Extensions de Pólya

Uma série temporal pode ser definida como sendo qualquer conjunto de observações ordenadas no tempo (Morettin, 1985).

Portanto, uma série temporal (sucessão cronológica) interpreta-se como um conjunto de observações efetuadas em instantes sucessivos de tempo, no decorrer de um determinado intervalo e caracteriza-se da seguinte maneira:

Yt (discreta), t = 1,2, …, n ou Y(t) (contínua), t I ! "

As séries temporais podem ser constituídas por uma única observação em cada ponto – séries temporais univariadas – ou pela gravação simultânea de dois ou mais fenómenos – série temporais multivariadas. No projeto corrente a nossa atenção será canalizada para as séries temporais univariadas.

As séries temporais podem reger-se de acordo com um ou mais movimentos que podem ser classificados em quatros tipos principais, frequentemente denominados componentes de uma série temporal:

33•

§ Movimentos de tendência

Descrevem uma direção global segundo a qual a série temporal tende a desenvolver-se num intervalo de tempo longo.

§ Movimentos ou variação cíclicas

Descrevem oscilações a longo prazo ou desvios em torno da reta ou curva de tendência. Tais ciclos, como são frequentemente apelidados, podem ou não seguir padrões exatamente análogos ao longo de intervalos de tempo iguais.

§ Movimentos ou variações por estações (sazonalidade)

Descrevem padrões idênticos, ou quase, a que uma série temporal parece obedecer durantes os mesmos meses/períodos de anos sucessivos.

§ Movimentos irregulares ou aleatórios

Descrevem deslocamentos esporádicos das sucessões cronológicas, incitados por acontecimentos aleatórios, como eleições, cheias graves, etc. Embora se admita que estes acontecimentos produzem variações somente durante um curto período de tempo, é concebível que as mesmas sejam tão intensas que acarretem novos movimentos cíclicos ou de outra natureza.

Aquando a análise de uma série temporal é usual recorrer-se a uma reflexão da sua assimetria bem como da sua curtose, no intuito de entender melhor o tipo de distribuição segundo a qual a série em estudo se rege.

• •

Assimetria•

Por assimetria entende-se o grau de afastamento que uma distribuição apresenta do seu eixo de simetria. Tal afastamento pode ocorrer do lado esquerdo ou do lado direito da distribuição, assumindo as denominações de assimetria negativa ou positiva, respetivamente:

34•

§ Distribuição simétrica Média = Mediana = Moda

§ Distribuição assimétrica positiva (à direita) Média ! Mediana ! Moda

§ Distribuição assimétrica negativa (à esquerda) Média ! Mediana ! Moda

A simetria de uma distribuição também pode ser estudada através do seu•coeficiente• do•momento•de•assimetria, isto é:

sk =

$+

*

onde n corresponde ao número de observações da série, e ._/ ao valor registado por esta no instante i.

Uma vez calculado o coeficiente do momento de assimetria, a distribuição é determinada conforme cada um dos seguintes casos:

§ sk = 0, distribuição simétrica

§ sk > 0, distribuição assimétrica positiva § sk < 0, distribuição assimétrica negativa

• • Média Mediana Moda Dist. Simétrica

Moda Mediana Média Assimetria à direita/positiva

Moda Mediana Média

Assimetria à esquerda/negativa

35• Curtose•

No que diz respeito ao conceito de curtose, temos que corresponde ao grau de achatamento da distribuição (ou o quanto uma curva de frequência será achatada em relação a uma curva normal de referência)

Para avaliar a curtose associada a uma série, é usual calcular-se o respetivo coeficiente do momento de curtose:

k

=

$+

,(_!" (#!$+ $&%')-)-

mantendo as denotações de n para o número de observações registadas pela série, e ._/ para o valor assumido por esta no instante i.

De acordo com o valor do coeficiente do momento de curtose associado à série, assumimos que a mesma se rege de acordo com uma das seguintes distribuições:

§ k= 3, distribuição mesocúrtica § k•> 3, distribuição leptocúrtica § k< 3, distribuição platicúrtica

Graficamente, temos:

De uma forma global, os coeficientes de assimetria e curtose, são utilizados para fazer inferências acerca da normalidade da variável (neste caso, da série ou resíduos) em estudo. Por assim ser, também é usual recorrer-se ao teste Jarque-Bera com o mesmo propósito.

•

36• Teste•Jarque-Bera•(BJ)•

O teste Jarque-Bera é um dos testes mais comuns para testar a normalidade de uma variável (Brooks, 2008), através da média, variância, simetria e curtose da mesma. Ou seja, assume-se que uma variável tem distribuição normal se apresentar uma distribuição simétrica e mesocúrtica (isto é, com coeficiente de curtose igual 3).

A estatística de teste do JB tem uma distribuição !2 _{com 2 graus de liberdade sobre} a hipótese nula da normalidade, ou seja:

••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••Teste•Jarque-Bera•

•••••••••H0 : Distribuição Normal versus H1 : Distribuição não é normal

Assim, se a série se reger de acordo com uma distribuição normal, a estatística do teste de Jarque-Bera não será significante, ou seja, o p-value associado ao teste será superior ao nível de significância 5%, levando à não rejeição da hipótese nula da normalidade sobre um nível de 5%.

•

Análise•de•uma•série•temporal•

Para o estudo íntegro de uma série temporal, de uma forma objetiva e resumida, são percorridos os seguintes passos:

1. Caracterização: a caracterização de uma série temporal é a tarefa inaugural e essencial mesmo para estudos mais complexos. Primeiramente, representam-se as observações graficamente, identificam-se os outliers15_•e•o

tipo de movimento. Também é frequente recorrer-se a medidas estatísticas para descrever os dados e calcular, por exemplo, a variância de todos os termos, a média aritmética, a taxa de variação no intervalo total ou em intervalos parciais, a distância média entre mínimos e máximos (locais), etc. (Murteira et al., 1993).

2. Modelação: a modelação de séries temporais consiste em identificar a estrutura (determinística e/ou estocástica) e um modelo apropriado para descrever as séries. Uma vez que existem vários tipos de séries temporais, é

15_{Um outlier corresponde a uma observação que se destaca das demais devido ao seu valor atípico}

37•

integrante eleger uma classe adequada ao modelo e estimar os parâmetros inclusos no mesmo (Kitagawa, 2010).

3. Previsão: de acordo com as correlações entre as variáveis ao longo do tempo, é possível prever o comportamento (futuro) das séries temporais recorrendo a observações passadas e atuais.

4. Controlo: suponhamos que a série temporal em estudo traduz uma característica quantitativa de uma produção em série. Enquanto essa característica se encontrar dentro dos limites previamente estabelecidos, considera-se que o processo está sob controlo e produção pode prosseguir; caso contrário, a produção deverá ser suspensa para que se encontrem, e se corrijam, os fatores responsáveis pelo comportamento invulgar.