Expérience numérique

Nous effectuons maintenant une simulation numérique permettant de mettre en avant le caractère in- trinsèquement instable du système (3.35). Comme lors du chapitre précédent, nous considérons que ε0 = µ0 = 1. Le domaine de calcul sera O := (−20, 20) et les paramètres du modèle de Drude se-

ront pris égaux à Ωe= Ωm= 2. Tous les champs sont nuls à l’instant t = 0 et nous ajoutons une source

de la forme f (x, t) = g(x)h(t) où g est la gaussienne radiale définie par

g(x, y) = e−50(x2+y2), _{pour tout (x, y) ∈ R}2, (3.36) et où h est une impulsion en temps définie par

h(t) = −10(t − 1)e−5(t−1)2, pour tout t_{> 0.} (3.37) Ce choix pour h n’est pas anodin : il permet de couvrir un large spectre de fréquence ce qui permet d’avoir la présence simultanée d’ondes directes et d’ondes inverses. La largeur des PMLs est L = 3 de sorte que le domaine de calcul est bien O = (−20, 20) mais le domaine physique est seulement (−17, 17). Pour réduire les réflexions numériques (qui n’existent pas au niveau continu) entre le milieu physique et les PMLs, les fonctions d’amortissement σx et σy seront prises croissantes quadratiquement [128]. Sur

le bord du domaine de calcul ∂O, nous prendrons une condition de conducteur parfait : E × n = 0, où

n est la normale sortante à ∂O. Le schéma numérique utilisé suit exactement le même principe que les

schémas décrits au chapitre précédent, en utilisant des différences finies en espace et en temps, sur des grilles décalées. Nous avons rendus implicites tous les termes d’ordre 0, y compris les termes en facteur de σxou σy dans (3.35).

La figure 3.6 montre quelques instantanés du champ H au cours du temps. Une nouvelle fois, nous invitons le lecteur à visionner en ligne la vidéo correspondante1_{. Nous observons clairement des instabilités.}

Nous insistons sur le fait qu’elles ne proviennent pas du schéma numérique mais du fait que le système (3.35) est instable au niveau continu. Une façon de s’en convaincre est de raffiner le maillage ou de réduire le nombre CFL et d’observer que les instabilités sont toujours présentes. Un point important à souligner, en accord avec la section précédente, est que ce sont les ondes inverses qui sont responsables des instabilités. En effet nous pouvons voir que les ondes directes, les plus rapides, sont bien absorbées par les PMLs mais dès lors que les ondes inverses, plus lentes, atteignent la PML, des instabilités se produisent. La figure 3.7 illustre ce fait en traçant le logarithme de l’énergie kEk2_L2_(O)+ kHk

2

L2_(O)au cours du temps.

1_{« Failure of classical Perfectly Matched Layers (PMLs) for negative index metamaterials », https://www.youtube.com/}

Figure 3.7 – Logarithme de l’énergie kEk2

L2_(O)+ kHk2_L2_(O) au cours du temps. De t = 0 à t ' 3 l’énergie

croît en raison de la source h. Ensuite l’énergie est conservée jusqu’à l’instant t ' 22 quand les ondes directes, les plus rapides, atteignent la PML et l’énergie commence à décroître. Mais après t ' 40, les ondes inverses arrivent à la PML et l’énergie augmente exponentiellement.

CHAPITRE

4

Analyse des PMLs pour une classe

de milieux dispersifs et application

aux métamatériaux à indice négatif

Sommaire

4.1 Introduction . . . . 78 4.2 Isotropic dispersive media . . . . 79

4.2.1 The mathematical models . . . 79 4.2.2 Analysis of dispersive properties . . . 83

4.3 Classical PMLs and their instabilities for the Drude model . . . . 89

4.3.1 Construction of classical PMLs for the Drude model . . . 89 4.3.2 A numerical experiment of classical PMLs for the Drude model . . . 90

4.4 Construction and analysis of PML models for a class of dispersive systems 90

4.4.1 A class of first order dispersive hyperbolic systems . . . 92 4.4.2 New generalised PMLs for dispersive models . . . 93 4.4.3 Modal stability analysis of the generalised PML model . . . 96

4.5 Application to isotropic dispersive Maxwell equations . . . 101

4.5.1 Description of the set ΩPML(σ). . . 101

4.5.2 Reinterpretation of the necessary condition (4.111) for isotropic dispersive Max- well models satisfying the growing property . . . 102 4.5.3 Necessary and sufficient stability conditions for isotropic dispersive Maxwell

models satisfying the growing property . . . 103 4.5.4 Extension of the necessary and sufficient stability conditions for general isotropic

dispersive Maxwell models . . . 106

4.6 Design of Stable PMLs for isotropic dispersive media . . . 107

4.6.1 The case of the Drude model . . . 107 4.6.2 The case of generalized Lorentz materials . . . 107 4.6.3 A general construction process for optimal stable PMLs . . . 109

Ce chapitre a pour but d’analyser plus en profondeur la question de la stabilité des PMLs pour les milieux dispersifs et plus particulièrement pour les métamatériaux. Non seulement nous voulons montrer

que les PMLs classiques sont instables pour les métamatériaux dès que nous sommes en présence d’ondes inverses, mais nous souhaitons également construire des PMLs qui sont stables et prouver leur stabilité. Ce chapitre fait l’objet de la publication suivante, soumise à Mathematics of Computation, dont nous reprenons ici le texte intégral (en anglais) :

[20] Éliane Bécache, Patrick Joly, and Valentin Vinoles. On the analysis of perfectly matched layers for a class of dispersive media and application to negative index metamaterials. Submitted to Mathematics of Computation.

Dans ce qui suit, nous proposons et analysons la stabilité de PMLs très générales utilisant un nouveau changement de variable et ceci pour une large classe de milieux dispersifs. Nous donnons un critère nécessaire de stabilité pour de tels modèles. Pour les équations de Maxwell dispersives décrites au chapitre 1 (et donc pour les métamatériaux), cette analyse est complétée en donnant des conditions nécessaires et suffisantes de stabilité. Nous concluons alors en proposant des nouvelles PMLs stables qui satisfont ces critères et montrons numériquement leur efficacité.

Remarque 4.1. Dans ce qui suit, la convention pour la définition des ondes planes est différente de celle choisie dans le reste du manuscrit. Plus précisément, la définition (1.60) U(x, t) = U0ei(x·k−ωt) utilisée

dans les chapitres précédents est remplacée par U(x, t) = U0ei(ωt−x·k) (en d’autres termes à l’opérateur

différentiel ∂t correspond maintenant iω au lieu de −iω comme c’était le cas précédemment). Cela ne

change évidemment rien à l’analyse, seuls quelques signes sont inversés. Citons notamment le critère de stabilité (1.67) qui devient ici Im ωj(k)> 0 pour tout j ∈ {1, . . . , d} et pour tout k ∈ Rnet le changement

de variable pour les PMLs classiques (3.10) devient X(x) = x + 1

iω Z x

0

σ(ξ) dξ. (4.1)

Toutes les notations et conventions ainsi que leurs conséquences sont précisées dans le corps du chapitre.

4.1

Introduction

One of the hardest difficulties to simulate wave propagation in unbounded domains is to construct artificial boundary conditions which absorb the outgoing waves without reflecting them into the computational domain. A widely used technique to do so is the so-called Perfectly Matched Layer (PML) [128] first proposed by Bérenger [22] for the 3D Maxwell equations. The method consists in surrounding the com- putational domain by an absorbing layer (the PML) which generates no reflection inside it. Even if they are very effective in many cases, PMLs can exhibit instabilities for some equations because of backward waves, which are waves whose phase and group velocities point in “opposite" directions with respect to the interface. For non-dispersive media, Bécache et al. in [17] established a necessary (but not sufficient) criterion of stability: classical PMLs are stable only if there is no backward wave. This is always the case for isotropic media but not for all anisotropic ones. For some of them (e.g. anisotropic acoustic equa- tions [87], aeroacoustics [88]), new stable PLMs have been successfully proposed but, to our knowledge, the case of anisotropic elastic waves remains open [17].

The case of dispersive systems has been much less studied. A very important example of such media are metamaterials, i.e. artificial composite materials having extraordinary electromagnetic properties. In particular, Negative Index Metamaterials (NIMs), also called left-handed media or double negative metamaterials, have negative permittivity and permeability at some frequencies due to microscopic res- onating structures [209]. Since the 1990s, NIMs are the subject of active researches due to their promising applications as superlens, cloaking, improved antenna, etc [78]. The fact is that, even in isotropic media, NIMs naturally support backward waves (at least in some range of frequencies), which leads to anticipate difficulties with PMLs, by analogy with what occurs with non dispersive media.

PMLs in NIMs have already been studied by the physicists community [76, 79, 90, 161, 207]. To our knowledge, in [79], Cummer was the first to notice that classical PMLs fail in NIMs and gave a physical explanation related to the presence of backward waves. He proposed stable PMLs for a particular case of Drude materials corresponding to ωe= ωm(see (4.13) in Section 4.2.1.3 for more details). This work

was extended in [90, 207] to the general case ωe 6= ωm. In all these works the instability of PMLs was

observed through numerical or explained by arguments coming from the physics.

The goal of this paper is to bring a mathematical eye to the question of the stability of PMLs for NIMs and also to generalise the construction of stable PMLs for a much larger class of dispersive electromagnetic media than the Drude ones. Let us mention a first paper [19] by the authors in which we have already claimed some of the results of the present article, in particular how to construct stable PMLs for the Drude model, but without any proof (we also extended our method to a simple plasma model).

The outline of the article is as follows. In Section 4.2, we present the class of mathematical models that we consider in this paper for isotropic dispersive electromagnetic media and give their main mathematical properties (Section 4.2.1) as well as an analysis of dispersion phenomena (Section 4.2.2), introducing in particular the definition of backward modes and negative index. In Section 4.3, which can be seen as a motivation of the rest of the paper, we focus on the Drude model for which we construct the classical PMLs (Section 4.3.1) and illustrate the instability of classical PMLs through numerical simulations (Section 4.3.2). Sections 4.4 and 4.5 contain the main results of this paper. In Section 4.4 we consider the question of PMLs for non-dissipative dispersive first order hyperbolic systems. These are presented in Section 4.4.1 and generalize the models of Section 4.2. In Section 4.4.2, we propose generalised PMLs for such systems and initiate their stability analysis (the main issue of this paper) in Section 4.4.3. In particular, we derive two necessary stability conditions in Sections 4.4.3.4 and 4.4.3.5. In Section 4.5, we come back to dispersive isotropic Maxwell equations and complete, in this case, the stability analysis initiated in Section 4.4.3. We obtain a necessary and sufficient stability condition (Theorems 4.35 and 4.40) for our generalised PMLs. Finally, in Section 4.6, we construct stable PMLs for Drude materials (Section 4.6.1, with numerical illustration), for generalised Lorentz materials (Section 4.6.2) and propose a procedure to construct stable PMLs for general models in Section 4.6.3.