Extensions de Pólya

On rappelle le problème de plongement classique :

Peut-on plonger un corps K dans un corps L tel que O_L soit principal ? Le problème de plongement d’un corps K dans un corps L de Pólya est équivalent au problème suivant :

Existe-t-il un corps L tel que pour tout q ≥ 2, les idéaux Π_q(L) de l’anneau O_L soient principaux ?

On sait que pour tout corps de nombres K, il existe une extension abélienne qui possède des qualités de principalité.

Définition 1.47. On appelle corps de classes de Hilbert (resp. au sens res-treint) d’un corps de nombres K et on note HK (resp. Hres

K ), l’extension abélienne non ramifiée (resp. aux seules places finies) maximale de K. Théorème 1.48. [34] Le groupe de Galois de l’extension HK/K est iso-morphe à Cl(K), le groupe de classes de K. Le degré de l’extension [H_K : K] est donc égal à h_K, le nombre de classes de K.

Gal(HK/K) ' Cl(K), [HK : K] = hK.

Dans la suite de ce travail, pour un certain nombre premier p, nous se-rons amenés à travailler avec le p-corps de classes de Hilbert d’un corps de nombres.

Définition 1.49. On appelle p-corps de classes de Hilbert du corps K la p-extension maximale contenue dans HK. On le note H(p)

Rappelons que pour un nombre premier p fixé, une extension K0/K est dite extension si elle est galoisienne et si son groupe de Galois est un p-groupe. Par conséquent, l’extension H(p)

K /K possède un groupe de Galois isomorphe au p-sous-groupe de Sylow du groupe des classes.

Théorème 1.50. [14, Capitulation, Fürtwangler] Les idéaux de OK de-viennent principaux par extension à O_HK. Autrement dit, ces idéaux capi-tulent dans O_HK.

Pour tout q ≥ 2, l’idéal Πq(K) capitule dans OH_K. Mais Πq(HK) n’est, à priori, pas nécessairement principal. Par analogie avec la propriété de HK, définissons les extensions de Pólya :

Définition 1.51. Une extension de corps de nombres L/K est dite extension de Pólya si tous les idéaux Πq(K) capitulent dans OL.

Faisons le lien avec les polynômes à valeurs entières afin de justifier la termi-nologie.

Définition 1.52. Soit L une extension de K.

1. L’ensemble des polynômes à valeurs entières sur OK relativement à O_L est l’ensemble :

Int (OK, OL) = {P ∈ K [X] |P (OK) ⊂ OL} .

2. Le n-ième idéal factoriel de OK relativement à O_Lest l’idéal de OLnoté n!^OL

OK, inverse de l’idéal fractionnaire formé des coefficients dominants des polynômes de Int (OK, O_L) de degré ≤ n.

3. Si Cl (OL) désigne le groupe des classes d’idéaux de OL, le groupe de Pólya-Ostrowski de Int (OK, O_L) est le sous-groupe de Cl (OL) engen-dré par les classes d’idéaux factoriels n!O_L

O_K. On le note P o (OK, O_L). Proposition 1.53. Le OL-module engendré par Int (O_K) est égal à l’anneau Int (O_K, O_L). En particulier,

n!O_KO_L= n!^OL

O_K.

Preuve. L’inclusion Int (OK) ⊂ Int (O_K, O_L) entraîne que le OL module engendré par Int (OK) est contenu dans Int (OK, O_L).

Montrons l’inclusion inverse. Posons pour simplifier A = OK et B = OL. Soit f ∈ Int(A, B) de degré d. Soit m un idéal maximal de A. On sait [10, Th. II.2.7] que comme Am est un anneau de valuation discrète à corps résiduel

fini de cardinal q, il existe une suite (an)_n∈N d’éléments de K telle que les polynômes (fn)_n∈N suivants forment une base régulière de Int(Am) qui est aussi égal à Int(A)m (cf. proposition 1.13) :

f_n(X) = n−1 Y k=0 X − a_k a_n− a_k^.

Explicitons une telle suite (an)_n∈N. En suivant [10, Prop. II.2.3], considérons un système complet de représentants {a0, . . . , a_q−1} modulo m et t une uni-formisante. En décomposant n en base q, n = nrq^r + . . . + n1q1 + n0 où 0 ≤ n_i < q pour tout i et en posant an = a_nrtr+ . . . + a_n1t + a_n0, la suite (a_n)_n∈N fournit une base régulière (fn)_n∈N de Int(Am). La suite (fn)_n∈N est en particulier une base de L[X], donc il existe α0, . . . , αd dans L tels que

f (X) = d X k=0 α_kf_k(X). Comme f_k(a_j) ∈ A_m pour 0 ≤ j, k ≤ d, f_k(a_j) = 0 pour 0 ≤ j ≤ d, f_k(a_k) = 1, f (aj) ∈ B pour 0 ≤ j ≤ d,

les d + 1 coefficients αk vérifient un système de d + 1 équations linéaires dont la matrice est triangulaire, unimodulaire à coefficients dans Am et dont tous les seconds membres sont dans B. Par suite, les αk sont dans Bm et donc le B-module Int(A, B) est contenu dans le Bm-module engendré par Int(A). Ceci ayant lieu pour tout idéal m, Int(A, B) est contenu dans le B-module engendré par Int(A).

La suite de la proposition est prouvée par le fait que l’idéal n!OKO_L est l’idéal inverse de l’idéal formé par les coefficients dominants de l’ensemble hInt_n(O_K)i_(O

L) qui est égal à Intn(O_K, O_L); mais l’idéal inverse formé par l’ensemble des coefficients dominants de Intn(O_K, O_L)n’est autre que n!O_L

O_K.

On généralise alors toutes les propriétés obtenues sur Int (OK). En parti-culier :

Proposition 1.54. Les assertions suivantes sont équivalentes : 1. Le OL-module Int (OK, O_L) possède une base régulière.

2. Pour tout n ∈ N, l’idéal n!^OL

O_K de O_L est principal. 3. Le groupe P o (OK, OL) est trivial.

Preuve. L’équivalence de 2 et 3 est évidente. L’équivalence de 1 et 2 se montre de façon analogue à celle de la proposition 1.8.

Ces deux dernières propositions permettent de montrer :

Proposition 1.55. L’extension L/K est une extension de Pólya si et seule-ment si le O_L-module Int (O_K, O_L) possède une base régulière.

Preuve. Supposons que L/K soit une extension de Pólya. Par définition, les idéaux étendus Πq(O_K) O_L sont principaux. Par ailleurs, les idéaux n!OK

sont engendrés par les idéaux Πq(O_K)et réciproquement. Les idéaux étendus Π_q(O_K) O_Lsont principaux si et seulement si les idéaux n!O_L

O_K = n!O_KO_Lsont principaux, d’après la proposition précédente, ceci est équivalent à dire que, Int (O_K, O_L)possède une base régulière.

Exemple 1.56. 1. Si K est un corps de Pólya, alors toute extension L/K est une extension de Pólya.

2. Tout corps de nombres K possède une extension de Pólya, à savoir HK, le corps de classes de Hilbert de K.

Lemme 1.57. Soit I un idéal de OK dont la classe est d’ordre r dans Cl(K). Écrivant Ir = αO_K et notant β une racine r-ième de I alors I capitule dans K(β).

Preuve. En posant L = K(β) :

(IO_L)^r = I^rO_L= αO_L = β^rO_L = (βO_L)^r.

A fortiori, I capitule dans toute extension plus grande. Bien evidemment, [K(β) : K] ≤ r. En fait, on verra plus loin que [K(β) : K] = r

Proposition 1.58. Il existe une extension de Pólya de K dont le degré est inférieur au produit des ordres des classes des Πq(K) formant un système générateur de P o(K).

Preuve. Ayant choisi Πq1, . . . , Π_qldont les classes engengrent le groupe P o(K), la classe de chaque Πqi est d’ordre ri fini dans ce groupe. Il existe αi tel que Πri

qi = α_iO_K. Pour tout entier i, soit βi ∈ C tel que β^ri

i = uα_i où u ∈ O× K.

D’après le lemme précédent, l’extension L = K (β1, · · · , β_s) est une exten-sion de Pólya de K. Ainsi les Πqi capitulent dans OL et donc aussi tous les Π_q puisque les classes des Πqi engendrent P o(K). Enfin, pour tout entier i, [K(β_i) : K] ≤ r_i.

Exemple 1.59. Soit K = Q ^√−d

où d est un entier positif sans facteurs carrés possédant au moins 2 diviseurs premiers distincts (ceci nous assurant que K n’est pas un corps de Pólya). Soient p1, . . . , ps les diviseurs premiers du discriminant DK de K. Seuls les idéaux Πpi sont susceptibles d’être non principaux dans OK. Pour tout i ∈ {1, . . . , s}, piO_K = Π2

pi et l’ordre de la classe de Πpi dans P o(K) est au plus égal à 2. La proposition précédente nous donne une extension de Pólya de K : K ^√p₁, . . . ,√

p_s
.

Remarque 1.60. Le type d’extension fournie par la proposition 1.58 n’est pas toujours incluse dans HK. En effet, considérons K = Q ^√−15

. Le corps L = K √

−5,^√3
est une extension de Pólya de K et le nombre 2 est ramifié dans l’extension Q ^√−15
⊂ Q ^√−5,^√3
.

Remarque 1.61. Même si les idéaux d’un corps K capitulent dans son corps de classes de Hilbert HK, il se peut que les idéaux de OHK ne soient pas tous principaux. De façon analogue, bien que les deux notions soient proches, une extension de Pólya n’est pas, en général, un corps de Pólya. En effet, au chapitre suivant, nous verrons que l’extension Q[^√−5,^√2]/Q[^√−10]est une extension de Pólya mais que le corps Q[^√−5,^√2]n’est pas un corps de Pólya. Si une extension L/K est de Pólya, alors toute extension M de L est une extension de Pólya de K. D’où l’intérêt de trouver des extensions de Pólya de K minimales :

Définition 1.62. Soit K un corps de nombres.

1. On appelle extension de Pólya minimale de K toute extension de Pólya L de K telle qu’aucune extension intermédiaire K ⊆ M ( L ne soit une extension de Pólya.

2. On pose :

po_ext(K) = min

K⊆L{ [L : K] | L/K extension de Pólya}.

D’après l’exemple 1.56 et la proposition 1.58, pour tout corps de nombres K, on a les inégalités :

et

po_ext(K) ≤ ^Y Πq(K)

ordre de la classe de Πq(K). (1.4) Bien sûr,

K de Pólya ⇔ |P o(K)| = 1 ⇔ pocorps(K) = 1 ⇔ po_ext(K) = 1. Si L/K est une extension de Pólya de degré minimal parmi les extensions de Pólya de K alors, bien sûr, L/K est une extension de Pólya minimale. S’intéressant aux extensions de Pólya minimales, on peut d’abord chercher les extensions minimales pour la capitulation d’un idéal donné. De façon générale, soit K un corps de nombres et soit I un idéal de OK, une extension minimale de K pour la capitulation de I est une extension L/K dans laquelle I capitule et telle que I ne capitule dans aucune autre extension intermédiaire K ⊆ M ( L.

Lemme 1.63. Soit M/K une extension de corps de nombres dont le degré vérifie [M : K] = m et soit I un idéal de O_K qui capitule dans O_M. Alors I^m est principal dans OK.

Preuve. Comme I capitule dans OM, il existe α ∈ OM tel que IOM = αO_M. En appliquant à cette égalité la norme relative de l’extension M/K, dont on rappelera les propriétés au chapitre suivant, on obtient :

N_M/K(IO_M) = N_M/K(α)O_K. Or I est un idéal de OK, donc NM/K(IOK) = I^m.

Proposition 1.64. Soit I un idéal de OK dont la classe est d’ordre r dans Cl(K). Écrivant I^r = αO_K et notant β une racine r-ième de I, alors K(β) est une extension minimale de K pour la capitulation de I. En outre [K(β) : K] = r.

Preuve. Supposons qu’il existe une extension intermédiaire M entre K et K(β) dans laquelle I capitule. Tout d’abord notons m := [M : K]. Il vient m ≤ r. D’après le lemme précédent, Im est principal dans OK donc r divise m. On en déduit que m = r et par conséquent M = K(β).

Corollaire 1.65. Soient K un corps de nombres, p un nombre premier, q = p^f tels que seul l’idéal Πq(K) ne soit pas principal dans OK. Soit dq l’ordre de Π_q(K) dans Cl(K) et soit α tel que Π_q(K)^dq

= αO_K. Soit β ∈ C tel que β^dq = α. Il n’existe pas d’extension de Pólya intermédiaire entre K et K(β).

Exemple 1.66. Considérons le corps K = Q √3

7, j
, grâce à un résultat qui sera donné ultérieurement à la proposition 3.7, seul Π3(K)n’est pas principal. En posant L = Q √3

7,√3

3, j
, l’extension L/K est une extension de Pólya minimale.

On peut alors se poser les questions suivantes :

1. Quelles relations a-t-on entre extensions de Pólya et corps de Pólya ? 2. Existe-t-il une unique extension de Pólya minimale ?

3. Deux extensions de Pólya minimales contenues dans H(K) sont-elles isomorphes ?

4. Deux extensions de Pólya minimales ont-elles même degré ?

5. Quel lien peut on faire entre corps de Pólya minimal au dessus de K et extension de Pólya minimale de K ?

Chapitre 2

Groupe de Pólya dans le cas

galoisien

Notations. Soit L/K une extension finie de corps de nombres. On note jL K le morphisme injectif d’extension des idéaux :

j_K^L : I ∈ I (K) 7→ IO_L∈ I (L) qui induit le morphisme

^L_K : I ∈ Cl (K) 7→ IO_L∈ Cl (L) . On note NK

L le morphisme norme suivant [37, Chap I. §5] : N_L^K : I (L) 7→ I (K)

qui est déterminé par les valeurs qu’il prend sur chaque idéal maximal N de O_L

N_L^K(N ) = M^fN(L/K)

où M = N ∩OKet fN (L/K) = [O_L/N : O_K/M]. On sait que ce morphisme norme généralise la notion de norme NL/K d’un élément x dans une extension L/K et celle de norme absolue d’un idéal à savoir :

N_L^K(xO_L) = N_L/K(x)O_K et N_K/Q(I)= Card(O_K/I), pour tout idéal entier I de K.

On rappelle que, puisque l’extension L/K est séparable, pour tout idéal I de I (K) [37, Chap I. §5] :

N_L^K◦ jL

Ce morphisme norme induit un morphisme ν_L^K :I ∈ Cl (L) 7→ NK

L (I) ∈ Cl (K) .

Remarque 2.1. 1. La proposition 1.53 nous permet de souligner que l’image L

K(P o(K)) est le sous-groupe de Cl(L) que nous avons noté P o(K, L) (cf. définition 1.52).

2. En général, le morphisme L

K n’est pas injectif, toutefois on a le résultat suivant :

Proposition 2.2. Soit n = [L : K] et soit Cl(K)ˆn le sous-groupe de Cl(K) formé des éléments d’ordre premier à n. Alors, la restriction du morphisme L

K au sous-groupe Cl(K)_nˆ est injective.

Preuve. L’application composée suivante est clairement injective : ν_L^K◦ L

K |Cl(K)nˆ : I ∈ Cl(K)_ˆn 7→ In∈ Cl(K).

2.1 Groupe de Pólya d’une extension

galoisienne de Q

Dans ce paragraphe, nous étudions le groupe de Pólya d’un corps de nombres K extension galoisienne de Q.

Rappels. Si K est une extension galoisienne de Q, pour tout nombre premier p, les gp idéaux maximaux de OK au dessus de p ont le même indice de ramification ep = e_p(K/Q) et le même degré résiduel fp = f_p(K/Q) et l’on obtient e_pf_pg_p = [K : Q] . De plus, pO_K =^Y M|p Mep = Π_q(K)^ep où q = pfp

Par conséquent, on obtient

Proposition 2.3. [10] Soit K une extension galoisienne finie de Q.

1. Si q = pf où le nombre premier p n’est pas ramifié dans l’extension K/Q, alors Πq(K) est principal.

2. Le groupe de Pólya de K est engendré par les classes des Π_q(K) où q = pf et le nombre premier p est ramifié dans l’extension K/Q Corollaire 2.4. Soit K une extension galoisienne finie de Q. Le morphisme naturel de F act (K) sur P o (K) se factorise de la manière suivante :

F act (K)→ ⊕^ψ _p∈PZ/epZ→ P o (K) .^φ

Preuve. F act(K) est le groupe abélien libre de base les idéaux Πq(K) non triviaux où q = pfp et où p décrit l’ensemble P des nombres premiers. Tout idéal I de F act(K) s’écrit de façon unique sous la forme Q_p^Q

pfp (K)^ kp

. On a donc un isomorphisme ψ tel que :

F act(K) →^ψ ⊕_p∈PZ I=Q p  Q p^fp(K)^ kp 7→ (. . . , k_p, . . .)

où (. . . , kp, . . .) est l’élément de ⊕p∈PZ dont la composante relative à p est k_p. Comme l’idéal^Q

p^fp (K)^ep est principal, le morphisme de F act(K) vers P o(K)se factorise à travers ⊕p∈PZ/epZ. Par conséquent, celui de ⊕p∈PZ vers P o(K) également.

Corollaire 2.5. Soit K une extension galoisienne finie de Q, – l’exposant de P o (K) divise [K : Q],

– l’ordre de P o (K) divise le produit Q pep.

Preuve. La première assertion résulte de ce que P o(K) est engendré par les classes des idéaux Πpfp, pour p ramifié. L’ordre de la classe de Πpfp divise l’indice de ramification ep donc divise [K : Q] pour tout p ramifié. La se-conde assertion résulte de la surjectivité du morphisme φ dans le corollaire précédent.

Corollaire 2.6. Soient q un nombre premier, n ≥ 1 et K/Q une extension galoisienne telle que [K : Q] = qⁿ. Soit Clq(K) le q-groupe de classes de K. Nous avons l’inclusion P o(K) ⊂ Cl_q(K).

Preuve. D’après le corollaire précédent, l’exposant de P o (K) est un diviseur de [K : Q]. Si [K : Q] = qn, alors P o(K) est un q-groupe. On en conclut que P o(K) ⊂ Cl_q(K).

Corollaire 2.7. Soit K une extension galoisienne de Q de degré n et de nombre de classes hK. Si n et hK sont premiers entre eux, alors K est un corps de Pólya.

Preuve. D’après le corollaire 2.5, on sait que l’exposant de |P o(K)| divise n. De plus, |P o(K)| divise |Cl(K)| = hK. Comme n et hK sont premiers entre eux, il en résulte que P o(K) est d’exposant 1, donc trivial.

Proposition 2.8. [42] Soit K/Q une extension abélienne finie. Si un seul nombre premier p y est ramifié alors K est un corps de Pólya.

Preuve. L’extension K/Q étant une extension abélienne, K est contenue dans un corps cyclotomique L = Q [µ] où µ est une racine pr-ième de l’unité. Posons ζ = NL/K(µ − 1). On a [36] :

pO_L= (µ − 1)^[L:Q]O_L, et on obtient en appliquant NK

L :

pO_K = (ζO_K)^[K:Q].

Ainsi, OKpossède un seul idéal maximal au-dessus de p, il s’agit de ζOK. Lorsqu’on est en présence d’extensions galoisiennes de Q, les groupes de Pólya de K et L se comportent bien vis à vis des morphismes j, , N et ν introduits en début de chapitre :

Proposition 2.9. [11] Si K et L sont deux extensions galoisiennes de Q telles que K ⊂ L alors

1.

j_K^L(F act (K)) ⊆ F act (L) et ^L_K(P o (K)) ⊆ P o (L) 2.

N_L^K(F act (L)) ⊆ F act (K) et ν_L^K(P o (L)) ⊆ P o (K) La vérification est immédiate.

Corollaire 2.10. Soient K et L deux extensions galoisiennes de Q telles que K ⊂ L. L’extension L/K est de Pólya si et seulement si l’image L

K(P o (K)) est triviale dans P o (L).

En effet, l’extension L/K est de Pólya si et seulement si les idéaux étendus Π_q(K)O_L sont principaux.

Corollaire 2.11. Dans l’hypothèse où K et L sont deux extensions galoi-siennes de Q telles que K ⊂ L, si L est de Pólya alors L/K est une extension de Pólya.

Preuve. Si L est de Pólya, P o(L) est trivial, il en est de même pour l’image L

K(P o (K)).

Remarque 2.12. Si L est un corps de Pólya extension galoisienne de Q, alors L est extension de Pólya de toutes ses sous-extensions K qui sont des

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