On suppose que le polytope P qui définit la variété projective X n’est pas premier ce qui signifie que Σ l’éventail dual de P n’est pas simplicial. Il est possible de prolonger la définition du symbole de Kronecker torique en procédant à un raffinement de Σ par ajout de vecteurs primitifs. Soit Σ0 un raffinement de Σ obtenu par ajout de vecteurs primitifs et soit X0 la variété torique associée à Σ0. On nomme ¯π le morphisme d’éclatement induit par le raffinement et Fk0 = Fk◦ π pour tout k.
Proposition 6.5. Les polynômes Fk0 vérifient les conditions C0 et C0 1. Preuve. les polynômes Fk0 vérifient la conditionC0
1 par la proposition 3.11 et le théorème3.3. On montre que les polynômes Fk0 vérifient la condition C0. L’image par le morphisme torique d’un zéro commun aux Fk0 dans X0 est un zéro commun aux Fk dans X. Par conséquent, les polynômes F00, . . . , Fn0 sont sans zéros dans X0. De plus, les tores de X et X0 sont isomorphes par le morphisme torique, donc pour tout k la famille F00, . . . , Fk−10 , Fk+10 , . . . , Fn0 a un nombre
fini de zéros dans le tore. 2
On définit le symbole de Kronecker torique pour une variété projective non simpliciale en utilisant un raffinement de l’éventail.
Définition 6.2. Soit ∆ un représentant du degré critique de la famille (Fk). Soit ¯π le morphisme d’éclatement induit par le raffinement de Σ en l’éventail simplicial Σ0. On pose ∆0 = π∗(∆). On rappelle que les diviseurs ∆0 et ∆ définissent le même polytope (Cf 3.11). Alors pour tout m ∈ P∆= P∆0,
`X(Xhm,∆i; (Fk)) = `X0((X0)hm,∆0i; (Fk0)).
On vérifie que la définition est indépendante du morphisme d’éclatement construit à partir d’une séquence de vecteurs primitifs ajoutés à l’éventail initial. La démonstration emprunte le schéma
suivi pour la définition du symbole de Kronecker dans le tore. La proposition 4.6 qui montre que le symbole de Kronecker est invariant quel que soit l’ordre observé pour introduire les vecteurs primitifs dans Σ et la proposition 4.17 qui prouve l’invariance du symbole de Kronecker dans une variété simpliciale lorsqu’on raffine l’éventail à l’aide de vecteurs primitifs du type voulu s’appliquent encore.
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en intersection complète surk[X1, . . . , Xn]. Le Bezoutien de F fournit une forme dualisante sur k[X]/hF i appelée symbole de Kronecker, qui est un analogue algébrique du résidu.
L’objet de ce travail est de construire et calculer le symbole de Kronecker dans le tore (C∗)n relativement à une famille f de n polynômes de Laurent en n variables. La famille f possède un nombre fini de zéros et est régulière pour ses polytopes de Newton. La représentation du résidu global dans le tore à l’aide d’un résidu torique, donnée par Cattani et Dickenstein , suggère d’interpréter le symbole de Kronecker dans le tore dans la variété torique projective définie par le polytope P somme de Minkowski des polytopes de Newton de f .
Lorsque P est premier, Roy et Szpirglas ont défini le symbole de Kronecker dans le tore à partir des symboles de Kronecker définis sur les ouverts affines de la variété torique XP relativement à une famille de n + 1 polynômes homogènes sans zéros communs dans la variété XP. Nous montrons ici que le cas « P non premier » est réductible au cas précédent en explicitant les mor-phismes d’éclatement qui traduisent le raffinement de l’éventail de XP en un éventail simplicial. Mots-clés. – Symbole de Kronecker, résidu global dans le tore, variété torique projective, raffi-nements d’un éventail.
Abstract.–Let k be an algebraically closed field with char(k) = 0 and let be polynomials F1, . . . , Fnsuch thatk[X1, . . . , Xn]/hF1, . . . , Fni is a complete intersectionk-algebra. The Bezou-tian of F1, . . . , Fn gives a dualizing form acting onk[X1, . . . , Xn]/hF1, . . . , Fni called Kronecker symbol. It is an algebraic analogue of residue.
The aim of this work is to build and calculate the Kronecker symbol in the torus (C∗)n for a system f of Laurent polynomials with a a finite set of zeroes and regular for its Newton polytopes. In the same way as Cattani and Dickenstein had done for the global residue in the torus, we consider the projective variety given by the Minkowski sum P of the Newton polytopes of f in order to build the Kronecker symbol in the torus.
When P is prime, Roy et Szpirglas have defined the Kronecker symbol in the torus from Kro-necker symbols on affine subsets of XP for a system of n + 1 homogeneous polynomials with no common zeroes in XP. We prove that the case "P no prime" can be reduced to the previous case by using simplicial refinements of the fan of XP and making explicit the associated toric morphisms on the total coordinate spaces.
Keywords.–Kronecker symbol, global torus residue, toric projective toric variety, refinements of fan.