Extension aux autres types de problèmes

Figure 1.5: Définition et solution du problème adjoint On obtient alors : uex(x0) − uh(x0) = Z L 0 ESd(uex− uh) dx d˜uex dx ^dx

Il faut remarquer que si x₀ est la coordonnée d’un nœud du maillage, la solution exacte ˜

uex du problème adjoint (donnée sur la Figure 1.5) appartient à l’espace d’approximation éléments finis Uh. Dans ce cas particulier, l’orthogonalité de Galerkin s’applique et on obtient le résultat suivant :

uex(x0) − uh(x0) = 0

On retrouve par cette étude le phénomène de superconvergence du champ de déplacement éléments finis uh observé aux nœuds du maillage d’un problème 1D.

3.2.2 Extension aux autres types de problèmes

L’estimation d’erreur locale pour les problèmes d’évolution et/ou non linéaires s’ap-puie également sur les méthodes d’estimation d’erreur globale mises en place pour ces types de problème (Section 2.2), en ayant recours à une procédure d’extraction. Nous dé-veloppons ici les aspects nouveaux qui apparaissent lorsqu’on étend la technique générale d’estimation de l’erreur locale, dédiée en premier lieu aux problèmes linéaires de statique, à d’autres types de problèmes.

3.2.2.1 Obtention du problème adjoint Une procédure systématique pour dériver le problème adjoint a été proposée par Becker & Rannacher dans le cadre de la méthode « Optimal Control » [Becker et Rannacher 2001]. Cette procédure unifie les techniques

qui étaient jusqu’alors utilisées et s’applique à tout type de problème (linéaire ou non, avec évolution en temps ou non, . . .).

L’idée consiste à écrire la quantité d’intérêt I comme le résultat de la minimisation d’une fonctionnelle sous contraintes. En d’autres termes, en écrivant la formulation varia-tionnelle du problème de référence :

B(u; u^∗) = F(u^∗) ∀u^∗∈U0 (1.40)

où B(•; •) est une forme semi-linéaire et F(•) est une forme linéaire, la quantité d’intérêt I est solution du problème :

Trouver u∈U tel que : I(u) = inf

p ∈ CI(p) avec C =p ∈U, B(p; v) = F(v) ∀v ∈U0

(1.41)

La solution du problème (1.41) correspond au point-selle (p₀, v₀) du lagrangien L(p; v) défini par :

L(p; v) = I(p) −B(p; v) − F(v) ∀(p, v)∈U × U0

Dès lors :

- la dérivation par rapport à v redonne le problème de référence :

D_vL = 0 =⇒ B(p₀; v∗) = F(v∗) ∀v∗∈U0 (1.42) - la dérivation par rapport à p définit le problème adjoint :

DpL = 0 =⇒ B^′(p; p^∗, v₀) = I^′(p; p^∗) ∀p^∗∈U0 (1.43) Quelques remarques :

- Les dérivées des fonctionnelles considérées dans (1.43) sont prises au sens de Gâteaux, c’est-à-dire : B^′(p; p^∗, v₀) = lim θ→0+ 1 θB(p + θp∗; v₀) − B(p; v0) I^′(p; p^∗) = lim θ→0+ 1 θI(p + θp∗ ) − I(p)

- Dans toutes les expressions écrites précédemment, les fonctionnelles sont non linéaires par rapport à toutes les variables situées à gauche du « ; » et linéaires par rapport aux autres variables ; on voit donc que le problème adjoint linéarise automatiquement les opé-rateurs B (lié au comportement) et I (lié à l’extracteur) ;

- Pour les problèmes d’évolution, la formulation variationnelle (1.40) doit être écrite de façon globale en espace et en temps (intégrales spatio-temporelles) pour incorporer les conditions limites en temps du problème de référence ; celles relatives au problème adjoint

se déduisent alors directement de (1.43) ;

- Cette approche du problème adjoint est similaire à celle définissant l’état adjoint utilisé pour calculer le gradient de fonctionnelles non linéaires dans les problèmes inverses [Groetsch 1993].

Des exemples d’application de la méthode générale « Optimal Control » peuvent être trouvés par exemple dans [Becker et Rannacher 2001] (problèmes élastoplastiques de type Hencky et Prandtl-Reuss) ou [Oden et al. 2003] (estimation de l’erreur sur le calcul des fréquences propres en élasticité).

3.2.2.2 Majoration de l’erreur locale Là encore, la majoration repose sur un calcul approché de la solution du problème adjoint. Celui-ci étant toujours linéaire (contraire-ment au problème de référence), le coût de calcul d’une solution approchée ˜u_hpar éléments finis ne représente généralement qu’une petite fraction du coût total.

On aboutit alors à une nouvelle représentation de l’erreur locale de la forme [Becker et Rannacher 2001, Oden et Prudhomme 2002] :

I(u_ex) − I(uh) = R(˜uex) + ∆B + ∆I = R(˜uex− ˜uh) + ∆B+ ∆I (1.44) où les termes ∆B et ∆I, liés à la linéarisation de B et I autour de uh, font intervenir les dérivées seconde et troisième de B et I respectivement ; ce sont donc des quantités du deuxième et troisième ordre de l’erreur e_u. On a bien entendu :

∆B = 0 si B(•; •) est une forme bilinéaire ∆_I = 0 si I(•) est une forme linéaire

et en pratique, les termes ∆B et ∆I sont négligés en considérant l’erreur petite. On aboutit alors à l’expression de l’erreur locale :

I(u_ex) − I(uh) ≈ R(˜uex− ˜uh)

et on réutilise les méthodes d’estimation de l’erreur globale données dans la Section 2.2. Détaillons cependant le cas des problèmes d’évolution qui conduisent à un problème adjoint non seulement dépendant du temps mais aussi inverse en temps.

Si le problème de référence est de plus non linéaire, le problème adjoint dépend de la solution de ce problème de référence. Il est donc intéressant de le résoudre avec un schéma temporel implicite, de façon à augmenter au maximum la taille des pas de temps et par conséquent ne pas avoir à stocker trop de données relatives au problème de référence [Fuentes et al. 2006].

Pour ce qui est de la partie de l’erreur locale due à l’approximation en temps, elle n’est prise en compte qu’approximativement. Dans la majorité des cas, elle n’est même

pas prise en compte du tout ; l’estimation d’erreur est faite sur chaque pas de temps, en considérant une erreur nulle au début du pas de temps [Eriksson et al. 1995, Becker et Rannacher 1996, Rannacher et Suttmeier 1998].

Pour illustrer, l’erreur sur la quantité I prise à un instant tm peut être décomposée sous la forme :

Iex(tm) − Ih^m = e_I^m + ˜e^m_I + e^m_I,h (1.45) avec :

• em

I = Iex(tm) − Im

ex : différence entre la solution exacte et la solution discrétisée en temps =⇒ erreur due au chargement incrémental ;

• ˜em I = Im

ex− ˜Im

ex : différence entre Im

ex et la solution continue en espace correspondant à la valeur initiale Im−1

h =⇒ erreur due à une mauvaise valeur initiale au début du pas de temps ;

• em

I,h = ˜Im ex− Im

h .

C’est uniquement cette dernière erreur em

I,h qu’on estime habituellement. On peut montrer à partir d’estimateurs a priori que les autres composantes d’erreur peuvent être négligées dans un premier temps. En effet :

|e^mI | ≤ |e⁰I| + m X n=1 ∆tn Z ∆tn | ¨I|dt

donc l’erreur due au chargement incrémental croît au plus linéairement avec le temps si la solution exacte reste bornée. De plus, on montre que :

|˜e^mI | ≤ |Iex^m−1− Ih^m−1| ≤ |˜e^m−1I | + |e^m−1I | Au final, l’erreur em

I + ˜em

I peut être contrôlée en gérant la taille des pas de temps utilisés, et on suppose qu’elle est négligeable en prenant des pas de temps suffisamment petits. Dans [Pares et al. 2006b] par exemple, on néglige l’erreur en temps sur un problème parabolique en faisant l’hypothèse que l’erreur due au schéma en temps (Galerkin discontinu dans ce cas) est beaucoup plus faible que celle due à l’approximation en espace. On a alors à chaque piquet de temps des bornes strictes uniquement pour l’erreur en espace locale.