Annexe 2 : Les réseaux de Petri
3. Extension des réseaux de Petri
Le pouvoir d’expression et de modélisation des RdP est amélioré par de nombreuses extensions qui ont été développées. Ils introduisent entre autres l’aspect temporel et permettent d’enrichir les structures des réseaux.
3.1. Réseaux de Petri généralisés
Les RdP généralisés attribuent des poids (nombres entiers strictement positifs) aux arcs. Une transition est franchissable dans un réseau de Petri généralisé, si toutes les places Pi en amont des transitions Tj contiennent au moins le nombre de jetons associés aux arcs. Tous les arcs dont le poids n’est pas explicitement spécifié ont un poids égal à 1. Lors du franchissement de la transition Tj, les nombres de jetons dans les places en aval de cette transition sont augmentés par le poids p.
Cette extension des RdP permet la réduction de la taille du RdP ordinaire. Toutefois, la transformation est possible du RdP généralisé vers le RdP ordinaire.
3.2. Réseaux de Petri synchronisés
A chaque transition, correspond un événement (une garde), et le franchissement de cette transition s’effectue si :
la transition est validée,
quand l’événement se produira.
Ces réseaux de Petri permettent de faire communiquer et interagir le système avec l’environnement ou un système extérieur. Ils permettent donc de modéliser des systèmes soumis à des contraintes externes.
3.3. Réseaux de Petri temporisés
Cette extension est caractérisée par l’ajout de temporisations, et donc une introduction de la variable temps. Il existe des RdP T-temporisés et des RdP P-temporisés. Dans le premier cas une durée est ajoutée aux transitions. La transition est donc validée après écoulement de la durée qui est allouée. Dans le second cas, la temporisation est ajoutée aux places.
Ces temporisations peuvent traduire les durées de déroulement des actions ou d’opérations associées aux transitions ou aux places.
OK
Il existe une équivalence entre les réseaux T-temporisés et les réseaux P-temporisés, et un passage d’un formalisme à l’autre est possible par transformation.
3.4. Réseaux de Petri colorés
Les réseaux de Petri colorés facilitent la modélisation de systèmes de grande taille. Ils présentent un grand intérêt pour modéliser certains systèmes complexes.
Le principe consiste à représenter l’information par les ensembles place/marque. Aux marques de chaque place sont associées une couleur (ou identificateur). Le franchissement de ces marques peut être effectué de plusieurs manières en fonction des couleurs associées aux transitions. La relation entre les couleurs de franchissement et le marquage coloré est définie par des fonctions associées aux arcs.
Il existe plusieurs types de RdP qui peuvent être dis colorés, avec des variantes dans leur définition comme par exemple les réseaux de Petri à prédicats.
Les réseaux de Petri à prédicats comportent des marques auxquelles on attribue des paramètres. Les arcs portent des étiquettes et les prédicats sont associés aux transitions. Le prédicat peut pendant le tir de la transition modifier la valeur des marques utilisées pour le franchissement.
3.5. Réseaux de Petri stochastiques
Les réseaux de Petri stochastiques ont été introduits par Natkin [NAT 80] et Molloy [MOL 81] afin de répondre à certains problèmes d’évaluation quantitative des systèmes informatiques industriels.
Dans les réseaux de Petri stochastiques, les délais associés aux transitions sont aléatoires contrairement aux durées déterministes et constantes associées aux RdP temporisés. Ces temps sont modélisés par des variables aléatoires dont la loi la plus courante est la loi exponentielle qui permet d’approcher le graphe des marquages à un processus markovien homogène.
Les réseaux de Petri stochastiques sont très utilisés en sûreté de fonctionnement. Le franchissement d’une transition de nature stochastique reflète l’occurrence d’une défaillance modélisée par une loi exponentielle et le passage d’un état de fonctionnement normal à un état de panne.
Figure A2.2 Modélisation des états normal et de panne d’un composant
KO
●
Dans la figure A2.2, la variable λ représente le taux de défaillance du composant et la variable µ représente le taux de réparation de ce même composant.
Dans un réseau de Petri stochastique, chaque transition Ti est lui est associée une durée de franchissement aléatoire di. Cette durée correspond au temps qui s’écoule entre la sensibilisation et le tir effectif de la transition. On peut associer une fonction de répartition à la variable aléatoire (durée de franchissement) :
t M i i e t F( )=1− −λ( )
où le paramètre λi(M) dépend du marquage M courant. Ce paramètre est appelé taux de transition relativement au marquage M.
3.5.1. Types de réseau de Petri stochastiques
Il existe deux types de réseaux de Petri stochastiques :
Les réseaux de Petri stochastiques qui sont déduits des RdP autonomes (RdP décrivant le fonctionnement d’un système évoluant de façon autonome et où les instants de franchissement ne sont pas connus ou indiqués) : c’est le modèle initialement défini. Les marques sensibilisant les transitions ne sont pas réservées,
Les réseaux de Petri à temporisation stochastique : ils sont issus des réseaux de Petri temporisés; lorsqu’une transition est sensibilisée, celle-ci réserve le ou les jetons. Ces deux types de réseaux de Petri ont le même comportement s’il n’y a pas de conflit effectif.
Le marquage d’un RdP stochastique (et non pas d’un RdP à temporisation stochastique) est un processus markovien homogène, et donc à tous RdP, on peut associer une chaîne de Markov homogène.
3.5.2. Analyse d’un réseau de Petri stochastique
L’analyse d’un RdP stochastique consiste en deux approches :
l’approche qui concerne les propriétés de conservation dans un RdP. Celles-ci sont déduites du calcul des invariants de marquages de places et franchissements de transitions. On obtient alors des relations de conservation du marquage et du taux de franchissement,
l’approche qui consiste à construire le graphe des marquages accessibles du RdP autonome sous-jacent et à étiqueter chaque arc par un taux de franchissement qui dépend du taux associé à la transition et du marquage des places en amont de cette transition.
L’analyse du RdP stochastique se ramène à celle d’un processus de Markov homogène à espace d’états discrets à tems continu. Cette analyse est faite uniquement dans le cas où le RdP sous-jacent est borné.
3.6. Réseaux de Petri stochastiques généralisés
Les transitions dans les réseaux de Petri stochastiques sont associées toutes à une temporisation selon une distribution de loi exponentielle par exemple. [AJM 95] a introduit les réseaux de Petri stochastiques généralisés afin de s’affranchir de certaines restrictions. Dans les RdPSG (réseaux de Petri stochastiques généralisés), les transitions autorisées sont de deux types et elles peuvent soient :
Des transitions temporisées basées sur des distributions exponentielles,
Des transitions déterministes à temporisation nulle (transition immédiate) basée sur une distribution de Dirac. Ces transitions sont franchies immédiatement dès qu’elles sont sensibilisées.
Les transitions immédiates expriment des synchronisations ou encore elles approximent des durées très faibles par rapport aux durées des transitions stochastiques.