide de 0.5% est un ´ev´enement important pour un agent `a court terme, mais pas pour une banque centrale ou un autre investisseur `a long terme. Les agents `a long terme s’int´eressent, quant `a eux, plus `a la tendance g´en´erale sur de longs intervalles. Ils regardent le march´e (et sa volatilit´e) sur un maillage plus grossier. Les agents `a court terme et `a long terme n’auront donc pas les mˆemes ensembles d’opportunit´es, ils r´eagiront diff´eremment `a une mˆeme information.
2.3.2 Invariance d’´echelle des rendements
Comme nous avons not´e dans la section 1.2.3, la distribution des rendements change avec l’´echelle de temps en se rapprochant d’une loi normale pour de grands intervalles de temps.
100 101 10−9 10−8 10−7 10−6 10−5 10−4 10−3 10−2 10−1 q=0.5 q=1 q=1.5 q=2 q=2.5 q=3 q=3.5 q=4 q=4.5 q=5 Echelle τ (jours) Moments M( τ ,q)
Moments empiriques d’ordres positifs des rendements logarithmiques du taux de change GBP/USD en fonction de l’échelle
Fig. 2.5 – Fonction de partition (2.81) des rendements logarithmiques du taux de change GBP/USD, pour l’ordre q variant de 0.5 `a 5 et l’´echelle τ variant de 1 jour `a 15 jours. Le comportement lin´eaire des moments aux ´echelles logarithmiques confirme que les rendements logarithmiques poss`ede une invariance d’´echelle.
Pour mettre en ´evidence le caract`ere multifractal d’une s´erie financi`ere il est naturel d’´evaluer les diff´erents moments des rendements logarithmiques E [|δτX(t)|q] par leurs moyennes empiriques M (τ, q) = 1 bN/τ c bN/τ cX k=1 ¯ ¯X(kτ) − X(kτ − τ)¯¯q, (2.81)
o`u N est la longueur de la s´erie. La fonction M (τ, q) devrait se comporter en fonction de τ comme une loi de puissance si la s´erie est multifractale. Pour le v´erifier, en pratique, on trace les logarithmes des moyennes empiriques ln(M (τ, q)) en fonction de ln(τ ) pour d´etecter le comportement lin´eaire.
Pour des moments sup´erieurs `a 5, les fluctuations statistiques sont assez ´elev´ees, ce qui introduit une grande incertitude de la signification statistique des r´esultats.
Sur la figure 2.5 nous avons ´evalu´e les diff´erents moments absolus des rendements loga- rithmiques du taux de change GBP/USD par leur moyenne empirique (2.81). L’hypoth`ese de l’invariance d’´echelle doit se traduire par un trac´e lin´eaire aux ´echelles logarithmiques, ce qui est confirm´e au moins pour les premi`eres valeurs de q. Pour les ordres q sup´erieurs `a 5 et pour les ´echelles sup´erieures `a 15 jours, les fluctuations statistiques sont amplifi´ees,
Mod`eles multifractals Section 2.4
c’est-`a-dire que seulement quelques termes dominent la fonction de partition (2.81), et, si les trac´es conservent une allure qualitativement lin´eaire, l’incertitude est grande et la signification statistique des r´esultats obtenus est sujette `a caution.
2.3.3 Autocorr´elation des magnitudes
Dans la section 1.2.5 nous avons d´ej`a mis en ´evidence la pr´esence de m´emoire longue dans les s´eries financi`eres en calculant des autocovariances des rendements absolus ou quadra- tiques. Une autre observation importante est celle de l’autocovariance des logarithmes des rendements (logarithmiques) absolus, appel´es magnitudes. Une ´etude effectu´ee sur des donn´ees r´eelles montre que cette fonction d’autocovariance se comporte comme
γln(h) = Cov£ln |δτX(t)|, ln |δτX(t + h)| ¤ ∼ ( −λ2lnT h, pour l ¿ h 6 T , 0, pour h > T , (2.82)
o`u le facteur λ2 est de l’ordre de 0.02 et le coefficient T peut varier entre quelques mois et
quelques ann´ees. Une propri´et´e remarquable de cette fonction d’autocovariance est qu’elle ne d´epend pas du choix de l’´echelle τ .
La figure 2.6 repr´esente la fonction d’autocovariance empirique des magnitudes journaliers du taux de change GBP/USD. Elle reste tr`es longtemps significativement positive et indique donc l’existence d’une autocorr´elation des magnitudes. Une r´egression effectuant de cette fonction d’autocovariance contre le logarithme du temps indique qu’elle peut ˆetre bien approxim´ee par une fonction d´ecroissante logarithmiquement jusqu’`a z´ero, comme le montre le trac´e tiret´e sur la figure.