Gerber [1969) a montré que les résultats du modèle marKovien discret s'étendent au modèle à échelle de temps continue le plus classique en théo rie du Risque : une compagnie d'assurances perçoit des primes continûment dans le temps et à taux constant, les montants des sinistres sont des va riables aléatoires indépendantes et équidistribuées, les intervalles de temps séparant les sinistres successifs sont des variables exponentielles négatives indépendantes entre elles, indépendantes des montants des sinis tres et de même paramètre. On suppose que la compagnie peut à tout instant verser des dividendes à ses actionnaires, éventuellement de façon continue dans le temps; ici encore le problème consiste à rechercher une "stratégie” maximisant l'espérance de la "somme" actualisée des dividendes versés avant la ruine.
A l’aide d'une procédure de discrétisation de l'échelle des temps et de la distribution des montants de sinistres, Gerber a établi l'existence d'une stratégie stationnaire optimale; cette stratégie s'obtient comme "li mite" des stratégies de bande optimale des modèles discrets apparaissant dans la discrétisation.
Nous menons dans ce chapitre une démarche entièrement parallèle à celle de Gerber mais pour un modèle semi-markovien à échelle de temps con tinue : les primes entrent à un taux constant c dans le temps; les montants des sinistres sont des variables aléatoires définies sur une chaîne de Markov
finie {J^ ; n e N} à espace d’états J = {1,...,m} ; l'intervalle de temps
êms 6rri6
séparant les n et (n+1) sinistres est, si = i, une variable expo nentielle négative de paramètre a^.
Nous proposons au | 1 une interprétation nouvelle des noyaux semi- markoviens en théorie du Risque. Ensuite, après avoir défini le modèle et introduit les principales définitions : stratégies, valeur d’une stratégie, stratégies optimales, fonction de valeur, stratégies de bande et de barrière ( ^2), nous établissons un critère d’optimalité pour les stratégies de bande ( ^ 3). Nous introduisons au \ 4 une procédure de discrétisation analogue à celle de Gerber (1969) et, comme ce dernier, montrons l’existence d’une stra tégie de bande optimale qui peut s’obtenir par continuité ( Is). Pour le mo dèle markovien (m=1), Gerber a montré que dans le cas particulier où les mon tants des sinistres sont distribués exponentiellement, la stratégie de bande optimale est une stratégie de barrière qu’un calcul simple permet d’obtenir. Nous verrons que la situation n’est pas aussi simple pour le modèle semi- markovien.
Le 1 6 est consacré aux stratégies de barrière simple : nous obtenons dans le cas où les distributions des montants de sinistres sont absolument continues des formules de factorisation analogues à celles obtenues pour le modèle semi-markovien discret (chapitre IV). Nous définissons alors un po tentiel généralisant la fonction potentiel introduite par Korolyuk (1974) pour les processus de Poisson composés. Nous montrons qu’on peut exprimer en fonc tion de ce potentiel et de sa résolvante nombre de quantités intéressantes relatives aux stratégies de barrière simple : fonction de valeur d’une telle stratégie, transformées des distributions du temps de premier versement et de l’époque de ruine, espérance de l’époque de ruine .
1. Intérêt des noyaux semi-markoviens en théorie du Risque.
Considérons un modèle de risque à échelle de temps continue; notons èmo
B (n Ë N ) le montant du n sinistre et A (n E N ) la longueur de l’inter-
n O V . n O
valle de temps séparant les (n-1) ^ et n^'^^ sinistres; on suppose qu’un sinistre fictif (B^ = o) numéroté o. s’est produit à l’instant initial. Soit {j^; n £ n} une chaîne de Markov finie à espace d’états J = (l,...,mj . Ün peut songer à décrire le mécanisme aléatoire du modèle considéré à l’aide d’un noyau semi-markovien du type défini au chapitre I :
(5.1 ) P[J
n + 1 =j, A -4t, B J ' n + 1 n + 1.4 (Jk' "k’ ,n, J = il n
= C) . (x, t )
Dn sait (J. Janssen, 1977) que pour un tel modèle on peut voir les variables aléatoires (n G |\l) comme les types des sinistres successifs, si l'on sup
pose que les sinistres se répartissent en m types numérotés de 1 à m. On admet alors sans peine que le montant d'un sinistre dépend de son type. L'interprétation des probabilités de transition
15.2) P.. . P -
J I ■
i]semble cependant plus malaisée, sauf dans le cas où p^^ = p^ : la façon dont le type ou le montant d'un sinistre dépend du type du sinistre précé dent n'est pas toujours aisée à concevoir. C'est pourquoi il nous a paru intéressant de donner une autre interprétation aux états de la chaîne
{J^; n S N}; cette interprétation est d'ailleurs analogue à celle que nous avons proposée pour le modèle semi-marKovien discret étudié au chapitre IV. Nous montrerons que cette interprétation peut effectivement conduire à un noyau du type (5.1).
Supposons que la fréquence d'apparition des sinistres et leurs mon tants dépendent de facteurs externes à la compagnie ("environnement" : situation économique générale, ...). Nous admettrons qu'il y a m types, numérotés de 1 à m, de situations possibles résultant de l'action de ces facteurs. Nous supposerons que les états successifs de l'environnement sont des variables aléatoires I (n £ N) à valeurs dans {1,...,m}, I étant le type d'environnement à l'instant initial. Désignons par I(t) l'état de l'environnement à l'instant t. Soient Y les intervalles de
n
temps séparant les transitions successives du processus {I(t); t > o} et supposons que les variables soient des exponentielles négatives indé pendantes :
-X. t - e ^ ) h. .
ij (i, j £ J; t > o) .
{I^, n £ N} est alors une chaîne de Narkov dont la matrice des probabilités de transition est H = (h..); le processus {I(t); t > o} est markovien.
P[I
Posons Y = A = O et soient O O T = Y + . .. + Y Cn G iM:I no n N (t) = sup {n G N : U < t} e n I(t] h (tJ e U =A +...+A (nG N) no n NCt)=sup{nG N; T <t}. n èrriB
Soit J le type d'environnement à l'instant U où survient le n sinistre
n n
et posons J = I . ün a O O
J
n I(U ) n
Supposons maintenant que les variables aléatoires (n G N) soient indé pendantes et que la distribution de B^ dépende uniquement de : soit
F.(x) = P[B < X I J = i]
1 n ' n
En ce qui concerne les variables aléatoires A (intersinistres], nous fai-n
sons l'hypothèse que
P[N(t + At) = n + 1 I I(t] = i, N(t] = n] = At + O (At)
(n G N, i G J]
Les intersinistres apparaissent donc comme des variables exponentielles négatives dont le paramètre est modifié aux instants de transition du pro cessus {I(t)J t > o]
Sous ces hypothèses, le processus {(J , A , B ), n S -|\i} est une n n n
chaîne de Markov dont l'espace d'états est J x x R et dont les pro babilités de transition sont données par un noyau semi-marKovien bivarié : soit
Q^j(x,t] = = j, A
n+1 t. Bn+1 k=o. ,n; i]
(i, jGJ;t>0;xS R3.
{J ; n £ N} est alors une chaîne de Markov dont la matrice P = Cp. J des n
probabilités de transition est définie par : P. . = Q. . [“,<») ij ij
Nous allons montrer qu'on peut calculer le noyau Q à partir des données ^i' “ "l' .. ., m) et de la matrice de transition H .
Calcul du noyau
Les hypothèses entraînent
(5.3) Q..(x,t)=K..(t)F.(x) Ci, jSJ;xG R, t>o)
ij ij J
ou
K^j(t) = P [A^^^ < t, = j I = i] (i, j e Jj t > o)
On obtient facilement le système d'équations intégrales de Volterra
' -(a. + X.)u m K. .(t) = 6. . a. e ^ ^ du + X. E h.^ ij ij 1 J 1 1^,^ iK • -(a^^ + Xj,)u K. ,(t-u) du Kj ou encore a. -(a.+X.)t m (5.4) K..(t) ij 6. . ■ ■ —~ fl-e ^ ^ J + X. E h’ ik r -(a.+X . )U 1 1 Ij k-1 K, .(t-u) du Kj (i, j e Jj t > o) .
Soit J = I(U ) = i; le premier terme du membre de droite de C5.4) corres-
n n
pond au cas où le (n+1}^^^ sinistre se produit dans l'intervalle CU , U + t] n n avant que l'environnement n'ait changé, le second au cas où l'environnement se modifie dans l'intervalle fU , U + t] et où un sinistre se produit après
' n n
cette modification et avant l'instant U + t . n
En prenant les transformées de Laplace des deux membres des équations [5.4) il vient : (5.5) K. ,[s) ij = 6. . a. 1 X.1 m ii s(a.+X.+s) Il , E h.. K., . (s) a.+X.+s , . iK Kj 1 1 K=1 ^ [i, j ^ J; s > o)
Définissons les matrices
K(s) = (K. .Cs)) ij D[s) = (6. . —r^—) ij a.+X.+s 1 1 a. 1 ECs) = (6.. vv V 0 n a.+X.+s 1 1
Le système (5.5) s'écrit alors matriciellement
[I - D(s) H] K(s) = - E(s) (s > o) s
Comme Vs>o et VieJ:
m X.
£ —.. . h.. < 1 . ai**i*s
la matrice I - D(s} H est inversible pour s > o et le système C5.5) admet une solution unique donnée par :
[5.6] K[s] = - [I - D(s] H]"'' ECs) (s > o) S ou encore K[s) = - Z [D(s] H]"^ ECs] s n=o
On a ainsi sous forme de transformées de Laplace une expression pour le noyau K.
On pourrait également obtenir la forme explicite du noyau en résolvant un système d'équations différentielles linéaires du premier ordre.
En dérivant les équations [5.4] par rapport à t, il vient
Ki.lt) = 6 - [et. +X J t 1 1 ij + X m E K=1 iK .[t] ^3 - X. Z ^ K=1 [ot. +X . ] 1 1 - [a^+X^][t-u] e K_[u] du [i, j ^ J; t> o]
En transformant les membres de droite de ces équations au moyen des rela tions [5.4], on obtient finalement le système linéaire
[5.7] K^^Ct] m 2 [X.
, X [a . +X . ] 6 1 1 iK Kj ] K, . [t] + a . 6 . .1 ij
[i, j S J ; t> o]
Les probabilités de transition de la chaîne de Markov ^-n ^ peuvent se calculer à l’aide de [5.4], de [5.6] ou de [5.7] puisque
lim K. . [t]
•t-x»
Nous utiliserons pour ce faire le
Lemme (Théorème abélien]
Soit K une fonction de masse [c'est à dire continue à droite et non décroissante) définie sur R telle que KCt) = o pour t < o. Alors, s’il existe une constante c ^ telle que V t ^ o :
K(t+1) - KCt) < c , on a tf K(t-u)dFCu) lim t-Ko ô-________ K(t) F C”)
pour toute fonction de masse F.
Passons à la limite (t'^) dans (5.4) en utilisant ce résultat. Il vient “i (5.8) p.. = ô.. ■ ij iJ 0..+X. h m “i"^i k=1 h., P, . iK (i, j G J) Soit ^i M = (6. . ^—) = D(o) U a.n.
Les équations (5.8) peuvent alors s’écrire matriciellement
(I-MH)P = I- M.
La matrice (I - N H) étant inversible, on obtient finalement
§ 2. Le Modèle - Premières définitions
Le processus des réserves
Nous considérons une compagnie d'assurances disposant d'une réserve initiale G R^). Les primes dues à la compagnie sont versées conti nûment dans le temps avec la densité c (c est la prime perçue par unité de temps). Nous supposons qu'un sinistre fictif de montant nul, numéroté o,
6 ms
se produit en t = o. Notons B Cn G N ) le montant du n sinistre et no
Gros A (n G N ) la longueur de l’intervalle de temps séparant les (n-1) et
no
GfTIG
n sinistres. Nous admettons qu'il y a m types de sinistres (m G N^) et èrns
notons J Cn G N) le type du n sinistre. Posons A = B = o.
n o o
Les sinistres sont de montant positif et réglés sans délai.
Nous supposons que A , B et J Cn G N) sont des variables aléatoires n n n
définies sur un même espace de probabilité et que la chaîne {CJ , A , B ); n n n n G N } est une chaîne de MarKov dont les probabilités de transition sont
o
définies par un noyau semi-markovien du type défini au chapitre I :
C5.9) P[J n+1 n+1 < t, Bn+1 < X k=o,...,n, J = i]îB..Cx,t) n ij Ci, j G J; X > O; t > o) où ; - V xG R^, B..Cx,.} ij nue à droite.
est une fonction positive non décroissante et
conti-- V t G r"", Q. . C. ,t) nue à droite,
m
- E Q C“,~) = 1 j = 1 ^
conti-On sait qu'alors le processus n ^ N} est une chaîne de MarKov dont la matrice P = i^ss probabilités de transition est définie par
P. . = 0. . C“, ") iJ ij
Nous nous limiterons au cas où -a. t
(5.10) Q^jCx.t) = (1 - e ^ (i, j e J ; x > o j t > o3 ,
avec
- V i, j G J : Q.jC.) est une fonction positive, non décroissante et continue à droite
m
- V i G J : Z Q. .(«>) = 1 j = 1
Etant donné J , les variables aléatoires A . et B . sont alors indépendan-
n n+1 n+1
tes; il en est de même des variables A . et J .. On a : n+1 n+1 -a. t '[A . < t, J . = j I J = i] = t) = p..(1 - e ^ } •- n+1 n+1 ' n ij ij P [A .<t J = i] = 1- e *■ n+1 ‘ n ■* -a. t '[B .<x, J ^=j|J =i] = 0. .(x) '■ n+1 n+1 I n ■' ij m '[B , X I J = i] = E 0..Cx3 = O.Cx) n+1 ^ ' n ij 1 - a. t '■1 ^*1 < < X I - i] . (1 - B " ) Oj(x) P n+1 = j I J = i] = P. . = Q. .t“)‘ n '^11 XJ
Nous ferons constamment l’hypothèse
C5.11] = O , V i, j e J .
Définissons les variables aléatoires
U =,A +...+A.S =B +...+B (nS N), no n n O n NCt] = sup {n G N : U < t} Ct > o) n ■ =NCt) » > X(t]=x +
et - set)
Ct>o).NCt) est le nombre de sinistres survenant dans Co,t], SCt) le montant cumulé de ces sinistres, XCt) la valeur des réserves en t . Les trajec toires des processus {NCt)}, (SCt)} et {XCt)} sont continues à droite.
O
Le processus {CJ^^^. SCt)); t > o} est marKovien et stationnaire. Soit
Pg^Ci, y; j, x) = P[JCt) = j, SCt) < X I JCs) = i, SCs) = y]
Ci, j e J; X, y > O; s > O, t > s)
et définissons les quantités /
<
t m • a. E e 1 . X -a. U 1 Oqui s'interprètent aisément :
□n montre alors facilement que
O si X < y Pg^Ci,yjj,x3 = Ci,j;y-x)
n-^u S
Il résulte de ceci que le processus {(J(t), X(t)j t > o} est également marKovien et stationnaire. On établit sans peine que ses probabilités de transition sont données par
Supposons maintenant que la compagnie puisse à tout instant, et éven tuellement de façon continue, prélever une partie de ses réserves qu'elle distribuera comme dividendes à ses actionnaires. Comme dans le modèle dis cret, nous admettrons que l'unique objectif de la compagnie est d'effectuer ces prélèvements suivant une règle qui maximise l'espérance de la valeur actualisée de tous les dividendes versés avant la ruine. Nous sommes ainsi amenés à redéfinir la notion de stratégie dans le cadre continu qui nous occupe. Pour ce faire il est indispensable d'ériger en espace de probabi lité l’ensemble des trajectoires du processus {(JCt), XCt}^j t > o}.
P[JCt) = j, XCt] < X 1 JCs) = i, X[s) = y] = K^_^(i,j; x-y)
(s > O; t > S; i, j G J; X, y G R)
Espace de probabilité de référence
Il est clair que l'on peut choisir comme espace de probabilité de référence l'espace des trajectoires du processus {(J(t], X(t); t > o} : soit 0 l'ensemble des applications
ü): R ->Jx R:t-> o)(t) = CJCt, cü), X(t, ü)]3
telles que
(i3 J(t, w] et X(t, w) sont des fonctions de t continues à droite Cii3 Les seules discontinuités de X(t, cü3 forment une suite stric
tement croissante t^Cü)3 < t2(w3 < ... < ^ ^t les sauts y sont négatifs; en dehors de ces discontinuités X(t, w3 croît au taux c
(iü3 J et, (ü3 est une fonction à sauts à valeurs dans {l,...,m} et dont les points de discontinuités appartiennent à
'tt,Cw3, t_C^^3, ..., t (w3, ...}
T 2 n
Soit la a-algèbre sur Sî engendrée par les sous-ensembles de la forme
{ü)|(ü(t.3 £ B. ; i = 1, .... K} [KG M )
'Il O
où t^ G r'*’ et G ,..., m}® Civ= 1,...,K3,J3 étant la
a-algèbre de Borel sur R.
Soit P une mesure de probabilité sur [fi, QT3. Nous pouvons évidemment supposer que toutes les variables aléatoires précédemment introduites sont définies sur [fi, CZ , P). En particulier, il est clair que U [üj3 = t [co3
n n
[n G i\i^3 et que B^[ü>3 est l'amplitude du saut qu’effectue la fonction
X[., 0)3 en t [o)3 . n
Si y est une mesure de probabilité sur J x R^, on appellera la mesure de probabilité sur [fi,i^3 engendrée par les probabilités
Pq a définies pour n G R et 6^9 < 6 <• . . < 6 par les relations
,...0 " ^K’ " ^K' 1,..'..n} m f = Z i = 1 yCi.dx] f + ' Kg [i,i^jdu^3 C-“,x^-x]^ ’,x. •“f K. Q (i .,1 ;du 3 6-0, n-1 n n ^ n n-1 -“>,x -U ,J n n-1 Ci e J, X. £ R, K = 1,..., n3 ; K K
si y est dégénérée en (i,x3 ^ J x R :
y{[i,x3} = 1,
on notera parfois P. à la place de P . Si D est une fonction mesurable
i,x ^ y sur Cf3,Cl3, on notera E^CD3 ’ D(ü)3 d ^ fi
et, si y est dégénérée en (i,x3 :
E.
i,xCD3 D(ü)3 dP. (ü)3 .1X
fi
+ +
Soit (K l’ensemble des applications de R dans R , maintenant en mesure de définir la notion de stratégie :
Nous sommes
Définition 1
Une stratégie est une application
telle que
Ci) V : ZCt. w] est une fonction de t continue à gauche et non décroissante, ZCo, w) = o
Cii) V üj, w G $1, si wCs] = oiCs) pour o < s < t, alors Z(t, to) = ZCt, üj]
(iii) V t > O, ZCt,.) est une variable aléatoire sur [n, Q. )
Civ) S'il existe T > o tel que XCT, co) < ZCT, a>), alors V t > T : ZCt, ü)) = ZCT, w)
Cv) Si Z C., tü) est discontinue en t, alors
ZCt + o, w) < XCt, (jj) .
ZCt) s’interprète comme la valeur cumulée des dividendes versés dans [o,t). Sous application de la stratégie Z, le montant des réserves à l'ins tant t est alors donné par
XCt, 0)) = XCt, tü) - ZCt, ai) et ^ o, (jü G Jî)
L'époque de ruine est l'instant T où pour la première fois le montant des réserves devient négatif
T = inf {t > o : XCt) < o}.
Il ressort de la définition que, que).le que soit la stratégie Z appliquée,
/V'
T est une variable aléatoire sur Cf),<Q^). La condition Civ) de la défini tion signifie clairement qu'aucun versement de dividendes n'est plus effec tué après l’instant de ruine.
Soit 3C^ R ) le coefficient d'actualisation, o
Définition 2
a) Nous appellerons valeur de la stratégie Z pour une réserve initiale X[o) = X et un état initial = i la quantité
(5.12) V(x,i;Z) = E. {
1 # X e"^^ dZ(t)} = [ fi O
e dZCt.w)] P. (dtü)
IX
b) Nous appellerons fonction de valeur de la stratégie Z la fonction
(5.13) X J R : (x,i) -> V(x,i;Z)
c) Nous appellerons fonction de valeur du modèle la fonction
(5.14) R^ X J R^ : (x,i) V(x,i) = sup V(x,i;Z), Z
le suprémum étant pris sur l'ensemble de toutes les stratégies.
Les quantités qui viennent d’être introduites sont finies; on déduit en effet facilement de la définition 1 que pour toute stratégie Z et
V(x,i) G R^ X J :
(5.15) V(x,i;Z) < x + - . 3
Si la réserve initiale est x (x > o) et si J = i, V(x,i;Z) est la valeur O
actualisée de tous les versements de dividendes effectuées avant la ruine si la compagnie applique la stratégie Z.
Définition 3
Une stratégie Z est dite optimale si V(x,i) G R x J :
(5.16) V(x,i;Z) = V(x,i) (= sup V(x,i;Z)) Z
Remarque
Les stratégies optimales définies ci-dessus maximisent l'espérance de la fonction d'utilité
uCüj) = Z[t,ü)3
On pourrait bien entendu, d'après les objectifs que l'on attribue à la compagnie, choisir d'autres fonctions d'utilité auxquelles correspon draient d'autres stratégies optimales. Si l'on adopte par exemple comme fonction d'utilité
si T = <»
si T < “,
on retrouve le problème classique de la théorie collective du Risque : maximiser l'espérance de uCw) revient à minimiser la probabilité de ruine, la stratégie optimale consistant dès lors à ne verser aucun dividende.
5 3. Stratégies de bande - Critère d'optimalité u(tü3 =
. I
Ce paragraphe généralise systématiquement des résultats de Gerber C19B9). Avant de définir la notion de stratégie de bande nous consacrons un théorème aux propriétés de la fonction de valeur.
3.1. Théorème 1
ViG{1,...,m} :
- VCx,i] est une fonction monotone croissante de x. Plus précisément
V(x + d) - V(x) > d. Vx>o, Vd>o
La démonstration de ce théorème est une adaptation triviale de celle donnée par Gerber (1969) dans le cas markovien (m=1). Pour la continuité, elle se base sur les inégalités suivantes qu'il est aisé d'établir et que nous utiliserons par la suite :
-(a.+g)t
(5.18) e ^ V(x,i) < V(x-ct,i) < V(x,i)
(x-ct>o, iGJ)
3.2. Stratégies de bande et de barrière
Définition 4
Une stratégie de bande est une stratégie caractérisée par deux famil les de sous-ensembles nonvides de R, A = {A,...,A }, B = }, telles
I m 1m
que V i G J :
- A. est fermé et borné, A. G [o,»), B. est ouvert, B. G (o,“) 1 111
- A. n B. = 0 1 1
- (max A^, “>) G B^
- soit B = U B , , où les B., sont des intervalles ouverts disjoints;
i , ik ik
k
alors inf B GA, V k; ik
les versements de dividendes s'effectuent d'après les règles suivantes : soit J(t) = i, alors
- si X(t) G A^ : Z(t+o) - Z(t) = o, Z'(t) = c (les primes perçues par la compagnie sont instantanément distribuées comme dividen des)
- si X(t) G B^ : Z(t+o) - Z(t) = X(t) - max {a; a G A^, a < X(t)}
- si X(t) ^ A^ (Z B^ : Z(t+o) - Z(t) = o, Z'(t) = o (pas de versement de dividende, les réserves augmentent) .
Nous noterons une telle stratégie Z .
Définition 5
Une stratégie de bande Z Au se composent d'un nombre fini de
est dite finie si les ensembles Ci=1,.. . ,m) points a. ,...,a. et si les ensembles
lo in. 1 B.Ci=1,...,m) s’écrivent 1 n. 1 B. = U ^ k=1 b., ) U (a. iK in. 1 où Définition 6
Une stratégie de bande sera appelée stratégie de barrière si V i e J est un singleton st B^ = (a^, œ]
Une stratégie de barrière sera dite simple si les nombres a^,...,a^ qui le caractérisent sont égaux.
Soit Z une stratégie de bande finie caractérisée par les nonnbres AB
a. <b..^...^b, ^a. (iGJ}j
10 il in. in.
1 1
pour simplifier l'écriture notons v(x,i) sa valeur pour un capital initial x lorsque = i :
Il vient pour xG Ca..< b. , .) (k = Q,..., n.; on pose b. =oo)
iK 1
vCx,i) = X - a., + vCa., , i]
iK ik
Pour X G [b., , a., ] Ck = 1, n. ), on obtient
ik ik X v(x,i] = m a. E "" j = 1 ^ik"^ --- -Ca.+3)t r 0 1 v(x+ct-y,j) d Q^jCy)dt ^ik"^ -Ca.+3)t m e ^ {c + a. E j = 1 ik v(a..-y,j) d Q . (y)} dt, ik ij
En dérivant les deux membres de cette égalité par rapport à x après avoir effectué le changement de variable z = x + et dans le membre de droite, on obtient l'équation intégro-différentielle
(5.19) V (x,i) a. +3 —— v(x,i) c a. 1 c m E j = 1 X v(x-y,j)d O “=ik ^ X =ik>
3.3. Critère d'optimalité pour les stratégies de bande
Soit Z„„ une stratégie de bande, A = (A.,...,A ), B = (B ,...,B ).
AB 1 m 1 m
Désignons par l'espace des fonctions continues h : R -»■ C
X -> (h (x,1 ), .. ., hCx,m) )
“l*!* * “i*S K-1 C5.20) T„„hCx,i) =< x - x. + T„„ h(x., i) AB a. Z X -1 AB -i' m x.-x -Ca.+3]t ri --- e 1 si X e B., 1 x+ct K=1 hCx+ct-y,k) d Q.. (y] dt XK + e X “X -f- Tab si X ^ A. UB., 11
où X. = sup {a G A. : a < x} et x. = inf {a G A. : a > x}.
-1 1 1 1
Si le capital initial est x et si J = i, T.„ h(x,i) s'interprète comme
O AB
l'espérance de la valeur actualisée des dividendes versés avant l'instant
OÙ survient le premier sinistre si la compagnie applique jusqu'à cet instant la stratégie de bande Z„„, augmentée du montant actualisé h[XC*d ), J [U. 3 3
Ad l I
versé immédiatement après le règlement du premier sinistre. Pour n > 1 on définit alors par récurrence les opérateurs
h(x,i3 = h3Cx,i3 (x > o, i = 1... m3
qui s'interprètent aisément : h(x,i3 est l'espérance de la valeur
actua-Ad
0m©
Usée des dividendes versés jusqu'à l'instant U où survient le n sinistre n
si la compagnie applique jusqu'à cet. instant la stratégie augmentée
-e U _
du montant e h(X(U 3, J33.
n n
Le critère d'optimalité que nous énonçons dans le théorème suivant a été obtenu par Gerber (19693 dans le cas marKovien (m=13. Nous ne don nons pas sa démonstration qui est une transposition triviale de celle de Gerber.
Théorème 2
La stratégie de bande Z.^ est optimale si et seulement si on a Ab
C5.21] VCx,i) = V(x,i] WCx.i) G x J.
§ 4. Discrétisation
Pour toute valeur de n [n G N ) nous allons obtenir en discrétisant O
la distribution des montants de sinistres et l'échelle des temps un modèle discret du type défini au chapitre IV. Nous montrerons alors que la fonc tion de valeur de ce modèle discret tend lorsque n “ vers la fonction de valeur du modèle continu. La démarche effectuée ici est entièrement paral lèle à celle de Gerber (1969).
4.1. Discrétisation de la distribution des montants de sinistres
Soit n G N et définissons les fonctions de masse O
(5.22) _ 0. .(x) = Q. . (K 2 ^) si K 2~^ < x < (k+1) 2
n ij ij
(x>o; i, KGf\|]
Ces fonctions de masse définissent un noyau semi-marKovien ^Q. La suite ^Q^j(x) converge en distribution vers lorsque n
Soit V _ (x,i) la fonction de valeur associée au modèle obtenu en n^
remplaçant le noyau Q par le noyau pour éviter toute ambigüité, nous noterons désormais V (x,i) la fonction de valeur associée au noyau Q.
w
Théorème 3
V(x,i) G R X J on a
lim V (x,i) = V„(x,i)
rrx» Q ^
De plus, quel que soit i G J, la convergence est uniforme ea x sur tout segment [o, K] (K > o]
Démonstration
Soit K un nombre positif fixé et soit e > o. On définit T(eJ > o tel que
(K + c T + < e
P
et NCe3 = N[T(e)] G tel que V i G :
Il vient alors
V^(x- N 2 ", i) < V' (x,i) + eM + X + -|]
y P
(o < X < K, i e J, n G N ) o
Comme on a d'autre part
N 2-n -(a^+3) ^ V^(x,i) < V^Cx - N 2"",i] Cx > o, i G J, n G NJ U ly O e on obtient : N 2-n -(a^+3)
Vr,Cx,i) - e(1 + X + < V ^ V (x,i]
y P y y
e
(o < X < K, i e J, n G N 3 o
la dernière de ces inégalités résultant immédiatement du fait que
Q. . Cx] < Q. . (x1 (i,j e J; X > o; n S N 1
n ij ij O
Soit alors A(e) un naturel tel que a. +3
—— N 2~^
Vn>ACe} : [1 -e ] Vn CK,i] < e.
W
Dès lors pour n > A(e) on a :
V|^(x,i) - eC2 + K + < V gCx,i) < Vj^Cx.i),
V X e [o, K], W i e J;
d'où l'on déduit sans peine la thèse.
4.2. Discrétisation du temps
Fixons n G N et définissons O
t. = - 2"" [K = D, 1, 2, ...) K c
Le montant des primes perçues par la compagnie dans l'intervalle de temps [t.,t. ..] vaut 2 Notons Y, [K=1,2,...) le montant cumulé des sinistres
K K+1 n K
survenant au cours de la période (t, t ]. K*“ I K
Si les montants de sinistres sont distribués suivant le noyau D, l'accrois-n
sement des réserves au cours d'une période ^^ est distribué suivant le noyau discret G où
n „ G, . (r 2“^] = P[ Y. = n ij n K -n -n -r 2 + 2 , Jitp . J JCtK_,) . i] ( rG Z; i, j G J) .
Un calcul simple montre que [5.233 G. . Cr 2 '^3 = n ij r = 2,3,... ^ E [ 2~^3 S = 0 c Pj[s3 c Q. . t-r, 2 3 ] n iJ -;r-DU r = 1,0, -1, -2, ... g!°^x,t3 = ô. . e ^ U [x3 n ij ij Q -a .t u[^^x,t3 n ij m U (x3 Z a. ° K=1 " t X r -n Lx-y,t-u3 e ^ Q., (dy3 du n Kj n iK ■’ O O (s > 13
Si l'on se limite alors à des versements de dividendes multiples de