Figure III.3 – Configuration étudiée.
III.2
Expession matricielle du temps moyen et de la
variance
Dans cette section, nous considérons une impulsion avec un front d’onde arbitraire inci- dente sur un milieu diélectrique linéaire quelconque, comme représenté sur la Fig. III.3, et nous nous intéressons au signal correspondant au flux sortant dans un ensemble arbi- traire de canaux de sortie. Les champs dans les canaux d’entrée et de sortie sont reliés par une sous-partie de la matrice de diffusion S que l’on note ˜s. Si on considère par exemple l’ensemble des modes de sortie en réflexion et transmission, alors ˜s = S.
III.2.1
Expression matricielle du temps moyen du signal de sor-
tie
De façon analogue à la définition adoptée dans la Réf. [90], nous définissons le temps moyen du signal de sortie τ comme :
τ = R dt φout(t)t R dt φout(t) − R dt φin(t)t R dt φin(t) , (III.6)
où φin est le flux entrant et φout le flux sortant dans un ensemble arbitraire de canaux
de sortie. L’Eq. (III.6) peut se réexprimer à l’aide des transformées de Fourier de φout et
φin : τ = −i∂ω˜φout(ω = 0) ˜φout(ω = 0) + i∂ω˜φin(ω = 0) ˜φin(ω = 0) . (III.7)
Nous pouvons considérer, sans perdre en généralité, que le flux incident est normalisé à 1 et que le temps moyen du signal incident est nul.
Transformée de Fourier du signal mesuré
Nous allons dans un premier temps exprimer le flux sortant φout(t) en fonction du front
d’onde incident |ψi. Le front d’onde sortant s’écrit : |ψiout(t) =
Z
où A(ω) est l’amplitude complexe du champ entrant. L’hypothèse faite plus haut d’un flux entrant unitaire signifie queR
dω |A(ω)|2 = 1. Le flux sortant quant à lui s’écrit : φout(t) =
Z
dω1
Z
dω2e−i(ω2−ω1)A∗(ω1)A(ω2) hψ|˜s†(ω1)˜s(ω2)|ψi. (III.9)
Pour obtenir la transformée de Fourier du signal, nous effectuons le changement de va- riable suivant :
Ω = ω1+ ω2
2 , (III.10)
ω = ω2− ω1. (III.11)
On peut alors réécrire (III.9) sous la forme : φout(t) = Z dω Z dΩ e−iωtA∗ Ω −ω2A Ω + ω2 hψ|˜s† Ω −ω2˜sΩ + ω2|ψi. (III.12) Il vient de (III.12) que la transformée de Fourier de φout(t) s’écrit :
˜φout(ω) = Z dΩ A∗ Ω −ω 2 A Ω + ω 2 hψ|˜s† Ω −ω 2 ˜sΩ + ω 2 |ψi. (III.13)
Flux moyen sortant
De l’expression de ˜φout(ω) en fonction du champ incident, on peut calculer ses dérivées
successives en ω = 0. À l’ordre 0, on obtient le flux moyen sortant :
˜φout(ω = 0) = hψ| ˜S|ψi , (III.14)
où ˜S est l’opérateur polychromatique : ˜
S =
Z
dΩ |A(Ω)|2˜s†(Ω)˜s(Ω). (III.15)
Temps moyen
Pour obtenir le temps moyen, on doit calculer ∂ω˜φout(ω = 0). À partir de l’Eq. (III.13),
on obtient : ∂ωφout(ω = 0) =1 2 Z dΩ |A(Ω)|2hψ|−∂Ω˜s†(Ω)˜s(Ω) + ˜s†(Ω)∂Ω˜s(Ω)|ψi +12Z dΩ [−∂ΩA∗(Ω)A(Ω) + A∗(Ω)∂ΩA(Ω)] hψ|˜s†(Ω)˜s(Ω)|ψi. (III.16) Nous considérons par la suite que l’amplitude complexe A(ω) est réelle (la phase spectrale est plate). Cela implique que le flux entrant est symétrique par rapport au temps t = 0, et que le temps moyen du signal entrant est nul, en accord avec l’hypothèse faite plus haut. Le temps moyen s’exprime alors comme :
τ = hψ|QS˜|ψi
III.2. Expession matricielle du temps moyen et de la variance 57
où l’opérateur QS˜ est défini comme :
QS˜ = 1
2
Z
dΩ |A(Ω)|2h−i˜s†(Ω)∂Ω˜s(Ω) + i∂Ω˜s†(Ω)˜s(Ω)
i
. (III.18) Contrairement au temps de séjour rencontré au chapitre précédent, l’expression du temps moyen ne fait pas intervenir un unique opérateur mais le rapport entre deux observables. Il en découle que le temps moyen évalué sur une base orthonormée n’est pas nécessairement égal au temps moyen évalué sur une autre base orthonormée.
Phase spectrale linéaire
Lorsque le spectre du champ incident présente une phase spectrale linéaire A(ω) = |A(ω)|eiωτr, l’impulsion incidente a un retard de τ
r par rapport à une amplitude réelle.
Cependant le temps moyen, suivant la définition (III.6), ne doit pas être affecté par ce retard. Le calcul du temps moyen à partir de l’Eq. (III.16) conduit à :
τ = − i∂ω˜φout(ω = 0) ˜φout(ω = 0) − τr = hψ|QS˜|ψi hψ| ˜S|ψi (III.19) On obtient pour le temps moyen le même résultat que pour une amplitude A(ω) réelle.
Temps moyen du signal sortant à travers l’ensemble des canaux de sortie
Si l’on considère le flux sortant à travers l’ensemble des canaux en réflexion et transmis- sion, alors ˜s = S. Le temps moyen du signal sortant s’écrit :
τ = 1 2 R dΩ |A(Ω)|2hψ|−iS†(Ω)∂ ΩS(Ω) + i∂ΩS†(Ω)S(Ω)|ψi R
dΩ |A(Ω)|2hψ|S†(Ω)S(Ω)|ψi . (III.20)
Pour un milieu sans perte, S†(ω)S(ω) = 1, et donc −iS†∂
ωS = i∂ωS†S. Le temps moyen
du signal sortant s’écrit dans ce cas :
τ = hψ|Q|ψi , (III.21)
où Q est l’opérateur de Wigner-Smith polychromatique : Q= −i
Z
dΩ|A(Ω)|2S†∂ωS(Ω). (III.22)
Temps moyen du signal sortant en transmission et réflexion
Le temps moyen du signal sortant à travers l’ensemble des canaux de sortie en transmission s’écrit :
τT =
hψ|QT|ψi
hψ|T |ψi , (III.23)
où T est l’opérateur de transmission polychromatique dont la distribution des valeurs propres a été étudiée dans la Réf. [116] :
T =
Z
et QT est analogue à l’opérateur de Wigner-Smith polychromatique pour la transmission :
QT = 1
2
Z
dΩ |A(Ω)|2h−it†(Ω)∂Ωt(Ω) + i∂Ωt†(Ω)t(Ω)
i
. (III.25) De même, on a pour le temps moyen du signal en réflexion :
τR=
hψ|QR|ψi
hψ|R|ψi , (III.26)
où R est l’opérateur de réflexion polychromatique :
R =
Z
dΩ |A(Ω)|2r†(Ω)r(Ω), (III.27) et QR est analogue à l’opérateur de Wigner-Smith polychromatique pour la réflexion :
QR= 1
2
Z
dΩ |A(Ω)|2h−ir†(Ω)∂Ωr(Ω) + i∂Ωr†(Ω)r(Ω)
i
. (III.28) Ce seront essentiellement ces deux temps, et plus particulièrement le temps moyen du signal sortant à travers l’ensemble des canaux de transmission, que nous allons étudier dans la suite. Nous appelons à partir de maintenant temps moyen de transmission (res- pectivement réflexion) le temps moyen du signal sortant à travers l’ensemble des canaux en transmission (respectivement réflexion).
III.2.2
Expression matricielle de la variance centrée réduite
Nous allons maintenant, comme pour le temps moyen, exprimer la variance centrée réduite du signal de sortie en fonction du front d’onde incident. La variance centrée réduite V du signal sortant s’écrit :
V = R dt φout(t)t2 R dt φout(t) − R dt φout(t)t R dt φout(t) !2 . (III.29)
Comme pour le temps moyen, la variance se réexprime à l’aide de la transformée de Fourier de φout : V = −∂ 2 ω˜φout(ω = 0) ˜φout(ω = 0) + ∂ω˜φout(ω = 0) ˜φout(ω = 0) !2 . (III.30)
Une partie de l’expression de la variance fait intervenir le temps moyen que nous avons déjà exprimé dans la sous-section précédente. Pour obtenir la variance du signal sortant, nous avons besoin de l’expression de ∂2
ω˜φout(ω = 0). En supposant encore une fois que
A(ω) est réelle, on aboutit à : ∂ω2˜φout(ω = 0) = Z dΩ |A(Ω)|2hψ|1 4 h ∂Ω2˜s†(Ω)˜s(Ω) + ˜s†(Ω)∂Ω2˜s(Ω)i−1 2∂Ω˜s†(Ω)∂Ω˜s(Ω)|ψi
+Z dΩ ∂ω2(A(Ω − ω/2)A(Ω + ω/2)) (ω = 0) hψ|˜s†(Ω)˜s(Ω)|ψi.