ENSEMBLE DES EXPERTS - Expertises : procédures statistiques d'aide à la décision

Soit (Ω,A,(P_θ = p_θ.µ)_θ_∈_Θ₀_∪_Θ₁) un problème de décision à hypothèses stables par rapport à la statistique réelle T.

Les fonctions de test qui vont jouer un rôle fondamental dans ce problème sont celles définies à partir de l’ordre introduit par la statistique T. C’est-à-dire les fonctions de la forme f₍_t,u₎=1I_{_{T <t}_} +u1I_{_T₌_t_}. On pose :

F =ⁿf₍_t,u₎; (t, u)∈

(−∞,1);{(t, u)}t∈IR,u∈{0,1}; (+∞,0) ^o

Les ´el´ements (−∞,1) et (+∞,0) permettent d’avoir dans tous les cas les fonctions de test 1I_∅ et 1I_Ω.

F est totalement ordonné par la relation d’ordre partiel usuelle sur les fonctions. Nous le noterons parfois [f₍_−∞_,₁₎, f₍₊_∞_,₀₎]. Cet ordre co¨ıncide avec l’ordre lexi-cographique sur les couples (t, u). Il permet de définir les bornes supérieure et inférieure d’un sous ensemble de F et de munir F de la topologie de l’ordre qui co¨ıncide avec la topologie de la convergence simple. Sur cet espace l’opérateur E_θ, espérance par rapport à Pθ, est croissant et continu. Il peut cependant prendre des valeurs différentes sur deux éléments successifs : f₍_t,₀₎ et f₍_t,₁₎.

Pour tout couple (θ₀, θ₁) de Θ₀ × Θ₁, on va utiliser l’ensemble des fonctions de test simples basé sur la statistique K = h₍_θ0,θ1₎(T), on le note Φ⁽s^θ0,θ1⁾ (voir la définition 2.2.1). Bien que K =h₍_θ0,θ1₎(T) soit unique,Pθ0 et Pθ1 presque sûrement, le choix des h₍_θ0,θ1₎ n’est pas globalement sans conséquences. Certaines familles{h₍_θ0,θ1)}(θ0,θ1)∈Θ0×Θ1 facilitent le travail. La définition suivante donne des propriétés techniques qui nous seront utiles pour écrire simplement nos propositions.

D´efinition 4.2.1

Soit {h₍_θ0_,θ1)}(θ0,θ1)∈Θ0×Θ1 une famille de fonctions rendant stables les hypothèses Θ₀ et Θ₁ à partir de la statistique T. Notons D_i =] − ∞, t_i) la plus grande demi-droite inférieure ouverte ou fermée définissant un événement T⁻¹(D_i) ={ω ∈Ω ; T(ω)∈D_i} sur lequel les densités {p_θ0}θ0∈Θ0 sont nulles. De même D_s = (t_s,+∞[ est la plus grande demi-droite supérieure ouverte ou fermée définissant un événement T−1(D_s) sur lequel les densités {p_θ1}θ1∈Θ1 sont nulles.

Cette famille est normalisée si chacune des fonctions h₍_θ0,θ1₎ vérifie les trois propriétés suivantes.

i) Si I est un intervalle de IR −(D_i ∪D_s) définissant un événement T⁻1(I) sur lequel p_θ0(ω) =p_θ1(ω) = 0, h₍_θ0,θ1₎ est constante sur I.

ii) h₍_θ0,θ1₎ est ´egale `a+∞ sur Ds. iii) h₍_θ0,θ1₎ est nulle sur D_i−D_s.

Il est facile de montrer qu’`a partir d’une famille {h₍_θ0,θ1)}(θ0,θ1)∈Θ0×Θ1 on peut toujours construire une famille normalis´ee (voir annexe II).

Dans la suite nous supposerons toujours travailler avec une famille normalisée. L’union de tous les Φ⁽s^θ0,θ1⁾, lorsque (θ₀, θ₁) parcourt Θ₀ × Θ₁, est appelée ensemble des fonctions de test simples et noté ∆_s. Cet ensemble va jouer le rôle de Φ_s dans le choix entre deux probabilités.

Proposition 4.2.1

Il existe un plus petit intervalle ferm´e, ∆, de F qui contient l’ensemble ∆_s des fonctions de test simples.

Les éléments de ∆ = [f₍_t0,u0₎, f₍_t1,u1₎] définissent des experts du choix entre Θ₀ et Θ1. Tout autre expert de ce choix, défini par un élément de F, est presque sûrement égal à f₍_t0,u0₎ ou f₍_t1,u1₎.

Les demi-droites D_i etD_s de la d´efinition 4.2.1 v´erifient :f₍_t0,u0₎=1I_Di₋_Ds(T)et f₍_t1,u1₎ = 1−1I_Ds(T).

D´emonstration

a) — D´emonstration de : ∆_s ⊆F.

Soient (k, β)∈ⁿ(0,1);{(k, β)}_k_∈_IR+

∗, β∈{0,1}; (∞,0)^o et

(θ0, θ1) ∈ Θ0 ×Θ1. La fonction de test simple associée à (k, β) dans Φ⁽s^θ0,θ1⁾ est notée : φ₍_k,β₎. En utilisant K = h₍_θ0,θ1₎(T), elle s’écrit

1I_{_K<k_} ou 1I_{_K_≤_k_} suivant que β = 0 ou β = 1.

Une réalisationω appartient à{K < k} (resp.{K ≤k}) si et seulement si T(ω) appartient à :

Dk ={t∈IR, h₍_θ0,θ1₎(t)< k} (resp. Dk ={t ∈IR, h₍_θ0,θ1₎(t)≤k}). Lorsque D_k =∅ on a φ₍_k,β₎ =1I_∅=f₍_−∞_,₁₎.

Lorsque D_k =IR on a φ₍_k,β₎ =1I_Ω=f₍₊_∞_,₀₎.

Enfin, lorsqueD_k 6=∅etD_k 6=IRil existet_k∈IRtel queD_k =]−∞, t_k[ ou Dk =]− ∞, tk], puisqueh₍_θ0,θ1₎ est croissante. On a doncφ₍_k,β₎ =f₍_tk,₀₎ si D_k =]− ∞, t_k[ et φ₍_k,β₎=f₍_tk,₁₎ si D_k=]− ∞, t_k].

b) — ∆ = [1I_Di₋_Ds(T),1−1I_Ds(T)].

Posonsf₍_t0,u0₎=inf∆s et f₍_t1,u1₎=sup∆s.

∆ = [f₍_t0,u0₎, f₍_t1,u1₎] est ´evidemment le plus petit intervalle ferm´e contenant ∆s.

i) –f₍_t0,u0₎=1I_Di₋_Ds(T)

LorsqueD_i∪D_s =IR, c’est évident puisque ∆_s est réduit à un seul élément qui s’écrit1I_Di₋_Ds(T) ou 1−1I_Ds(T). Dans le cas contraire

1I_Di₋_Ds (T) =1I_Di (T) ; d’après la définition 4.2.1 on a toujours 1I_Di (T) ≤ φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ donc 1IDi (T) ≤ f₍_t0,u0₎ = inf{φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾}(θ0,θ1)∈Θ0×Θ1; pour démontrer l’inégalité 1I_Di (T) ≥ f₍_t0,u0₎, définissons la demi-droite D₀ par 1I_D0 (T) = f₍_t0,u0₎ et montrons qu’elle est incluse dans Di; pour tout (θ0, θ1) la fonction h₍_θ0,θ1₎ est nulle sur D0 puisque f₍_t0,u0₎ ≤ φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾, les densités pθ0 sont donc nulles sur T⁻¹(D0), ce qui implique bien D₀ ⊆D_i.

La démonstration est semblable à celle de i). D’après la pro-priété ii) de la définition 4.2.1 on a toujoursφ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾≤1−1IDs(T) donc 1− 1IDs (T) ≥ f₍_t1,u1₎ = sup{φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾}(θ0,θ1)∈Θ0×Θ1 ; pour démontrer l’inégalité 1− 1I_Ds(T)≤ f₍_t1,u1₎, définissons D₁ par 1I_D1(T) =f₍_t1,u1₎ et montrons que la demi-droite IR−D₁ est incluse dans D_s; pour tout (θ0, θ1) la fonction h₍_θ0,θ1₎ est infinie sur IR −D1 puisque f₍_t1,u1₎ ≥

φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾, les densit´es p_θ1 sont donc nulles sur T⁻¹(IR −D₁), ce qui im-plique bien IR−D₁ ⊆D_s.

c) — Les experts de F sont presque sûrement égaux à un élément de ∆. En fait on va démontrer quelque chose de plus fort, en prenant un élément f₍_t,u₎ de F −∆ et en montrant que s’il définit un expert il vérifie : f₍_t,u₎ ^p.s.= f₍_t0,u0₎ ou f₍_t,u₎ ^p.s.= f₍_t1,u1₎.

Pour tout couple (θ₀, θ₁) de Θ₀×Θ₁, on note F(θ0,θ1) l’intervalle d´efini par [φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾, φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾] dans F. On a bien sˆur : Φ⁽s^θ0,θ1⁾⊆F⁽^θ0,θ1⁾ et f₍_t,u₎ est en dehors de l’intervalleF⁽^θ0,θ1⁾ pour tout couple (θ₀, θ₁).

Lorsquef₍_t,u₎≤f₍_t0,u0₎ on a f₍_t,u₎ ^Θ^0p.s.= f₍_t0,u0₎ puisque Eθ0(f₍_t0,u0₎) = 0 pour tout θ₀ de Θ₀. Si f₍_t,u₎ est un expert, le fait que l’événement A = {f₍_t0,u0₎ = 1} soit de P_θ0 probabilité nulle pour tout θ₀ de Θ₀ entraˆıne :f₍_t,u₎.1IA ^Θ^1p.s.= 1IA (voir la propriété ii) de la définition 4.1.1). On en déduit la propriété recherchée : f₍_t,u₎ ^p.s.= f₍_t0,u0₎.

Le casf₍_t,u₎ ≥f₍_t1,u1₎se traite de fa¸con semblable. On aE_θ1(f₍_t1,u1₎) = 1 pour tout θ₁ de Θ₁ et donc f₍_t,u₎ ^Θ^1p.s.= f₍_t1,u1₎. L’´ev´enement A =

{f₍_t1,u1₎ = 0} étant de P_θ1 probabilité nulle pour tout θ₁ de Θ₁, si f₍_t,u₎ est un expert, la propriété ii) de la définition 4.1.1 entraˆıne : f₍_t,u₎. 1IA ^Θ=^0p.s. 0. On a encore la propriété recherchée : f₍_t,u₎ ^p.s.= f₍_t1,u1₎.

d) — Tout ´el´ement f₍_t,u₎ de ∆ est un expert.

i) – Démonstration de la propriété i) de la définition 4.1.1.

expert du choix entre P_θ0 et P_θ1 ou qu’il v´erifie : E_θ0(f₍_t,u₎) = 0 ou Eθ1(f₍_t,u₎) = 1.

1^ercas : f₍_t,u₎∈F⁽^θ0,θ1⁾= [φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾, φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾]⊆F. Posons k = h₍_θ0,θ1₎(t). Si k ∈IR+

∗ on a φ⁽₍^θ0,θ1_k,₀₎ ⁾ ≤ f₍_t,u₎ ≤ φ⁽₍^θ0,θ1_k,₁₎ ⁾ et d’après la proposition 2.3.1 f₍_t,u₎ est un expert du choix entre P_θ0 et Pθ1. Lorsque k = 0 (resp. k = +∞) la construction de Φ⁽s^θ0,θ1⁾ à partir de K = h₍_θ0,θ1₎(T) entraˆıne : f₍_t,u₎ ≤ φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ (resp. f₍_t,u₎ ≥ φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾) ; comme f₍_t,u₎ appartient à F(θ0,θ1) on a f₍_t,u₎ = φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ (resp. f₍_t,u₎ = φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾) ;f₍_t,u₎ est donc encore un expert du choix entre Pθ0 et Pθ1.

2^`^eme cas : f₍_t,u₎∈/ F⁽^θ0,θ1⁾.

On a alors, soit f₍_t,u₎ < φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ , soit f₍_t,u₎ > φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾ et donc, soit E_θ0(f₍_t,u₎) = 0, soit E_θ1(f₍_t,u₎) = 1. La propriété i) est vérifiée.

ii) – Démonstration de la propriété ii) de la définition 4.1.1. 1êrcas : soit un événement A tel que 1I_A ^Θ=^0p.s.0.

On doit obtenir l’égalité : f₍_t,u₎. 1IA ^Θ=^1p.s.1IA. Décomposons A en A^′ = A∩ {f₍_t,u₎ = 0} et A^′′ = A ∩ {f₍_t,u₎ = 1}. Pour avoir l’égalité recherchée on doit démontrer P_θ1(A^′) = 0 pour tout θ₁ dans Θ₁.

Soient θ₁ ∈ Θ₁ et B = A′ ∩ {p_θ1 > 0}. P_θ1(A′) est nulle si Pθ1(B) l’est.

Consid´erons le cas : f₍_t,u₎ > f₍_t0,u0₎.

D’apr`es le lemme 2 de l’annexe II, il existe θ₀ ∈ Θ₀ tel que φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ ≤

f₍_t,u₎. Posons B^′ = B∩ {pθ0 = 0} et B^′′ = B∩ {pθ0 > 0}. Comme B^′′ ⊆ A, on a Pθ0(B^′′) = 0, donc µ(B^′′) = 0 et Pθ1(B^′′) = 0. Pour finir on va d´emontrer que B^′ est vide.

S’il existaitω ∈B′on auraith₍_θ0,θ1₎(T(ω)) = 0 car B′ est inclus dansB. Ce qui impliqueraitφ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾(ω) = 1 doncf₍_t,u₎(ω) = 1 ; ceci est impossible puisque ω ∈B^′ ⊆A^′.

Il nous reste le cas : f₍_t,u₎=f₍_t0,u0₎.

Sinon il existe dans ∆− {f₍_t0,u0)}, une suite {g_n}n∈IN décroissant vers f₍_t0,u0₎; comme gn > f₍_t0,u0₎ on a la propriété recherchée sur les gn : gn.1IA ^θ1p.s.= 1IA; ce qui entraˆıne bienf₍_t,u₎.1IA ^θ1p.s.= 1IA.

2^`ême cas : soit un événement A tel que 1IA ^Θ^1p.s.= 0.

On doit obtenir l’égalité : f₍_t,u₎. 1I_A ^Θ=^0p.s. 0. La démonstration est semblable à la précédente. On décompose A en A^′ =A∩ {f₍_t,u₎ = 1}et A^′′ =A∩ {f₍_t,u₎ = 0}. Pour avoir l’égalité recherchée on doit démontrer P_θ0(A′) = 0 pour tout θ₀ dans Θ₀.

Soient θ₀ ∈ Θ₀ et B = A^′ ∩ {p_θ0 > 0}. P_θ0(A^′) est nulle si Pθ0(B) l’est.

Consid´erons le cas : f₍_t,u₎ < f₍_t1,u1₎.

D’apr`es le lemme 1 de l’annexe II, il existe θ₁ ∈ Θ₁ tel que φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾ ≥

f₍_t,u₎. Posons B′ = B∩ {p_θ1 = 0} et B′′ = B∩ {p_θ1 > 0}. Comme B^′′ ⊆ A, on a P_θ1(B^′′) = 0, donc µ(B^′′) = 0 et P_θ0(B^′′) = 0. Pour finir on va d´emontrer que B^′ est vide. S’il existait ω ∈ B^′ on aurait h₍_θ0,θ1₎(T(ω)) = +∞ car B′ est inclus dans B. Ce qui impliquerait φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾(ω) = 0 donc f₍_t,u₎(ω) = 0 ; ceci est impossible puisque ω ∈

B^′ ⊆A^′.

Il nous reste le cas : f₍_t,u₎=f₍_t1,u1₎.

Si f₍_t0,u0₎ = f₍_t1,u1₎ on a Pθ0({f₍_t,u₎ = 1}) = 0 donc Pθ0(B) = 0. Sinon il existe dans ∆− {f₍_t1,u1)}, une suite {g_n}n∈IN croissant vers f₍_t1,u1₎; comme g_n < f₍_t1,u1₎ on a la propriété recherchée sur les g_n : g_n.1I_A ^θ0p.s.= 0 ; ce qui entraˆıne bien f₍_t,u₎.1I_A ^θ0p.s.= 0.

Nous venons de trouver les experts du choix entre Θ0 et Θ1 qui sont définis par un élément de F. Nous allons maintenant considérer l’ensemble des experts. Dans le choix entre deux probabilités, l’ensemble des fonctions de test simples, Φ_s, a joué un rôle fondamental. Les experts n’étant rien d’autre que des règles presque sûrement ordonnables dans Φs (voir proposition 2.3.1). Nous

allons généraliser la proposition 2.3.1 au choix entre deux hypothèses stables. C’est l’adhérence de ∆_s dans F qui jouera le rôle de Φ_s.

Proposition 4.2.2

Soit(Ω,A,(p_θ.µ)_θ_∈_Θ₀_∪_Θ₁)un problème de décision à hypothèses stables. On note ∆_s l’ensemble des fonctions de test simples définies à partir d’une famille

{h₍_θ0,θ1)}(θ0,θ1)∈Θ0×Θ1 normalis´ee.

Les experts du choix entre Θ₀ et Θ₁ sont les r`egles de d´ecisionφ: (Ω,A)→ {0,1}

presque sûrement ordonnables dans l’adhérence ∆_sde ∆_s. C’est-à-dire qu’il existe deux éléments de ∆s, f et f^′, tels que : f ^p.s.≤ φ ^p.s.≤ f^′ et ]f, f^′[∩∆s=∅.

D´emonstration

I —– Condition suffisante.

Soit une règle de décisionφ pour laquelle il existef etf′ dans ∆_s tels que :f ^p.s.≤ φ ^p.s.≤ f^′ et ]f, f^′[∩∆_s=∅. Démontrons que φest un expert.

a) – Démonstration de la propriété i) de 4.1.1.

Soit (θ₀, θ₁) ∈ Θ₀ ×Θ₁. Si φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾ ≤ f on a E_θ1(φ) = 1. Si φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ ≥f′ on a E_θ0(φ) = 0. Dans le cas contraire nous allons montrer que φ est un expert du choix entre P_θ0 et P_θ1.

Comme ]f, f^′[∩∆_s =∅,f < φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾ entraˆınef^′ ≤φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾etφ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ < f^′ implique φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ ≤f; nous avons donc :

φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ ≤f ^p.s.≤ φ ^p.s.≤ f^′ ≤φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾.

Consid´erons G= {g ∈ Φ⁽s^θ0,θ1⁾; g ≤ f} et G^′ = {g ∈Φ⁽s^θ0,θ1⁾; g ≥ f^′}; G et G^′ forment une partition de Φ⁽s^θ0,θ1⁾ en deux intervalles non vides.

1^ercas : supG=φ⁽₍^θ0,θ1_k,₀₎ ⁾.

G^′ n’´etant pas vide on ne peut pas avoir k = ∞. On obtient alors l’encadrement suivant : φ⁽₍^θ0,θ1_k,₀₎ ⁾ ≤ f ^p.s.≤ φ ^p.s.≤ f^′ ≤ φ⁽₍^θ0,θ1_k,₁₎ ⁾; d’apr`es la proposition 2.3.1, φ est un expert du choix entre P_θ0 et P_θ1.

Pour toutk^′ > kon a :φ⁽₍^θ0,θ1_k,₁₎ ⁾≤f ^p.s.≤ φ ^p.s.≤ f^′ ≤φ⁽₍^θ0,θ1_k′,0)⁾; ceci entraˆıne f = f^′ = φ⁽₍^θ0,θ1_k,₁₎ ⁾ et φ ^p.s.= φ⁽₍^θ0_k,₁₎^,θ1⁾ est un expert du choix entre P_θ0 et P_θ1.

b) – Démonstration de la propriété ii) de 4.1.1.

1êrcas : soit un événement A tel que 1I_A ^Θ=^0p.s.0. On doit obtenir l’égalité :φ.1I_A ^Θ=^1p.s.1I_A.

Par hypothèse on a f ^p.s.≤ φ donc f. 1IA ^p.s.≤ φ. 1IA. De plus f est un élément de ∆_s ⊆ ∆, d’après la proposition 4.2.1 c’est un expert ; il vérifie donc : f.1I_A ^Θ=^1p.s.1I_A (partie ii) de la définition 4.1.1). L’égalité recherchée est bien vérifiée.

2^`ême cas : soit un événement A tel que 1I_A ^Θ^1p.s.= 0. On doit obtenir l’égalité :φ.1I_A ^Θ=^0p.s.0.

Par hypothèse φ ^p.s.≤ f^′, donc φ. 1I_A ^p.s.≤ f^′. 1I_A. f^′ appartenant à ∆, c’est un expert ; d’après la partie ii) de la définition 4.1.1 il vérifie : f^′.1IA ^Θ=^0p.s.0. L’égalité recherchée est encore vérifiée.

II — Condition n´ecessaire.

Soitφun expert du choix entre Θ₀ et Θ₁. On doit trouver deux ´el´ementsf et f′ de ∆_s, tels que : f ^p.s.≤ φ ^p.s.≤ f′ et ]f, f′[∩∆_s =∅. Pour cela nous utiliseronsG={g ∈∆_s; g ^p.s.≤ φ} et

G^′ = {g ∈ ∆_s; g ^p.s.≥ φ}. Ce sont des intervalles ordonnés de ∆_s. Nous allons commencer par établir quelques propriétés de G et G′.

a) –G est non vide.

Nous allons montrer qu’il contient f₍_t0,u0₎ = inf∆. Pour cela il faut obtenir f₍_t0,u0₎ ^θp.s.≤ φ quel que soitθ de Θ.

1^ercas : Soit θ ∈Θ₀.

Par d´efinition def₍_t0,u0₎ on aE_θ(f₍_t0,u0₎) = 0, c’est-`a-diref₍_t0,u0₎ ^θp.s.= 0 et donc : φ ^θp.s.≥ f₍_t0,u0₎.

Considérons A = {f₍_t0,u0₎ = 1}, on a 1I_A ^Θ=^0p.s. 0 ; la propriété ii) de la définition 4.1.1 entraˆıne : φ. 1I_A ^Θ^1p.s.= 1I_A. Comme 1I_A= f₍_t0_,u0₎, on obtient bien φ ^θp.s.≥ f₍_t0,u0₎.

b) –G^′ est non vide.

Nous allons montrer qu’il contient f₍_t1_,u1₎ = sup∆. Pour cela il faut obtenir φ ^θp.s.≤ f₍_t1,u1₎ quel que soitθ de Θ.

1^ercas : Soit θ ∈Θ1.

Par d´efinition def₍_t1,u1₎ on aEθ(f₍_t1,u1₎) = 1, c’est-`a-diref₍_t1,u1₎ ^θp.s.= 1 et donc : φ ^θp.s.≤ f₍_t1,u1₎.

2^`^eme cas : Soit θ ∈Θ₀.

Considérons A ={f₍_t1,u1₎ = 0}, on a 1IA ^Θ=^1p.s.0 ; la propriété ii) de la définition 4.1.1 entraˆıne :φ.1I_A ^Θ=^0p.s.0. Comme (1−1I_A) =f₍_t1,u1₎, on obtient bien φ ^θp.s.≤ f₍_t1,u1₎.

c) –G et G^′ sont ferm´es.

Pour montrer que G est fermé il suffit de montrer que g_s = supG appartient à G. Posons A = {g_s > φ}, on doit démontrer que Pθ(A) = 0 pour tout θ ∈Θ.

On considère une suite (g_n)_n_∈_IN de G croissant vers g_s. Les événements An = {gn > φ} croissent vers A; comme gn ^p.s.≤ φ, on a Pθ(An) = 0 et donc P_θ(A) = 0 pour tout θ ∈Θ.

De même pour montrer que G^′ est fermé, on démontre que g_i =inf G^′ appartient à G^′. On pose A = {g_i < φ} et on considère une suite (g_n)_n_∈_IN deG′ décroissant versg_i. Les événementsA_n ={g_n < φ}

croissent vers A; comme gn ^p.s.≥ φ, on a Pθ(An) = 0 et donc Pθ(A) = 0 pour tout θ ∈Θ.

d) – Existence de f etf^′ ayant les deux propri´et´es requises.

On utilise les deux bornesg_s=supGet g_i =inf G′. Si g_i ≤g_s on a φ ^p.s.≤ gi ≤gs ^p.s.≤ φ; le choixf =f^′=g avec g∈[gi, gs] convient ;

φ est presque sûrement égal à un élément de ∆_s.

Il nous reste à trouver f et f^′ lorsque g_s < g_i. On a, par construction, g_s ^p.s.≤ φ ^p.s.≤ g_i. f = g_s et f^′ = g_i conviennent si ]g_s, g_i[∩∆_s = ∅. Il suffit de vérifier : ]g_s, g_i[∩∆_s = ∅. Pour cela on considère un couple (θ₀, θ₁) et on cherche à montrer : ]g_s, g_i[∩Φ⁽s^θ0,θ1⁾ =∅. La propriété i) de la définition 4.1.1 nous conduit à distinguer trois cas.

1^ercas : φest un expert du choix entre θ₀ et θ₁.

Nous allons raisonner par l’absurde en supposant qu’il existe φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ dans ]g_s, g_i[. φ´etant un expert du choix entre θ₀ etθ₁, il est ordonnable par rapport `a φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ (voir proposition 2.3.1).

1^`^ere possibilit´e : φ ^{^θ0,θ1<^}^p.s.φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾< g_i.

Rappelons que ^{^θ0,θ1<^}^p.s.signifie ^{^θ0,θ1≤^}^p.s.sans que l’on ait ^{^θ0,θ1=^}^p.s.. Nous allons commencer par analyser ce qui peut empêcher φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ d’appartenir à G^′ c’est-à-dire de vérifier : φ ^p.s.≤ φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾.

Posons A = {g_i −φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ = 1} ∩ {φ = 1} = {φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ 6= g_i} ∩ {φ = 1}. Comme φ ^p.s.≤ g_i, on a φ.1I_Ac

p.s.

≤ φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾.1I_Ac. Par définition de A on a φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾. 1I_A= 0, ceci implique φ. 1I_A ^{^θ0,θ1=^}^p.s.0, ce qui peut s’écrire P_θ0(A) = P_θ1(A) = 0 ; les événements A∩ {p_θ0 > 0} et A∩ {p_θ1 > 0}

sont alors µ négligeables et donc P_θ négligeables pour tout θ; la seule partie de A qui peut ne pas être P_θ négligeable, pour tout θ, est B =A∩{p_θ0 = 0}∩{p_θ1 = 0}; on a donc déjà :φ.1I_Bc

p.s.

≤ φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾.1I_Bc. On distingue maintenant deux cas, qui conduiront `a des contradictions diff´erentes.

i) Pour tout θ ∈ Θ₁ : P_θ(B) = 0. La partie ii) de la définition 4.1.1 implique : φ. 1I_B ^Θ=^0p.s. 0. φ étant égal à 1 sur B, cet événement est P_θ négligeable pour tout θ et on a alors φ ^p.s.≤ φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾; ceci prouve que φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ appartient à G^′ et contredit l’hypothèse : φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾< g_i=inf G^′. ii) Il existe θ ∈ Θ₁ tel que P_θ(B) > 0. L’événement C = B∩ {p_θ > 0}

a h₍_θ0_,θ₎(T(ω)) = 0 ; h₍_θ0_,θ₎ étant croissante on a, pour t = T(ω), Eθ0(f₍_t,₁₎) = 0 ; de plus φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ < f₍_t,₁₎ ≤ gi car ω ∈ A; φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ et φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ sont donc de moyenne nulle sous Pθ0 ce qui, par définition de φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾, implique l’égalité P_θ0 et P_θ1 presque sûrement de ces deux éléments de Φ⁽s^θ0,θ1⁾. φ vérifie alors : φ ^{^θ0,θ1<^}^p.s. φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ et φ ^θ0p.s.= φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾; on en déduit φ ^θ1p.s.< φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾, ce qui contredit le fait que φ est un expert du choix entre P_θ0 et P_θ1.

2^`^eme possibilit´e : φ ^{^θ0,θ1>^}^p.s.φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ > gs.

La démonstration est semblable à celle du cas précédent.

On pose A = {φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ − gs = 1} ∩ {φ = 0} = {φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ 6= gs} ∩ {φ = 0}. Comme gs ^p.s.≤ φ, on a φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾. 1IAc

p.s.

≤ φ. 1IAc. De plus, φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾.1I_A=1I_Aentraˆıneφ.1I_A ^{^θ0,θ1=^}^p.s.1I_A, ce qui impliqueP_θ0(A) = P_θ1(A) = 0 puisque A ⊆ {φ = 0}; les événements A∩ {p_θ0 > 0} et A∩{pθ1 >0}sont alorsµnégligeables et doncPθ négligeables pour tout θ; la seule partie deAqui peut ne pas êtreP_θnégligeable, pour toutθ, est B =A∩{p_θ0 = 0}∩{p_θ1 = 0}; on a donc déjà :φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾.1I_Bc

p.s.

≤ φ.1I_Bc. On distingue maintenant deux cas, qui conduiront `a des contradictions diff´erentes.

i) Pour tout θ ∈ Θ₀ : P_θ(B) = 0. La partie ii) de la définition 4.1.1 implique : φ.1IB ^Θ^1p.s.= 1IB. Comme φest égal à 0 sur B, cet événement estP_θnégligeable pour toutθ et on a alorsφ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ ^p.s.≤ φ; ceci prouve que φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ appartient à G et contredit l’hypothèse : φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾> g_s=supG. ii) Il existe θ ∈ Θ₀ tel que P_θ(B) > 0. L’événement C = B∩ {p_θ > 0}

est non vide et P_θ(C) > 0. Soit ω ∈ C, comme p_θ1(ω) = 0 on a h₍_θ,θ1₎(T(ω)) = +∞; h₍_θ,θ1₎ étant croissante on a, pour t = T(ω), Eθ1(f₍_t,₀₎) = 1 ; de plus gs ≤ f₍_t,₀₎ < φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ car ω ∈ A; on a donc E_θ1(φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾) = 1 = E_θ1(φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾), ce qui implique, par définition de φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾ : φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ ^{^θ0,θ1=^}^p.s. φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾. φ vérifie alors : φ ^{^θ0,θ1>^}^p.s. φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾ et φ ^θ1p.s.= φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾; on en déduitφ ^θ0p.s.> φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾, ce qui contredit le fait

que φ est un expert du choix entre P_θ0 et P_θ1. 3^`^eme possibilit´e : φ ^{^θ0,θ1=^}^p.s.φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾.

On a φ ^{^θ0,θ1=^}^p.s. φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ < g_i et g_s < φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ ^{^θ0,θ1=^}^p.s. φ. On peut refaire les démonstrations des deux possibilités précédentes jusqu’au cas i). C’est dans ii) que l’on se sert de l’inégalité stricte,P_θ0 etP_θ1 presque sûrement, entre φ etφ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾.

Il nous reste à trouver une contradiction lorsque les deux cas ii) sont réalisés. Les constructions faites au début de ces deux cas sont encore valables. Elles nous conduisent à l’existence de θ ∈Θ₀, de θ^′ ∈Θ₁ et de deux réels, t et t′, tels que :

g_s≤f₍_t,₀₎ < φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ eth₍_θ,θ1₎(t) = +∞; φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ < f₍_t′,1)≤g_i et h₍_θ0,θ′)(t^′) = 0.

Considérons l’intervalle I = [t, t^′] ; la fonction h₍_θ,θ1₎ (resp. h₍_θ0,θ′)) est égale à +∞(resp. 0) surI, donc pour toutω de{T ∈I}on ap_θ1(ω) = 0 etp_θ0(ω) = 0. La famille{h₍_θ0,θ1)}étant normalisée, d’après la définition 4.2.1, h₍_θ0,θ1₎ est constante sur I, puisque I ⊆IR −(Di ∪ Ds) (voir la proposition 4.2.1) ; ce qui contredit l’existence d’un élément φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ strictement entre f₍_t,₀₎ et f₍_t′,1) .

2^`^eme cas : E_θ0(φ) = 0.

La condition E_θ0(φ) = 0 est ´equivalente `aφ ^θ0p.s.= φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾. Montrons que l’on a aussi φ ^θ1p.s.≤ φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾.

Par définition, φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ vaut 1 sur {pθ0 = 0} ∩ {pθ1 > 0}. L’événement A = {φ > φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾} = {φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ = 0} ∩ {φ = 1} est bien θ₁ négligeable puisqu’il se décompose en A′ = A ∩ {p_θ0 > 0} qui est µ négligeable (E_θ0(φ) = 0) etB =A∩ {p_θ0 = 0} ∩ {p_θ1 = 0}.

Le casφ ^{^θ0,θ1=^}^p.s.φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾a été étudié précédemment puisqueφest alors un expert du choix entre Pθ0 et Pθ1.

Il reste `a consid´erer le cas : φ ^θ0p.s.= φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ etφ ^θ1p.s.< φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾. Par construction de B on a φ.1IBc

p.s.

Nous allons encore raisonner par l’absurde en supposant qu’il existe φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ dans ]g_s, g_i[ ; on a alors φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ ≤ φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ < g_i. Si on montre que B est P_θ n´egligeable pour tout θ on aura φ ^p.s.≤ φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾, ce qui se traduit par l’appartenance de φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ `a G^′ et est incompatible avec φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ < g_i =inf G^′.

Montrons d’abord que B est P_θ négligeable pour tout θ de Θ₀. S’il existait θ ∈ Θ0 tel que Pθ(B) > 0, φ serait un expert du choix entre P_θ et P_θ1, d’après la partie i) de la définition 4.1.1, puisqu’on aurait E_θ(φ)>0 et par hypothèse φ ^θ1p.s.< φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ ≤φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾ donc E_θ1(φ)<1 ; de plus, l’événement C = B − {g_i = 0} serait non négligeable pour Pθ puisque φ ^p.s.≤ gi, il existerait alors ω ∈ C tel que pθ(ω) > 0 donc h₍_θ,θ1₎(T(ω)) = +∞ et φ⁽₍^θ,θ1_∞_,₀₎⁾ ≤ f₍_T₍_ω₎_,₀₎ < g_i; on aurait même φ⁽₍^θ,θ1_∞_,₀₎⁾ ≤ g_s puisque le premier cas appliqué à φ expert du choix entre Pθ et Pθ1 entraˆıne ]gs, gi[∩Φ⁽s^θ,θ1⁾ = ∅; ce qui impliquerait Eθ1(φ) = 1 qui est incompatible avec la condition φ ^θ1p.s.< φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾. On a donc bien P_θ(B) = 0 pour θ ∈Θ₀.

Il reste à montrer que l’on a aussi P_θ(B) = 0 pour tout θ dans Θ₁. Soit θ ∈ Θ1, supposons Pθ(B) > 0 ; l’événement C = B ∩ {pθ(ω) > 0} ne serait pas µ négligeable bien que P_θ′ négligeable pour tout θ^′ de Θ₀; il existerait alors ω_θ′ ∈C tel quep_θ′(ω_θ′) = 0, donc h₍_θ′,θ)(T(ω_θ′)) = 0 et par définition de B ⊆ A : φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ ≤ f₍_T₍_ω_θ_′₎_,₁₎ ≤ φ⁽₍₀^θ^′_,₁₎^,θ⁾; le lemme 2 de l’annexe II impliquerait f₍_t0,u0₎ = φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾, ce qui contredit la condition φ ^θ1p.s.< φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾ car φest un expert donc φ ^p.s.≥ f₍_t0,u0₎ (voir II-a)).

3^`^eme cas : Eθ1(φ) = 1.

La démonstration est semblable à la précédente.

On poseA={φ < φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾}={φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾= 1} ∩ {φ= 0}qui se d´ecompose en A′ =A∩ {p_θ1 >0}, A′′ =A∩ {p_θ1 = 0} ∩ {p_θ0 >0} et

B =A∩ {p_θ1 = 0} ∩ {p_θ0 = 0}.

par définition de φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾; A^′ est µ négligeable puisque la condition Eθ1(φ) = 1 est équivalente à φ ^θ1p.s.= φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾; on a évidemment P_θ0(B) = 0 et donc aussi :φ ^θ0p.s.≥ φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀ ⁾.

Le casφ ^{^θ0,θ1=^}^p.s.φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾a été étudié précédemment puisqueφest alors un expert du choix entre P_θ0 et P_θ1.

Il reste `a consid´erer le cas : φ ^θ1p.s.= φ⁽₍^θ0_∞^,θ1_,₀₎⁾ etφ ^θ0p.s.> φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾. Par construction de B on a φ.1I_Bc

p.s.

≥ φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾.1I_Bc.

Nous allons encore raisonner par l’absurde en supposant qu’il existe φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ dans ]g_s, g_i[ ; on a alors g_s < φ⁽₍^θ0,θ1_k,β₎⁾ ≤ φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾. Si on montre que B est P_θ n´egligeable pour tout θ on aura φ ^p.s.≥ φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾, ce qui se traduit par l’appartenance de φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾ `a G et est incompatible avec φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾ > gs =supG.

Montrons d’abord que B est P_θ négligeable pour tout θ de Θ₁. S’il existait θ ∈ Θ₁ tel que P_θ(B) > 0, φ serait un expert du choix entre Pθ0 et Pθ, d’après la partie i) de la définition 4.1.1, puisqu’on aurait E_θ(φ) < 1 et par hypothèse φ ^θ0p.s.> φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾ donc E_θ0(φ) > 0 ; de plus, l’événement C = B− {g_s = 1} serait non négligeable pour P_θ puisque φ ^p.s.≥ g_s et B ⊆ {φ = 0}; il existerait alors ω ∈ C tel que p_θ(ω) > 0 donc h₍_θ0,θ₎(T(ω)) = 0 et gs < f₍_T₍_ω₎_,₁₎ ≤ φ⁽₍₀^θ0,θ_,₁₎⁾; on aurait même φ⁽₍₀^θ0,θ_,₁₎⁾ ≥ g_i puisque le premier cas appliqué à φ expert du choix entre P_θ0 et P_θ entraˆıne ]g_s, g_i[∩Φ⁽s^θ0,θ⁾ = ∅; ce qui impliquerait E_θ0(φ) = 0 qui est incompatible avec la condition φ ^θ0p.s.> φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾. On a donc bien Pθ(B) = 0 pour θ ∈Θ1.

Il reste à montrer que l’on a aussi P_θ(B) = 0 pour tout θ dans Θ₀. Soit θ ∈ Θ0, supposons Pθ(B) > 0 ; l’événement C = B ∩ {pθ(ω) > 0} ne serait pas µ négligeable bien que Pθ′ négligeable pour tout θ^′ de Θ1; il existerait alorsω_θ′ ∈C tel que p_θ′(ω_θ′) = 0, donc h₍_θ,θ′)(T(ω_θ′)) = +∞

et par d´efinition deB ⊆A:φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾≥f₍_T₍_ω_θ_′₎_,₁₎ ≥φ⁽₍^θ,θ_∞_,^′₀₎⁾ ; le lemme 1 de l’annexe II impliquerait f₍_t1,u1₎ = φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾, ce qui contredit la condition

4.3 VOTES DES EXPERTS.

Considérons un problème de décision à hypothèses stables :

(Ω,A,(P_θ = p_θ.µ)_θ_∈_Θ₀_∪_Θ₁) (voir la définition 4.1.2). D’après l’annexe II on peut lui associer une statistique réelle T et une famille normalisée :

{h₍_θ0,θ1)}(θ0,θ1)∈Θ0×Θ1 (voir la définition 4.2.1).K₍_θ0,θ1₎ =h₍_θ0,θ1₎(T) nous permet de définir l’ensemble Φ⁽_s^θ0,θ1⁾ = [φ⁽₍₀^θ0,θ1_,₁₎ ⁾, φ⁽₍^θ0,θ1_∞_,₀₎⁾] des fonctions de tests simples basées sur K₍_θ0,θ1₎ (voir la définition 2.2.1). D’après la proposition 4.2.2, c’est l’adhérence ∆_s de ∆_s = ∪(θ0,θ1)∈Θ0×Θ1Φ⁽s^θ0,θ1⁾ dans F qui contient les experts fondamentaux. Comme nous l’avons fait pour le choix entre deux probabilités (paragraphe 2.4), nous allons commencer par probabiliser cet ensemble d’experts. ∆_s ⊆F est muni de la σ-algèbre trace de la tribu borélienne correspon-dant à la topologie de l’ordre défini sur F (voir le paragraphe 4.2). Pour définir une probabilité sur ∆_s on peut utiliser les constructions classiques à partir d’une semi-algèbre (cf. [Nev.] p. 25). Par exemple, la semi-algèbre engendrée par les in-tervalles de la forme ] ←, f[= {g ∈ ∆_s; g < f} avec f ∈ ∆_s ou celle engendrée par ceux de la forme ] ←, f] ={g∈∆s; g≤f}. On montre facilement, qu’il suffit alors de définir sur les intervalles de la forme ] ←, f[ (resp. ] ←, f]) une fonction à valeurs dans [0,1], non décroissante, continue à gauche (resp. droite) et valant 0 (resp. 1) en f =inf∆_s (resp.f =sup∆_s).

Comme nous l’avons fait en 2.4, nous choisissons de probabiliser ∆_s en utilisant l’opérateur E_θ. Pour chaque θ ∈ Θ, il nous permet de définir deux probabilités mθ et m^′_θ en posant mθ(] ←, f[) = Eθ(f) pour f 6= inf∆s et m^′_θ(] ←, f]) = E_θ(f) pour f 6= sup∆_s. Ces deux probabilités sont identiques si pour tout couples (f, g) d’éléments successifs de ∆_s, c’est-à-dire f < g et ]f, g[∩∆s = ∅, on a : Eθ(f) = Eθ(g). Dans le cas contraire, la masse Eθ(g−f) est attribuée à f par m_θ et à g par m^′_θ. Comme nous l’avons fait au paragraphe 2.4, il semble naturel de partager équitablement cette masse entre f et g, ce qui revient à probabiliser ∆_s par (m_θ+m′

θ)/2. Le résultat du vote des experts à partir de cette probabilité définit pour chaque réalisation ω ∈ Ω une probabilité Q^ω_θ sur

D = {0,1}. On a Qω

θ({1}) = R

∆sf(ω)d(m_θ +m′

θ)/2. Afin de pouvoir exprimer simplement ce résultat, on va définir une statistique qui jouera un rôle semblable à celui du rapport des densités K dans le choix entre deux probabilités.

D´efinition 4.3.1

Soit (Ω,A,(P_θ = p_θ.µ)_θ_∈_Θ₀_∪_Θ₁) un problème de décision à hypothèses stables à partir de la statistique réelle T. Associons à t ∈IR, deux éléments de [f₍_−∞_,₀₎, f₍₊_∞_,₁₎] définis par :

f₍_at,ut₎ =sup{f ∈∆_s; f ≤f₍_t,0)} ∪ {f₍_−∞_,0)}

f₍_bt,vt₎=inf{f ∈∆_s; f ≥f₍_t,1)} ∪ {f₍₊_∞_,1)}

On appelle statistique essentielle, la statistique K(T) obtenue `a partir de la fonction croissante K :IR→IR d´efinie par :

K(t) =          −∞ si (a_t, u_t) = (−∞,0) b_t−1 si (a_t, u_t) = (−∞,1) [a_t+b_t]/2 si −∞< a_t ≤b_t <+∞ a_t+ 1 si (b_t, v_t) = (+∞,0)et a_t >−∞ +∞ si (b_t, v_t) = (+∞,1)

Sous P_θ, la fonction de répartition moyenne G_θ(k) de cette statistique est égale à [P_θ({K(T)< k}) +P_θ({K(T)≤k})]/2.

Cette définition est cohérente car on ne peut pas avoir en même temps (a_t, u_t) = (−∞,0) et (b_t, v_t) = (+∞,1). En effet, on a ∆_s ⊆ [inf∆_s, sup∆_s] = [1I_Di₋_Ds (T),1− 1I_Ds(T)] ⊆ [f₍_−∞_,₁₎, f₍₊_∞_,₀₎] (voir la proposition 4.2.1), le cas (a_t, u_t) = (−∞,0) (resp. (b_t, v_t) = (+∞,1)) se produit donc uniquement lorsque t ∈(Di−Ds) (resp. t∈Ds).

La quatrième possibilité de la définition de K élimine le cas : (b_t, v_t) = (+∞,0) et at =−∞, il correspond à ∆s ={f₍_−∞_,₁₎, f₍₊_∞_,0)}, donc à un choix entre deux hypothèses définies par des densités p_θ identiques et telles queD_i =D_s =∅. Nous aurions pu enlever ce cas sans intérêt, mais comme il ne pose pas de problème lorsque D_i 6= ∅ ou D_s 6= ∅ nous avons préféré choisir entre K(t) = −∞ et K(t) = +∞.

La croissance de K provient du fait que pour t < t^′ on a soit f₍_at,ut₎ =f₍_a′ t,u′ t) et f₍_bt,vt₎=f₍_b′ t,v′ t), soit f₍_bt,vt₎≤f₍_a′ t,u′ t).

Pour t n’appartenant pas `a D_i ∪ D_s, on a inf∆_s ≤ f₍_t,₀₎ < f₍_t,₁₎ ≤

sup∆_s; les deux fonctions de test f₍_at,ut₎ et f₍_bt,vt₎ définissent alors les deux experts successifs de ∆_squi ne prennent pas la même décision lorsqueT(ω) =t. La statistique essentielle K(T) nous permet de traiter de fa¸con homogène les éléments successifs de ∆s chargés par la probabilité (mθ+m^′_θ)/2 et ceux qui ne le sont pas.

Proposition 4.3.1

Lorsqu’on réalise ω, le résultat du vote des experts ∆_s sous P_θ est une probabilité Qω

θ d´efinie sur l’espace des d´ecisions D ={0,1}par : Q^ω_θ({1}) =    1 si T(ω)∈Di−Ds 1−G_θ(K(T(ω))) si T(ω)∈IR−(D_i∪D_s) 0 si T(ω)∈D_s

(G_θ est la fonction de r´epartition moyenne de la statistique essentielle K(T), les demi-droites D_i et D_s sont d´efinies en 4.2.1).

D´emonstration

Soient θ ∈Θ etω ∈Ω. Q^ω_θ({1}) = R

∆sf(ω)d(m_θ + m^′_θ)/2 est la fréquence des experts qui décident d = 1 face à la réalisation ω.

Posonst =T(ω), d’après la proposition 4.2.1 on a :inf∆_s =1I_Di₋_Ds(T) et sup∆s = 1− 1IDs (T) ; les différentes conditions de l’expression de Q^ω_θ({1}) peuvent s’écrire respectivement : f₍_t,₀₎ < inf∆_s, inf∆_s ≤

f₍_t,₀₎ < f₍_t,₁₎≤sup∆_s etf₍_t,₁₎> sup∆_s. 1^ercas : f₍_t,₀₎< inf∆_s.

Tous les experts de ∆_s d´ecidentd= 1 en ω puisqueT(ω) =t; on a bien Q^ω_θ({1}) = 1.

2^`^eme cas : inf∆s≤f₍_t,₀₎ < f₍_t,₁₎ ≤sup∆s.

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