3.3 Expériences de démonstration
3.3.1 Ce qui a été fait !
La proposition théorique que l’on vient de voir n’ayant pas encore donné de résultats expérimentaux, je me contenterai ici de décrire les résultats existants à ce jour. Ils pré- sentent tous la même logique de mise en œuvre et, comme on le verra, ne permettent pas la factorisation directe car les systèmes physiques considérés n’encodent pas directement la phase de Gauss. Ce point sera l’intérêt majeur de la proposition précédente. Cependant par leurs différences, ils démontrent l’intérêt de la communauté pour cette technique et la grande versatilité des sommes de Gauss.
A ce jour, quatre types d’expériences utilisant la somme de Gauss tronquée (eq. 3.40) ont été réalisée dans quatre domaines différents de la physique. Elles ont été effectuée en Résonance Magnétique Nucléaire (RMN) [Mehring 07, Mahesh 07, Peng 08], avec des atomes froids [Gilowski 08], des condensats de Bose-Einstein [Sadgrove 08] et enfin avec des trains d’impulsions femtosecondes mises en forme [Bigourd 08,Weber 08]. Elles sont toutes basées sur les interférences d’ondes ou paquet d’ondes pour obtenir la factorisation. Leur mise en œuvre nécessite cependant un calcul préalable de chaque phase de Gauss avant de l’encoder dans chaque onde, ce qui ne permet pas la factorisation d’un nombre dont on ne connaît pas a priori les facteurs. Ces expériences démontrent néanmoins la faisabilité d’une telle factorisation et ont montré la possibilité d’encoder une somme de Gauss dans :
Domaine Réf Système Observable M0 Digits Principaux résultats
RMN
[Mehring 07]
Spin 12
Rotation 11 6
Première mise en œuvre, né- cessité de mesurer tous les termes de la somme
[Mahesh 07] de 15 8 Deux autres mises en œuvre
[Peng 08] spin 19 13
Factorisation avec sommes
aléatoires et généralisées (n=5) Atomes froids [Gilowski 08] 2 niveaux hyperfins Population 15 6
Nombreuses mesures mais sys- tème adapté au calcul quan- tique BEC [Sadgrove 08] Condensat de Rubidium Figure de diffraction 10 5
Diffraction d’un condensat sur une onde stationnaire. Meilleur contraste par mesure directe de A (M ) N (l) 2n Femto- [Bigourd 08] Façonneur Spectre 9 9
Façonnage d’impulsions femto- seconde, influence de M0 sur
un fantôme
seconde [Weber 08] 30 13
Description de la somme aléa- toire, implication sur les fan- tômes et loi d’échelle de M
Tab. 3.1: Tableau récapitulatif des différentes mises en œuvres expérimentales de la
somme de Gauss. La première colonne décrit le domaine physique des expériences, la deuxième, les références associées, la troisième et quatrième indiquent sur quel système porte l’expérience ainsi que l’observable mesurée. M0 est la troncature maximum utilisée
et Digits est le nombres de chiffres du nombre N factorisé. Enfin la dernière colonne indique les principaux résultats. BEC est l’acronyme de « Bose-Einstein condensate ».
– L’évolution d’un ensemble de spins nucléaires [Mehring 07, Mahesh 07, Peng 08] soumis à un train d’onde radio-fréquence dont la phase relative est programmée égale à 2πm2 Nl. La mesure de l’écho de spin après chaque impulsion permet d’ob- tenir l’un après l’autre les termes de la somme de Gauss. Il ne reste alors plus qu’à les sommer pour avoir la somme globale.
– L’évolution d’un ensemble de système à deux niveaux, représenté par deux niveaux hyperfins d’atomes de Rubidium refroidis et piégés dans un piège magnéto-optique [Gilowski 08]. Ce système est manipulé via une transition Raman de contrôle à deux photons. La phase est alors encodée dans un train de m impulsions de contrôle. La mesure de différence de population entre les deux états à la fin de ce train donne accès au terme d’ordre m de la partie réelle de la somme de Gauss cos(2πm2 N
l ).
En recommençant l’expérience avec un nombre croissant d’impulsions dans le train, tous les termes de la somme sont reconstruits, leur somme donnant le résultat final
ReA(M )N (l).
– La figure de diffraction d’un condensat de Bose Einstein d’atomes de Rubidium [Sadgrove 08]. Ce condensat est diffracté par une onde optique stationnaire for- mant un réseau de diffraction pour l’onde d’atomes. La phase du réseau peut être changée très rapidement comparée à la vitesse de déplacement du condensat. Ainsi le condensat est diffracté par plusieurs réseaux de phase pendant son expansion, il y a multi-diffraction de l’onde atomique. La diffraction globale sera nulle en moyenne si les phases appliquées, et donc les réseaux de diffraction, ne présentent pas de cohérence entre eux, dans le cas contraire il y aura diffraction. Ils montrent que l’énergie dans les différents ordres n de diffraction est proportionnelle à
A (M ) N (l) 2n . – Le spectre d’un train d’impulsions femtosecondes [Bigourd 08,Weber 08]. A partir d’une impulsion d’entrée, un façonneur haute résolution [Monmayrant 04] permet de produire un train d’impulsions dont la phase relative peut être programmée. Il suffit alors d’y encoder les phases 2πm2 N
l. L’interférence de ces ondes donne un
spectre cannelé, dont l’amplitude à la fréquence centrale reconstruit directement A (M ) N (l) 2
. Cette expérience ainsi que le façonnage du train d’impulsions sont dé- taillés dans les sections 3.3.2 et3.3.2.2.
Toutes ces expériences ont deux points communs outre la factorisation : tout d’abord, elles nécessitent un calcul préalable de toutes les phases de la somme de Gauss, comme je l’ai mentionné au départ. Il ne s’agit aucunement d’une factorisation complète, pour le moment, mais juste d’expériences de principe démontrant avec élégance et efficacité la capacité des sommes de Gauss à trouver les facteurs d’un nombre. D’autre part, la factorisation n’est pas toujours immédiate. Dans certaines expériences, il faut plusieurs mesures à sommer avant d’obtenir la somme de Gauss. Dans tout les cas, le résultat de l’expérience n’est valable que pour un unique entier-test l. Ainsi même dans le cas favorable d’une mesure par valeur de l, l’expérience doit être renouvelée √N fois. Le tableau 3.1 donne quelques paramètres clés de ces expériences et permet ainsi leur comparaison, comme par exemple la valeur de la troncature et les nombres factorisés.